2022-2023学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，属于方程的是（　　）
A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5
2．不等式x﹣1＜2的最大整数解是（　　）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0
3．已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
4．由x﹣3y＝5，得到用x表示y的式子为（　　）
A．y＝3x﹣15 B． C． D．y＝﹣3x+15
5．下列不等式的变形正确的是（　　）
A．由2+x＞5得x＞5+2 B．由﹣8x＜3得
C．由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5 D．由得3﹣x+1＞2x
6．蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，乙种型号无人机架数比总架数的少2架．设销售甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．植树节期间，某校开展校园植树的劳动实践活动，学校计划购买杨树和松树两种树苗共80棵，杨树苗每棵20元，松树苗每棵23元．若计划购买树苗的总费用不超过1700元，则最多可以购买松树苗（　　）
A．33棵 B．34棵 C．46棵 D．47棵
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．将“a与b的和是负数”用不等式表示为 　 　．
10．如图，在数轴上表示的不等式组的解集为 　 　．
​

11．若是二元一次方程2y﹣ax＝﹣5的一个解，则a的值为 　 　．
12．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可列方程为 　 　．
13．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式3a+2b的值是 　 　．
14．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．若xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
16．解不等式2（x﹣5）≤﹣3x，并把解集在数轴上表示出来．
​
17．解方程组：．
18．花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下：
解方程：．
解：6﹣2（x+5）＝3x．⋯①
6﹣2x+5＝3x．⋯②
﹣2x﹣3x＝﹣5﹣6．⋯③
﹣5x＝﹣11．⋯④
．⋯⑤
（1）上面的解题过程从第 　 　步开始出现错误（填入编号），错误的原因是 　 　．
（2）请完整地写出正确的解答过程．
19．解不等式组：．
20．某快递配送站现有若干个包裹需要快递员派送，若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．求该快递派送站共有快递员的数量和共需要派送包裹的数量．
21．某校组织知识竞赛，共有20道题．评分标准为：对1题给10分，错1题或不答都扣5分．乐乐至少要答对几道题，总分才不会低于80分？
22．如图①，将一张长为60cm，宽为40cm的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子．
（1）若x＝5cm，则将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为 　 　cm3．
（2）若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积．

23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：2x＝2的解为x＝1；x+2＝1的解为x＝﹣1，所以这两个方程为“友好方程”．
（1）若关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“友好方程”，则m＝　 　．
（2）已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为x＝k，求k的值．
（3）若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 　 　．
24．2023上海国际车展于4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），通过计算帮该公司求出全部的购买方案．
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利9000元，销售1辆B型新能源汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，若每种方案中的新能源汽车全部售出，销售 　 　辆A型新能源汽车、　 　辆B型新能源汽车的方案获利最大，最大利润为 　 　元．


参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，属于方程的是（　　）
A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5
【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．
2．不等式x﹣1＜2的最大整数解是（　　）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0
【分析】不等式移项，合并求出解集，找出解集中的最大整数解即可．
解：x﹣1＜2，
移项得：x＜2+1，
合并得：x＜3，
则不等式的最大整数解为x＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
【分析】根据①中x、y的关系为x＝y，③中x、y的关系为y＝6+2x，①③用代入法，②④用加减法．
解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
4．由x﹣3y＝5，得到用x表示y的式子为（　　）
A．y＝3x﹣15 B． C． D．y＝﹣3x+15
【分析】把x看作已知数求出y即可．
解：方程x﹣3y＝5，
3y＝x﹣5，
解得y＝，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
5．下列不等式的变形正确的是（　　）
A．由2+x＞5得x＞5+2 B．由﹣8x＜3得
C．由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5 D．由得3﹣x+1＞2x
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
解：∵由2+x＞5得x＞5﹣2，
∴选项A不符合题意；

