2022-2023学年广东省佛山三中初中部八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山三中初中部八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数轴上表示不等式组的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  要使分式有意义，则应满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在和中，，，则证明全等于的方法是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列分式中，把，的值同时扩大倍后，值不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列说法，正确的是(    )

A. 一个三角形两内角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B. ”若，则”的逆命题是真命题
C. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于，先假设这个三角形中有一个内角大于

10.  如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把分解因式的结果是______ ．

12.  和的最简公分母是______ ．

13.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点的坐标是______ ．

14.  如果是一个完全平方式，那么的值是______．

15.  已知，关于的不等式组有个整数解，则实数的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：．

17.  本小题分
证明两个连续奇数的平方差能被整除．

18.  本小题分
在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长个单位长度的正方形．
将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到画出平移后得到的，如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______ 个单位长度；
将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的；
画出关于点的中心对称图形．

19.  本小题分
先化简，然后在范围内，选择一个合适的整数代入求值．

20.  本小题分
在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧息，按收到上级指示，要求生产总量比原计划增加，且必须按时完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划多生产顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？

21.  本小题分
当时，定义一种断运算：，例如：，．
直接写出 ______ ；
若，求出的值．

22.  本小题分
如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接、．
判断是什么特殊的三角形并证明；
求证：平分；
若，求的值．

23.  本小题分
阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式第一步第二步第三步第四步
回答下列问题：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______填代号．
A.提取公因式平方差公式两数和的完全平方公式两数差的完全平方公式
按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______．
请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，，故本选项符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、，，故本选项不符合题意；
D、，，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，注意：不等式的性质是：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
处为空心圆，且折线向左；
，
处为实心圆点，且折线向右，
四个选项中只有符合．
故选：．
根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得．
故选：．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
和都为直角三角形，
在和中，
，
≌．
故选：．
由于公共边为两直角三角形的斜边，于是根据“”可判断≌．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

7.【答案】 

【解析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
根据分式的基本性质即可求出答案．
解：、扩大倍后，原式变为，故A的值有变化；
B、扩大倍后，原式变为，故B的值有变化；
C、扩大倍后，原式变为，故C的值不变；
D、扩大倍后，原式变为，故D的值有变化．
故选：．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于；
在中，，，，
，
的长不能大于．
故选：．
利用垂线段最短分析最小不能小于；利用含度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于．
本题主要考查了垂线段最短和的性质和含度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含度角的直角三角形的性质得出．
 

9.【答案】 

【解析】解：、一个三角形两内角平分线的交点到这个三角形三个边的距离相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题不是真命题，原命题是假命题，不符合题意；
C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，符合题意；
D、反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定、角平分线的性质定理、反证法的应用判断即可．
本题考查的是反证法、命题的真假判断、逆命题的概念，掌握全等三角形的判定、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
以此类推：，，是直角三角形，，
．
故选：．

此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：分式和的最简公分母是，
故答案为：．
根据最简公分母的概念解答即可．
本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
 

13.【答案】 

【解析】解：点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标是．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
在中，．
故答案是：．
本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的倍，所以，故．
本题考查了完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的倍，因此要注意积的倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．
 

15.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
不等式组有个整数解，
，且整数解为，，，，
实数的取值范围是．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，根据不等式组有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
经检验是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：设两个连续奇数为，，
则，
故能被整除． 

【解析】设这两个数为，，然后运用公式法求解即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
，
平移距离为个单位长度．
故答案为：．
如图，即为所求．
如图，即为所求．
根据平移的性质作图即可；利用勾股定理可得答案．
根据旋转的性质作图即可．
根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称、勾股定理，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，，，
，，，
当时，
原式

． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：设实际需要天完成生产任务．
根据题意得：．
化简得：．
去分母得：．
整理得：．
解得：，不合题意，舍去．
经检验，是原方程的根，
顶．
答：该厂实际每天生产帐篷顶． 

【解析】关键描述语为：“实际每天比原计划每天多生产顶”；等量关系为：实际每天生产帐篷计划每天生产的帐篷若设实际天生产完成任务，则：实际每天生产帐篷，计划每天生产帐篷：．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题中的新运算得：；
故答案为：；
当时，化简得：，
解得：，不合题意，舍去；
当时，化简得：，
解得：，
综上，．
根据题中的新运算计算即可；
已知等式利用题中的新运算化简，计算即可求出的值．
此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
 

22.【答案】解：是等边三角形，
证明：将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，
，，
是等边三角形；
证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，
平分；
解：，
≌，
，
的值为． 

【解析】根据旋转的性质得到将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，求得，，根据等边三角形的性质即可得到结论；
根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，涉及等边三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
 

23.【答案】   

【解析】解：运用了，两数和的完全平方公式；
还可以分解，分解不彻底；
；
设．






．
故答案为：；．
完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
还可以分解，所以是不彻底；
按照例题的分解方法进行分解即可．
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．