【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第01课 一元二次方程及其解法（一）直接开平方法带解析

这是一份【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第01课 一元二次方程及其解法（一）直接开平方法带解析，共21页。
第01课 一元二次方程及其解法(一)直接开平方法
目标导航


课程标准
课标解读
1．理解一元二次方程的概念；
2．理解一元二次方程根的意义；
3．会把一元二次方程化为一般形式；
4.会用直接开方法解一元二次方程；
1.掌握一元二次方程需要满足的条件；
2.知道根的用法；
3.会根据一般式判断方程的．

知识精讲

知识点01 一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的 的整式方程，叫做一元二次方程．
【知识拓展】
识别一元二次方程抓住三个条件：
(1) ；
(2) ；
(3) .
不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的 ．其中 是二次项，是 ； 是一次项，是 ；c是 ．
【知识拓展】
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，要把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时，注意不要漏掉前面系数的符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【知识拓展】
如果已知一元二次方程的根，一般做法是将根代入，再根据题目含义进行下一步解答。
4.一元二次方程根的重要结论
已知条件
一元二次方程必有一根


有一根



有一根

有一根



有一个根

若


知识点02 一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用 直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解
若
则 ；表示为
方程有两个不等实数根
若
则 表示为
方程有两个相等的实数根
若

则方程无实数根

②形如关于x的一元二次方程 ，可直接开平方求解，两根是 ．
【知识拓展】
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
能力拓展


考法01 一元二次方程的判定
【典例1】判定下列方程是不是一元二次方程:
(1)； (2) ．


【即学即练1】判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．


考法02 一元二次方程的一般形式
【典例2】把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
(1)； (2)

【即时训练2】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)； (2)．

考法03 一元二次方程的解
【典例3】如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A．-3，2 B．3，-2 C．2，-3 D．2，3

考法04 直接开平方法解一元二次方程
【典例4】求下列x的值
(1)x2﹣25=0 (2)(x+5)2=16．





【即时训练3】用直接开平方法求下列各方程的根：
(1) ； 　　　(2) ； 　(3) ；　　　(4) ．



分层提分


题组A 基础过关练
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
2．一元二次方程的二次项系数是( )
A．2 B．1 C． D．0
3．一元二次方程x2﹣x+1＝2(3x﹣2)的一般形式是(　　)
A．x2﹣7x+5＝0 B．x2+5x﹣3＝0 C．x2﹣7x﹣5＝0 D．x2+5x+5＝0
4．方程化为一般形式后，的值分别是( )
A． B．
C． D．
5．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．方程的解是(　　)
A． B．2 C． D．
8．方程的解为( )
A． B． C． D．

题组B 能力提升练
1．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
2．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于_____．
3．已知是方程的根，则代数式的值是______．
4．若一元二次方程有一根为，则______．
5．解方程：的解是____．
6．若实数a、b满足 ，则的值为___________．
7．若方程，满足则方程必有一根为___．
8．解方程：(1)； (2)
题组C 培优拔尖练
1．若关于的方程是一元二次方程，则___________．
2．方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a________时，它是一元二次方程；当a________时，它是一元一次方程．
3．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1(a、b、m均为常数，a≠0)，则方程a(x+m﹣1)2+b=0的解是________．
4．先化简，再求值：¸+2m，其中m是方程x2-x-5=0的根．
5．若是关于的方程的根，求的值．
6．已知：P＝3a(a+1)﹣(a+1)(a﹣1)
(1)化简P；
(2)若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．













第01课 一元二次方程及其解法(一)直接开平方法
目标导航


课程标准
课标解读
1．理解一元二次方程的概念；
2．理解一元二次方程根的意义；
3．会把一元二次方程化为一般形式；
4.会用直接开方法解一元二次方程；
1.掌握一元二次方程需要满足的条件；
2.知道根的用法；
3.会根据一般式判断方程的．