∵由﹣8x＜3得x＞﹣，
∴选项B不符合题意；

∵由3（x﹣2）＞﹣5得3x﹣6＞﹣5，
∴选项C符合题意；

∵由得3﹣x+2＞2x，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，乙种型号无人机架数比总架数的少2架．设销售甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“销售甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，销售乙种型号无人机架数比总架数的少2架”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵销售甲种型号无人机架数比总架数的一半多5架，
∴x＝（x+y）+5；
∵销售乙种型号无人机架数比总架数的少2架，
∴y＝（x+y）﹣2．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍列方程，可解得答案．
解：根据题意得：36+x＝3（8+x），
解得x＝6，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
8．植树节期间，某校开展校园植树的劳动实践活动，学校计划购买杨树和松树两种树苗共80棵，杨树苗每棵20元，松树苗每棵23元．若计划购买树苗的总费用不超过1700元，则最多可以购买松树苗（　　）
A．33棵 B．34棵 C．46棵 D．47棵
【分析】设购买松树苗x棵，由购买两种树苗的总费用不超过1700元，列出不等式，可求解．
解：设购买松树苗x棵，
由题意可得：23x+20（80﹣x）≤1700，
解得：x≤＝33，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为33．
答：最多可以购买松树苗33棵．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．将“a与b的和是负数”用不等式表示为 　a+b＜0　．
【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式．
解：由题意得，a+b＜0．
故答案为：a+b＜0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
10．如图，在数轴上表示的不等式组的解集为 　﹣1＜x≤2　．
​

【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
解：数轴上表示不等式的解集是大于﹣1小于等于2，
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的解集在数轴上的表示方法是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找．
11．若是二元一次方程2y﹣ax＝﹣5的一个解，则a的值为 　﹣9　．
【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
解：将代入原方程得：2×2+a＝﹣5，
解得：a＝﹣9，
∴a的值为﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
12．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可列方程为 　7x+7＝9（x﹣1）　．
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．
【解答】​解：∵每间住7人，则余下7人无房可住：若每间住9人，则余下一间无人住，
∴客人可表示为（7x+7）个，也可表示为9（x﹣1）个，
∴7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
13．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式3a+2b的值是 　1　．
【分析】将x＝1，y＝﹣1代入方程组，整体相加可得答案．
解：将代入方程组得：，
①+②得：3a+2b＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围是 　a≥4　．
【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
解：解x﹣1＜3得x＜4，
解x﹣a＜0得x＜a，
∵不等式组的解集为x＜4，
∴a≥4．
故答案为：a≥4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．若xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
解：∵xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程，
∴m﹣3＝1，解得m＝4，
∴原方程可化为x﹣5＝8，
解方程得x＝13．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
16．解不等式2（x﹣5）≤﹣3x，并把解集在数轴上表示出来．
​
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
解：2（x﹣5）≤﹣3x，
2x﹣10≤﹣3x，
2x+3x≤10，
5x≤10，
x≤2，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．解方程组：．
【分析】两方程相加消去未知数y，得到关于x的方程，解之求得x的值，再代入第二个方程求出y的值即可得．
解：，
①+②，得5x＝1，
解得x＝，
将x＝代入②，得
+y＝5，
解得y＝，
所以方程组的解为．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的两种消元方法．
18．花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下：
解方程：．
解：6﹣2（x+5）＝3x．⋯①
6﹣2x+5＝3x．⋯②
﹣2x﹣3x＝﹣5﹣6．⋯③
﹣5x＝﹣11．⋯④
．⋯⑤
（1）上面的解题过程从第 　②　步开始出现错误（填入编号），错误的原因是 　去括号没变符号且漏乘括号外面的数　．
（2）请完整地写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据解方程的一般步骤找出错误即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程即可．
解：（1）由解析可知，第②步出现，括号前面是负号，去括号时要改变里面的符号．
故答案为：②，去括号没变符号且漏乘括号外面的数；
（2）去分母得，6﹣2（x+5）＝3x，
去括号得，6﹣2x﹣10＝3x，
移项得，﹣2x﹣3x＝10﹣6，
合并同类项得，﹣5x＝4，
系数化为1得，x＝﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
19．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由1﹣2x＜3x+5，得x＞﹣，
由，得：x≥，
则不等式组的解集为x＞﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．某快递配送站现有若干个包裹需要快递员派送，若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．求该快递派送站共有快递员的数量和共需要派送包裹的数量．
【分析】设该快递派送站共有快递员x人，共需要派送包裹y个，由题意：若每个快递员派送115个包裹，则还剩10个包裹；若每个快递员派送120个包裹，则有1个快递员少派送35个包裹．列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设该快递派送站共有快递员x人，共需要派送包裹y个，
由题意得：，
解得：，
答：该快递派送站共有快递员9人，共需要派送包裹1045个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．某校组织知识竞赛，共有20道题．评分标准为：对1题给10分，错1题或不答都扣5分．乐乐至少要答对几道题，总分才不会低于80分？
【分析】可设乐乐答对x道题，那么就有（20﹣x）错题或不答，根据总分才不会低于80分可列一元一次方程求解．
解：设乐乐答对x道题．
10x﹣5（20﹣x）≥80，
x≥12．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为12．
答：乐乐至少答对12道题，总分才不会低于80分．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22．如图①，将一张长为60cm，宽为40cm的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子．
（1）若x＝5cm，则将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为 　7500　cm3．
（2）若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积．

