衡水中学新高二开学检测卷数学试题03

2020年衡水中学新高二开学检测卷

数学试题

本试卷共22题，满分150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 

2．答题时请按要求用笔。  

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　　　）

A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜1}

2、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（   ）

A． B． C． D．

3、下列哪个函数的定义域与函数的值域相同（    ）

A． B． C． D．

4、如果在区间上为减函数，则的取值（  ）

A． B． C． D．

5、若且为第三象限角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

6、以下命题（其中，表示直线，表示平面）：

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，则．

其中正确命题的个数是（   ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7、某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．年接待游客量逐年增加

B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

8、在中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且，AE与BD交于点O，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、下列关系中，正确的有（）

A． B． C． D．

10、在中,下列关系恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

11、某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（    ）

A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的;

B．“一般”部分所占的人数估计是800人;

C．饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是;

D．“支持”部分所占的人数估计是1100人

12、以下四个命题表述正确的是（    ）

A．直线恒过定点

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1

C．曲线与曲线恰有三条公切线，则

D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、函数 的定义域为_____.

14、已知函数的值域为，则实数的取值范围是_____.

15、已知函数.在处取得最大值，则________；若函数的周期是，函数的单调增区间是________.

16、在平面直角坐标系中，是圆的弦，且，若存在线段的中点，使得点关于轴对称的点在直线上，则实数的取值范围是_______________________.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、在平面直角坐标系中，已知，.

（Ⅰ）若，求实数的值；

（Ⅱ）若，求实数的值.

18、某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.

19、如图四棱锥中，底面是边长为的正方形，其它四个侧面是侧棱长为的等腰三角形，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积

20、在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．

（1）求点和点的坐标；

（2）求边上的高所在的直线的方程．

21、已知函数．

求的对称轴所在直线方程及其对称中心；

在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．

22、已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．

（1）求函数，的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．

参考答案

1.【答案】A

【解析】由集合，，所以.

故选：A.

2.【答案】A

【解析】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：

，本题正确选项：

3.【答案】D

【解析】指数函数的值域是

A选项定义域是R；

B选项定义域是；

C选项定义域是；

D选项定义域是，满足题意。故选：D

4.【答案】C

【解析】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意，当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：.综上：可得，故选：.

5.【答案】C

【解析】因为且为第三象限角，所以，

则.故选：C

6.【答案】A

【解析】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；

②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；

③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；

④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错．

正确命题个数为0个，故选：A.

7.【答案】C

【解析】由2017年1月至2020年12月期间月接待游客量的折线图得：

在中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故正确；

在中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故正确；

在中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故错误；

在中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故正确．故选：．

8.【答案】A

【解析】根据题意, 在中,D为线段AC的中点,点E在边BC上,且,AE与BD交于点,如下图所示:

因为共线, 共线

可设

则

同时

由上述两式可得,解得

所以代入，故选:A

9.【答案】AB

【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；

选项B: 是有理数，故是正确的；

选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；

选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.

10.【答案】BD

【解析】A选项：，不正确；

B选项：,正确；

C选项： ,不正确；

D选项：,正确.故选：BD

11.【答案】ACD

【解析】A选项：“不支持”部分所占，所以比例大约是整体的，正确。B选项：“一般”部分所占比例为，所以占的人数估计是人，不正确；C选项：“非常支持”部分占比例，所以面积是，正确； D选项：“支持”部分所占比例，共有，正确.故选：ACD

12.【答案】BCD

【解析】A.直线得，
由，得，即直线恒过定点，故A错误；

B. 圆心到直线的距离，圆的半径，故圆C上有3个点到直线的距离为1，故B正确；

C. 曲线，即，

曲线，即，

两圆心的距离为，解得，故C正确；

D. 因为点为直线上一动点，设点，

圆的圆心为，

以线段为直径的圆的方程为，

即

故直线圆与圆的公共弦方程为：，

即，此直线即为直线，经验证点在直线上，即直线经过定点，故D正确.故选：BCD.

13.【答案】

【解析】由题意可知，，解得，所以的定义域为.

故答案为：.

14.【答案】

【解析】当时,,此时值域为

若值域为,则当时.为单调递增函数,且最大值需大于等于1，即,解得，故答案为:

15.【答案】    ，   

【解析】由在处取得最大值,

得,,,

,,

.

函数的周期是,所以,

,,的周期为,

由,,

函数的单调增区间是,.

故答案为：（1）;（2）,.

16.【答案】

【解析】因为点为弦的中点,所以,

在中,,,所以,

所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,

因为点与点关于轴对称,所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,

因为点在直线上,

所以直线与圆:有交点,

所以,即,解得,

故答案为:

17.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ），，，

，

，，解得；

（Ⅱ），

，，解得.

18.【答案】(1)见解析(2) (3)

【解析】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，

则有，可得，

所以频率分布直方图为：

（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，

所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为

（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，

第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组学生数：人（设为）

所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35种，

事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，，，，共有18种

所以.   

19.【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）∵取的中点为，连、，

∵为的中点，∴．

∵为正方形，为的中点，

∴，∴．

∴四边形是，∴．

又 ∵，故平面．

（2）∵为的中点，，∴，

∵为正四棱锥，∴在平面的射影为的中点，

∵，，∴，∴，∴．

20.【答案】（1）（2）

【解析】（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，

由得，故．

由，所以所在直线方程为，

所在直线的方程为，由，得．

（2）由（1）知，所在直线方程，所以所在的直线方程为，即．

21.【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）

【解析】（1）

由，∴∴的对称轴方程为，

由，∴，∴的对称中心为，

（2）∵，∴，∴，

∴，得：，，∴

又，∴，∴

22.【答案】（1），；（2）4；（3）或

【解析】（1），用代替得，

则，

解方程得：，.

（2）对任意恒成立，

令，，因为令在单调递增，故

则对恒成立

当时， 故，即

（3）由题：方程有且只有一个根

即有且只有一个根，

令，因为在上单调递增，且

故方程（*式）有且只有一个正根

①当时，方程有唯一根，合题

②当时，方程变形为，解得两根为，

因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或

综上：的取值范围为或