高中数学第二章基本初等函数I2.2对数函数及其性质3作业含解析新人教版必修

对数函数及其性质

基础巩固

一、选择题

1．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于 (　　)

A．{x|x＞－1} B．{x|x＜1}

C．{x|－1＜x＜1} D．∅

[答案]　C

[解析]　由题意各M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C.

2．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是 (　　)

A．R B．[0，＋∞)

C．(－∞，1] D．[0,1]

[答案]　D

[解析]　∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.

3．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是 (　　)

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

[答案]　B

[解析]　∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.

又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.

4．函数y＝ax与y＝－logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象正确的是 (　　)

[答案]　A

[解析]　∵y＝ax与y＝－logax的单调性相反，可排除C、D选项．又y＝－logax中x>0，可排除B.

5．若函数y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过(－1,0)和(0,1)两点，则 (　　)

A．a＝2，b＝2 B．a＝，b＝2

C．a＝2，b＝1 D．a＝，b＝

[答案]　A

[解析]　∵函数y＝loga(x＋b)过(－1,0)，(0,1)两点，

∴这两点满足y＝loga(x＋b)，∴

解得a＝b＝2，故选A.

6．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为 (　　)

A．－1   B.

C．－1或 D．1或－

[答案]　C

[解析]　当a＞0时，log2a＝，则a＝2＝；

当a≤0时，2a＝，即2a＝2－1，则a＝－1.

综上，a＝－1或.

二、填空题

7．(2016·陕西工大附中高一质检)设f(x)＝则f(f(－2))＝________.

[答案]　－2

[解析]　f(－2)＝10－2，f[f(－2)]＝lg10－2＝－2.

8．(2016·琼海高一检测)设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________.

[答案]　16

[解析]　f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋…＋logax＝loga(xx…x)＝2loga(x1x2…x2015)＝2f(x1x2…x2015)＝2×8＝16.

三、解答题

9．求下列函数定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．

[分析]　(1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.

[解析]　(1)由得x＞2且x≠3，

∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)由即

解得－1＜x＜0或0＜x＜4.

∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．

10．已知f(x)＝lg.x∈(－1,1)若f(a)＝，求f(－a).

[解析]　方法1：∵f(－x)＝lg＝lg()－1＝－f(x)，

∴f(－a)＝－f(a)＝－.

方法2：f(a)＝lg，

f(－a)＝lg

＝lg()－1＝－lg＝－.

能力提升

一、选择题

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于 (　　)

A．x B．log2x

C. D．x2

[答案]　A

[解析]　由题意知f(x)＝logax，又f()＝a，∴loga＝a，∴a＝，∴f(x)＝x，故选A.

2．函数y＝log2|x|的大致图象是 (　　)

[答案]　D

[解析]　当x＞0时，y＝log2x＝log2x，即可排除选项A、B、C，故选D.

3．已知函数f(x)＝2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是 (　　)

A．[，]　　　　 B．[－1,1]

C．[，2] D．(－∞，]∪[，＋∞)

[答案]　A

[解析]　∵－1≤2x≤1，

∴－≤x≤.

∴()－＝－≤x≤＝().

∵y＝x为减函数．

∴＝()－≥x≥()＝.

4．(2015·广西桂林中学段考)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是 (　　)

A．(0,1) B．(0，)

C．[，) D．[，1)

[答案]　C

[解析]　由题意得

∴≤a＜.

二、填空题

5．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是________.

[答案]　{x|－＜x＜1}

[解析]　依题意得解得－＜x＜1，故函数的定义域为{x|－＜x＜1}．

6．函数y＝loga的图象恒过定点P，则P点坐标为________.

[答案]　(－2,0)

[解析]　对一切a∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＝－2时，loga＝0，∴P点坐标为(－2,0)．

三、解答题

7．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象.

[解析]　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∴f(－x)＝lg(1－x)．

又∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－lg(1－x)，

∴f(x)的解析式为

f(x)＝

∴f(x)的大致图象如图所示：

8．设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)．证明：ab＜1.

[证明]　作出函数f(x)＝|lgx|的图象，如图所示．

∵0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，

∴a＞1，b＞1不可能．

当0＜a＜b＜1时，

显然ab＜1成立．

当0＜a＜1，b＞1时，由f(a)＞f(b)得|lga|＞|lgb|，∴－lga＞lgb，即lga＜－lgb.

∴lga＜lg.故a＜，从而ab＜1.

综上可知，ab＜1.