【分析】（1）根据长×宽×高可计算无盖长方体盒子的体积，并将x＝5cm代入可解答；
（2）无盖长方体盒子的长为（60﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可．
解：（1）由题意得：将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为：x（60﹣2x）（40﹣2x）；
当x＝5cm时，无盖长方体盒子的体积＝5×（60﹣10）×（40﹣10）＝7500（cm3）；
故答案为：7500；
（2）由题意知，无盖长方体盒子的长为（60﹣2x）cm，宽为（400﹣2x）cm，
60﹣2x＝2（40﹣2x）．
解得x＝10．
所以60﹣2x＝40，40﹣2x＝20，
所以该无盖盒子的体积为：40×20×10＝8000（cm3）．
答：该无盖盒子的体积为8000cm3．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
23．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．
例如：2x＝2的解为x＝1；x+2＝1的解为x＝﹣1，所以这两个方程为“友好方程”．
（1）若关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“友好方程”，则m＝　　．
（2）已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为x＝k，求k的值．
（3）若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为 　﹣2022　．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“美好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为x＝k，x＝﹣k，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可；
（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到y﹣1的值，从而求得方程的解．
解：（1）∵方程x+2m＝0的解为x＝﹣2m，
方程3x﹣2＝﹣x的解为x＝，
而方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“友好方程”，
∴﹣2m+＝0，
∴m＝；
故答案为：；

（2）∵“友好方程”的一个解为x＝k，则另一个解为﹣k，
依题意得k+k＝3或﹣k﹣k＝3，
解得k＝或k＝﹣．
故k的值为或﹣；

（3）方程的解为x＝2023，
∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”，
∴关于x的方程的解为x＝﹣2023．
∵关于y的一元一次方程的就是，
∴y﹣1＝x＝﹣2023，
∴y＝﹣2022．
∴关于y的一元一次方程的解为：y＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．
24．2023上海国际车展于4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），通过计算帮该公司求出全部的购买方案．
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利9000元，销售1辆B型新能源汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，若每种方案中的新能源汽车全部售出，销售 　2　辆A型新能源汽车、　15　辆B型新能源汽车的方案获利最大，最大利润为 　78000　元．
【分析】（1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据“1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元”．列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）利用总价＝单价×数量，求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
解：（1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元；
（2）设购买A型新能源汽车m辆，B型新能源汽车n辆，
由题意得：25m+10n＝200，
整理得：m＝8﹣n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴该公司共有三种购买方案：
①购买6辆A型新能源汽车，5辆B型新能源汽车；
②购买4辆A型新能源汽车，10辆B型新能源汽车；
③购买2辆A型新能源汽车，15辆B型新能源汽车；
（3）方案①获得的利润为：9000×6+4000×5＝74000（元），
方案②获得的利润为：9000×4+4000×10＝76000（元），
方案③获得的利润为：9000×2+4000×15＝78000（元），
∵74000＜76000＜78000，
∴购买2辆A型新能源汽车，15辆B型新能源汽车获利最大，最大利润是78000元，
故答案为：2，15，7800．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价＝单价×数量求出三种购车方案获得的利润．