2023年黑龙江省哈尔滨四十九中中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨四十九中中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，绕点旋转到的位置，点在边上，与交于点，，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，四边形是平行四边形，点在边上，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  甲乙两车沿着公路从地前往地，汽车离开地的距离与时间的对应的关系如图所示则下列结论错误的是(    )

A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为
C. 甲乙两车在：时相遇 D. 乙比甲车先到达地

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  年春节期间黑龙江旅游收入超过了元，数据用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中自变量的取值范围为______ ．

13.  把多项式分解因式的结果是______ ．

14.  计算的结果是______ ．

15.  不等式组的解集是______．

16.  一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积是______ ．

17.  袋子中有个红球，个绿球和个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地抽取一个球是绿球的概率是______ ．

18.  已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为______ ．

19.  在矩形中，点在直线上，，若，，则的正切值为______ ．

20.  在中，，于点，点在上，，，为的中点，为的中点，若，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长都是的方格纸中，有线段和线段，点、、、都在小正方形的顶点上．
在方格纸中画一个以线段为一边的菱形，其面积为，且各顶点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中以为腰画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且．
连接，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
为迎接一模考试，云路中学对九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：

在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算将条形统计图补充完整；
若该中学九年级共有人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？

24.  本小题分
在四边形中，，，和交于点，，，和交于点．
如图，求证：四边形是矩形；
如图，连接，当时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．

25.  本小题分
云路中学计划在百日誓师大会中奖励学习成绩进步的学生，决定购买某一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元．
求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；
如果学校需要自动铅笔的个数是钢笔的个数的倍还多个，且学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过元，那么该校最多可购买多少支该品牌的钢笔？

26.  本小题分
已知菱形，经过、、三点，且与相交于点．

如图，求证：；
如图，连接，，求证：；
如图，与相交于点，连接，，且，的半径长为，与相交于点，求线段的长．

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点点在点左侧，与轴交于点，．

如图，求值；
如图，连接，点在第一象限的抛物线上，过点作轴于点，与交于点，连接，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，若，点在线段上，连接，点在的延长线上，点在轴上，连接，，交轴于点，点在线段上且，若：：，连接，求正切值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的相反数是即可求解．
本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，不合题意；
B、，符合题意；
C、，不合题意；
D、，不合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式进行求解判断即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，掌握相关计算法则是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，题中几何体的左视图为：

故选：．
根据左视图的方法直接得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
经检验：是原方程的解．
故选：．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点向右平移个单位，再向下平移个单位后所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故选C．
先确定抛物线的顶点坐标为，根据点平移的规律，点向右平移个单位，再向下平移个单位得到对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕点旋转到的位置，点在边上，
，，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得、，再根据等边对等角可得，最后根据平角的性质即可解答．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质等知识点，理解旋转的性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
选项A正确，不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
选项B不正确，符合题意；
，
，即，
选项C正确，不符合题意；
，
，
选项D正确，不符合题意；
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，易证得∽，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：甲车小时行了，甲车的平均速度为，故A正确．
乙车小时行了，乙车的平均速度为，故B正确．
设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在：时相遇，故C错误．
乙车：到达地，甲车：到达地，故D正确．
故选：．
由可得甲，乙车的速度，根据甲出发小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：．
故答案为：．
根据分母不为可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的加减法，解题的关键是熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
 

15.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：一个扇形的半径为，圆心角为，
该扇形的面积是：，
故答案为：．
根据题目中的数据和扇形面积的计算公式，可以计算出该扇形的面积．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：一袋中装有红球个，绿球个，蓝球个，共个，
任意摸出个，摸到绿球的概率是．
故答案为：．
先求出总球数，再根据概率公式用绿球的个数除以球的总个数即可．
本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，掌握概率公式是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：把点代入反比例函数，得，
解得，
故答案为：．
把点代入反比例函数解析式求解即可．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练运用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
点在边上时，

四边形是矩形，
，，，，
，
，，
；
点在边的延长线时，

四边形是矩形，
，，，，
，
，，
；
故答案为：或．
分两种情况：点在边上时，根据题意求出，，，点在边的延长线时，根据题意求出，，，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、正切值以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和正切，进行分类讨论是关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图：过作，过作，过作，

四边形是矩形，
，，
是等腰三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，
则，
，
解得：，
，，
，，
，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，为、的中位线，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
如图：过作，过作，过作，则四边形是矩形；再说明是等腰三角形可得；然后再证≌可得；再根据正切的定义结合可得，；根据平行线分线段成比例定理可得、是和的中位线，再根据三角形中位线定理可得、、，进而可得，，最后运用勾股定理即可解答．
本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正切的定义等知识点，正切作出辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：


，
，
原式． 

【解析】根据分式的加减乘除混合运算先化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，代入计算即可．
本题考查分式的加减乘除混合运算，特殊角的三角函数值，分母有理化，正确计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，菱形即为所求．
如图，即为所求．

． 

【解析】作出底为，高为的菱形即可．
作等腰直角三角形即可．
利用勾股定理计算即可．
本题考查作图应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

23.【答案】解：，
即这次调查中，一共抽取了名学生；
表示成绩为“中”的人数为：，
补全的条形统计图如图所示，

，
即该校九年级共有名学生的数学成绩可以达到优秀． 

【解析】根据统计图可以求得本次调查的学生数；
根据中的结果和统计图中的数据可以求得“中”的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图可以求得该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

24.【答案】证明：，，
垂直平分，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：，，
垂直平分，
，，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
综上所述，四边形，四边形，四边形，四边形是平行四边形． 

【解析】根据已知条件得到垂直平分，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元，则(    )
，
解得：，
答：该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元．
设该校最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是个，则，
解得：，
答：该校最多可购买支该品牌的钢笔． 

【解析】该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别元，元，根据购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元，再建立方程组即可；
设该校最多可购买支该品牌的钢笔，则学校需要自动铅笔的个数是个，根据学校购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过元，再建立不等式即可．
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
 

26.【答案】证明：是菱形，
，
又是圆内接四边形，
，
，
；
证明：是菱形，
，
又，
，
，
，
；
解：在上截取，连接，过点作于点，则，

是菱形，
，
，
，
又，
≌，
，
，
∽，
，即，
，，
，即，
连接、，过点作于点，
则，，
，
的半径长为，
，
则，
，
又，
． 

【解析】根据菱形的对角相等和圆内接四边形的对角互补推出，根据等角对等边证明结论；
根据弧、弦之间的关系证明即可；
在上截取，连接，过点作于点，证得≌，得到，，再连接、，过点作于点，可以求得菱形的边长，代入计算即可解题．
本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，能作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

27.【答案】解：当时，，
，
，
，
，
，
，
解得：．
由得：，
当时，，
解得：，舍去，
，
，
的横坐标为，
的横坐标为，
，
，
．
如图，过点作轴，交轴于，

，
，
，
解得：，
，
，
，
设，，
，，
，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
∽，
，
，
：：，
，
，
设，则，
，，
，
整理得：，
解得：，舍去，
当时，，
，
在中，，
即：的正切值为． 

【解析】由二次函数解析式可求点的坐标，从而可求点的坐标，进而可求解；
由可求点的坐标，可求，由即可求解；
过点作轴，交轴于，设，，可证，从而可证，、、、四点共圆，由此可证∽，设，可求出点的坐标，即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，割补法求动点产生的面积问题，相似三角形的判定及性质，求三角函数值，掌握二次函数的性质，不规则图形面积求法，三角函数值的求法是解题的关键．