2023年河北省石家庄市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河北省石家庄市中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线

3.  一个数用科学记数法表示为，则这个数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个相同的小立方体组成的几何体，它的左视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  算式的值与下列选项的值相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一个直角三角形按如图所示的方式放置在两条平行线之间，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列选项的括号内填入，等式成立的是(    )

A. (    ) B. (    ) C. (    ) D. (    )

8.  如图，小军任意剪了一张钝角三角形纸片是钝角，他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，他能成功折出的是(    )

A. 的角平分线和边上的中线
B. 的角平分线和边上的高线
C. 边上的中线和高线
D. 的角平分线、边上的中线和高线

9.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是某地铁站的进站口，共有个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，，，，点，分别在边，上，且若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  如图是明代数学家程大位所著的算法统宗中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两设共有银子两，共有人，则所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

14.  如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为：，在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，若直线同时经过点，，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  如图是用尺规过点作直线垂线的两种方法，其中，，，分别表示画相应弧时所取的半径，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(    )
 

A. 若，方法Ⅰ中的四边形为正方形 B. 若，方法Ⅰ中的四边形为矩形
C. 若，方法Ⅱ中的四边形为菱形 D. 若，方法Ⅱ中的四边形为正方形

16.  如图，已知扇形，点从点出发，沿以的速度运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图所示，则扇形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  化简： ______ ．

18.  如图，在矩形中，，，点在上，且，点，分别是，的中点．
的长是______ ；
______ ．

19.  如图，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转角为，所得的两条新线段夹角为，以为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为如图，当时，得到两个正六边形．

用含的代数式表示， ______ ；
边数，旋转角，夹角的部分对应值如表格所示，其中 ______ ；
若，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
小华同学在黑板上列出了如图所示的算式，其中“”是被擦去的部分．
如果被擦去的部分是，求这个算式的结果；
如果这个算式的结果是，求被擦去部分的值．

21.  本小题分
如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达．
在如图中，用尺规作图画出小岛的位置不写作法，保留作图痕迹；
若，请用方位角和距离描述小岛相对于码头的位置，并简述理由．

22.  本小题分
在年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，我国某位选手第一轮比赛得分如表所示：

比赛规则是：共有六名裁判打分去掉一个最高分和一个最低分，剩余四个裁判分数的平均数作为该选手本轮比赛的成绩已知裁判四和裁判五的打分成绩被去掉，得到该选手本轮比赛的成绩为分．
六名裁判所打分数的众数是______ 分，中位数是______ 分；
求裁判六所打分数；
请从平均分的角度，解释本题中比赛规则的合理性．

23.  本小题分
如图，在中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，作射线．
求证：≌，并求的度数；
若为中点，连接，连接并延长，交射线于点当，时，
求的长；
直接写出的长．

24.  本小题分
如图，已知点，，点作线段上，并且点的横、纵坐标均为整数经过点的双曲线为．
当点与点重合时，求的表达式；
求线段所在直线的函数表达式；
直接写出的最小值和最大值．

25.  本小题分
在坡度为：的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题．
点的坐标是______ ；
求，所满足的数量关系；
当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式；
在点右侧处有一堵高为的墙，若要小球能碰触到墙面，求的取值范围．

26.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，，，两点同时从点出发，点沿折线运动，在边上的速度为，在边上的速度为；点在上作往返运动，由到的速度为，返回时速度为点到达点时，两点均停止运动，当运动时间为时，以线段为直径作，解决下列问题．

在时，与的位置关系是______ ；
当点在上时，与的另一个交点为点．
如图，当点运动至点时，求弧的长度；
如图，当时，求的值．
在点的运动过程中不含与点重合的情况，直接写出为何值时，与或相切．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
本题是对有理数减法的考查，减去一个数等于加上这个数的相反数．
本题考查了有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法就是用幂的方式来表示，写成的形式，，则的前面有两个零．
本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数，正指数幂是较大的数，负指数幂是较小的数．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
利用有理数的加法的法则及乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理，即可得到的度数，依据平行线的性质，即可得到的度数．
此题考查的是平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：．
把代入各项，然后利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：当与重合时，折痕是的角平分线；
当点与点重合时，折叠是的中垂线，
故选：．
由折叠的性质可求解．
本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据二次根式的乘法进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法的运算法则是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设三个闸口分别用、、表示，列表如下：

由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数有种，
甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率为，
故选：．
先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当∽时，
：：，
，，
，
，
：：，
，
；
当∽时，
：：，
：：，
，
，
的长是或．
故选：．
分两种情况，当∽，∽时，分别列出比例式，代入有关数据即可求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由，，从而可得答案．
本题考查的是平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练地把已知条件进行变形是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：．
故选：．
根据题意列出方程求出答案．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，设与，轴的交点分别为，，于点，