知识精讲

知识点01 一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
【知识拓展】
识别一元二次方程抓住三个条件：
(1)整式方程；
(2)含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2.
不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项，是二次项系数； 是一次项，是一次项系数；c是常数项．
【知识拓展】
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，要把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时，注意不要漏掉前面系数的符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【知识拓展】
如果已知一元二次方程的根，一般做法是将根代入，再根据题目含义进行下一步解答。
4.一元二次方程根的重要结论
已知条件
一元二次方程必有一根

必有一根
有一根
则

必有一根
有一根

有一根


必有一根
有一个根
则
若
必有一根

知识点02 一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解
若
则；表示为
方程有两个不等实数根
若
则x=O表示为
方程有两个相等的实数根
若

则方程无实数根

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
．
【知识拓展】
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
能力拓展


考法01 一元二次方程的判定
【典例1】判定下列方程是不是一元二次方程:
(1)； (2) ．
【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：(1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
【答案】(1)是；(2)不是.
【解析】(1)整理原方程，得
，
所以．
其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．
(2)整理原方程，得
，
所以．
其中，二次项的系数为0，所以原方程不是一元二次方程．

【即学即练1】判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
【答案】②③⑥.
【解析】①不是方程；④ 不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．

考法02 一元二次方程的一般形式
【典例2】把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
(1)； (2)
【答案与解析】
(1)两边都乘-1，就得到方程
3x2+4x-2=0．
各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．
(2)两边同乘-12，得到整数系数方程
6x2-20x+9=0．
各项的系数分别是：．
【点睛】
一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．
值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中 不能写为．
【即时训练2】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)； (2)．
【答案】(1)，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.
(2)化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项
是.
考法03 一元二次方程的解
【典例3】如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A．-3，2 B．3，-2 C．2，-3 D．2，3
【答案】A；
【解析】
∵ x＝2是方程x2+px+q＝0的根，
∴ 22+2p+q＝0，即2p+q＝-4 ①
同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1 ②
联立①，②得 解之得：
【点睛】
由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．
考法04 直接开平方法解一元二次方程
【典例4】求下列x的值
(1)x2﹣25=0 (2)(x+5)2=16．
【思路点拨】(1)移项后利用直接开方法即可解决．(2)利用直接开方法解决．
【答案与解析】
解：(1)∵x2﹣25=0，
∴x2=25，
∴x=±5．
(2)∵(x+5)2=16，
∴x+5=±4，
∴x=﹣1或﹣9．　　
【总结升华】
应当注意，形如 或的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．
【即时训练3】用直接开平方法求下列各方程的根：
(1) ； 　　　(2) ； 　(3) ；　　　(4) ．
【答案】(1)∵ x2=361，
∴ x=19或x=-19．
(2)∵2y2-72=0，
2y2=72，
y2=36，
∴ y=6或y=-6．
(3)∵5a2-1=0，
5a2=1，
a2= ，
∴a=或a=．
(4)∵-8m2+36=0，
-8m2=-36，
m2= ，
∴m= 或m=．

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、x2+3y=1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意；
B、x2+3x=1，是一元二次方程，故符合题意；
C、2x3+3x+5=0，是一元三次方程，故不合题意；
D、，是分式方程，故不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．一元二次方程的二次项系数是( )
A．2 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义可直接进行排除选项．
【详解】
解：由一元二次方程可知二次项系数是2；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．一元二次方程x2﹣x+1＝2(3x﹣2)的一般形式是(　　)
A．x2﹣7x+5＝0 B．x2+5x﹣3＝0 C．x2﹣7x﹣5＝0 D．x2+5x+5＝0
【答案】A
【分析】
根据去括号、移项、合并同类项，可得答案．
【详解】
解：去括号，得：x2﹣x+1＝6x﹣4，
移项、合并同类项，得：x2﹣7x+5＝0，
故选：A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式．此题比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)．
4．方程化为一般形式后，的值分别是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先通过移项把方程化成一般形式，再找二次项系数､一次项系数和常数项即可．
【详解】
解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项，解题关键是利用移项化一元二次方程一般式．
5．已知关于的方程的一个根是-1，则的值是( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
把代入方程得，然后解关于的方程．
【详解】
解：把代入方程，得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键．
6．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键．
7．方程的解是(　　)
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
由，可得再利用直接开平方法解方程可得答案．
【详解】
解： ，