依题意，，，
，
∽
每一级台阶的宽度和高度之比为：，

，即
直线解析式为，
将点代入得，
解得：
，
故选：．
设与，轴的交点分别为，，于点，则，根据每一级台阶的宽度和高度之比为：，得出，将点代入待定系数法求解析式即可求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：：若，方法Ⅰ中的四边形为菱形；
：若，方法Ⅰ中的四边形为一个轴对称图形，且有一组对角为直角；
：若，方法Ⅱ中的四边形为菱形，
：若，方法Ⅱ中的四边形为轴对称图形且有一组对角为直角，
故选：．
根据正方形，菱形，矩形的判定定理求解、
本题考查了基本作图，掌握特殊的平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知：点从点运动到点的时间为，
，即扇形的半径为，
由图象可知，点从点运动到点的时间为，
弧长为，
设扇形的圆心角为，根据弧长公式可得：，
解得，
由扇形的面积公式可得：扇形的面积为
故选：．
先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可．
本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半径和弧长是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
约去分子分母的公因式即可．
本题考查的是约分，掌握分式的约分是解本题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：连接，

矩形，，，
，，，
，
，，
在中，，，，
，
是中点，
，
在中，，，，
，
点，分别是，的中点，
，
．
故答案为：；．
连接，利用矩形的性质和线段的和差倍分关系求出，，分别在、中，利用勾股定理求出，，再利用三角形中位线定理求出，即可解答．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：由题意可得：，
，
故答案为：．
由题意可得：当时，
，
故答案为：；
当，
，解得：，
，而且为整数，
，
解得：，
的最小值为：．
故答案为：．
由周角的含义建立方程即可；
把代入中的结论可得答案；
由，可得，解得：，利用多边形的内角和公式可得，而且为整数，从而可得答案．
本题考查的是旋转的性质，正多边形的性质，利用正多边形的性质建立方程或不等式求解是解本题的关键．
 

20.【答案】解：如果被擦去的部分是，则
原式


．
设被擦去的部分是，则有
，
．
解得．
被擦去的部分的值是． 

【解析】先计算零指数幂，再根据有理数的四则混合计算法则求解即可；
设被擦去的部分是，由此建立方程求解即可．
本题主要考查了零指数幂，有理数的四则混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示：

如图，连接，过点作，

甲船与乙船分别从码头，同时等速向小岛出发，同时到达，
，
，
，
小岛在码头的北偏西方向，距离码头为的位置． 

【解析】作的垂直平分线即可；
根据等腰三角形的性质得出，则，从而得出小岛在码头的北偏西方向，距离码头为的位置．
本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：六名裁判所打分数中，出现的次数最多，故众数为；
由题意可知，把六名裁判所打分数从小到大排列，排在中间的两个数都是，故中位数为．
故答案为：，；
由题意得：，
解得；
由于极端值对平均分的影响较大，所以去掉极端值后的平均分更能反映出选手的真实水平．
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据平均数的定义解答即可；
根据影响平均数的因素进行判断即可．
本题考查的是平均数、众数和中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数的值．
 

23.【答案】证明：，
，
又，，
≌．
又，，
，
≌，
，
．
在中，，，
，
又为中点，
则．
在中，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用证明≌，得，即可解决问题；
利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
利用等角对等边说明点为的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：点，，点与点重合，
，
双曲线经过点，
，
的表达式为；
设直线的解析式为，
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
点，，点在线段上，
点坐标为或或或，
经过点的双曲线为，
的最小值为，最大值为． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
根据待定系数法求得即可；
根据题意点的坐标为或或或，根据图象上点的坐标特征即可求得的最小值和最大值．
本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：作轴于点，

坡度为：，
设，则，
，
，
解得，
，，
点的坐标是；
点在抛物线上，
，
或或．
当小球落到原点时，点在抛物线上，
．
．
，
抛物线的函数表达式为；
根据题意知：，，
．
．
当抛物线过点时，有：，
解得：；
当抛物线过点时，有：，
解得：．
当小球能碰触到墙面时，的取值范围是．
作轴于点，设，则，利用勾股定理列式计算求得的值，即可求解；
将代入求解即可；
再将原点代入求解即可；
根据题意知，，分别把，代入求解即可．
本题考查了二次函数的应用，难度不大．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
 

26.【答案】相切 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，，
，
，即，
是半径，
与相切，
故答案为：相切．
解：如图，连接，，

是直径，
，
由知，，
．
，，
在中，，
即．
，
．
，
，
弧的长度是．
如图，作，在中，，

，
连接，则．
在中，，
．
设，则，
在矩形中，．
，
；
解得：．
．
由题意知，分与相切，与相切两种情况求解，
当与相切，当时，是的切线，与相切于点，连接，

由题意知，，，
由切线长定理知，，
，
，即，解得，
时，与相切；
当时，，均为的切线，过点作于，则四边形是矩形，

，
由题意知，，
，，
，
，
解得，
当时，与相切；
当与相切，切点为，连接，，过点作的延长线于点，过点作于点，过点作，交于点，交的延长线于点，则四边形，是矩形，

，，
由题意知，，，，，，
，，，，
，
设，则，，
在和中，
，
≌，
，
，
即，解得，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
时，与相切，
综上所述，当或或时，与，相切．
证明，由切线的判定可得出结论；
连接，，求出的长，，由弧长公式可得出答案；
作，设，则，求出则可得出答案；
分与相切，与相切两种情况求解，由切线的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，切线长定理，圆周角定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．