故选：
【点睛】
本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
8．方程的解为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据直接开平方法即可求解．
【详解】
解
x+1=±2
∴x+1=2或x+1=-2
解得
故选D．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用．

题组B 能力提升练
1．已知是关于x的一元二次方程，则m=_______．
【答案】-2
【分析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：由题意，得|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于_____．
【答案】1
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入(a+1)x2+x-a2+1=0得-a2+1=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】
解：把x＝0代入(a+1)x2+x﹣a2+1＝0得﹣a2+1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，
而a+1≠0，所以a的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．已知是方程的根，则代数式的值是______．
【答案】12
【分析】
先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，再将其作为整体代入求值即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
则，
，
，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
4．若一元二次方程有一根为，则______．
【答案】2021
【分析】
直接把x＝−1代入一元二次方程中即可得到的值
【详解】
∵一元二次方程,有一根为，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；明确一元二次方程的解的定义是解题关键．
5．解方程：的解是____．
【答案】
【分析】
利用直接开平方法解方程即可．
【详解】
解：，即，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6．若实数a、b满足，则的值为___________．
【答案】5
【分析】
利用平方根的含义求解再利用非负数的性质可得答案．
【详解】
解：，

或，
又

故答案为：
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
7．若方程，满足则方程必有一根为___．
【答案】-3
【分析】
将代入原方程并整理，可得到系数之间的关系满足题意，由此确定出答案即可．
【详解】
当时，代入原方程得：
，即：，
∴原方程必有一根为，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的定义，理解根的定义，并且熟记常见的几组未知数的值对应的系数关系是解题关键．
8．解方程：(1)； (2)
【答案】(1)，；(2)x1=，x2=
【详解】
(1)移项，得，
化简，得，
开平方，得，
，;
(2)移项得：9(x﹣1)2=5，
(x﹣1)2=，
开方得：x﹣1=±，
x1=，x2=；
题组C 培优拔尖练
1．若关于的方程是一元二次方程，则___________．
【答案】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【详解】
∵关于x的方程(a﹣1)xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．
2．方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a________时，它是一元二次方程；当a________时，它是一元一次方程．
【答案】≠±2, =-2
【分析】
分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可.
【详解】
解:(1)方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元二次方程,
a2-4≠0,a≠2;
(2) 方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元一次方程,
解得:a=-2.
【点睛】
此题比较简单,解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义:
(1)只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程;
(2)只含有一个未知数,且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程.
3．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣3，x2=1(a、b、m均为常数，a≠0)，则方程a(x+m﹣1)2+b=0的解是________．
【答案】x1＝﹣2，x2＝2
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x－1看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】
∵关于x的方程a(x+m)2+b＝0的解是x1=﹣3，x2=1，(a，m，b均为常数，a≠0)，∴方程a(x+m﹣1)2+b=0变形为a[(x－1)+m]2+b＝0，即此方程中x－1＝－3或x－1＝1，解得：x1＝﹣2，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝2．
【点睛】
本题考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
4．先化简，再求值：¸+2m，其中m是方程x2-x-5=0的根．
【答案】，-5
【分析】
首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据m是方程x2-x-5=0的根，代入即可得到关于m的式子，代入分式化简后的结果即可求解．
【详解】
解：
=
=
=
=
=
∵m是方程的根，
∴，
∴==-5．
【点睛】
此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
5．若是关于的方程的根，求的值．
【答案】-4
【分析】
利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+4n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=-4，即为所求；
【详解】
解：由题意得n2+mn+4n=0，
∵n≠0，
∴n+m+4=0，
得m+n=-4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能够了解方程的解的定义，难度不大．
6．已知：P＝3a(a+1)﹣(a+1)(a﹣1)
(1)化简P；
(2)若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
【答案】(1)2a2+3a+1；(2)6
【分析】
(1)通过去括号，合并同类项，即可得到答案；
(2)把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．
【详解】
解：(1)P＝3a(a+1)﹣(a+1)(a﹣1)
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
(2)x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【点睛】
本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．