2022-2023学年广东省佛山市顺德区红旗中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市顺德区红旗中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.把不等式x≥−1的解集表示在数轴上正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在△ABC中，BC=20，直线DE垂直平分BC，分别交AB、BC于点E、D，若△ACE的周长为32，则△ABC的周长为( )
A. 62B. 52C. 42D. 32
4.在平面直角坐标系中，将点P(n−2,2n+4)向右平移m个单位长度后得到点的坐标为(4,6)，则m的值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 14
5.在平面直角坐标系中，若点P(x−5,6−2x)在第二象限，则x的取值范围是( )
A. 35C. x<3D. −36.有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，你觉得它可能是( )
A. 三角形B. 等边三角形C. 正方形D. 圆
7.如图，在△ABC中，BC=6，∠A=80°，∠B=30°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF=4，则下列结论中错误的是( )
A. BE=4B. ∠F=70°C. AB//DED. CE=3
8.下列说法中，正确的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 两直线平行，同位角互补
C. 等腰三角形的两个底角相等D. 直角三角形中两锐角互补
9.如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点C′落在BC边上，若∠BAB′=40°，则∠C为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
10.用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，以下三个步骤正确的排列顺序是( )
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90°；
②因此假设不成立，∴∠B<90°；
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾；
A. ①③②B. ①②③C. ③①②D. ③②①
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式4−x>1的解集是______．
12.如果等腰三角形的一个外角是60°，那么它的顶角的度数为______．
13.如图，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是______．
14.已知直线y=kx+b(k≠0)过(1,0)和(0,−2)，则关于x的不等式kx+b<0的解集是______．
15.如图，平面直角坐标系中，直线y=12x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，在y轴上有一个动点M，当△MDC的周长最小的时候，点M的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解不等式组：x−(3x−5)>−13x+26−1≤2x−13．
17.(本小题8分)
已知：△ABC．
求作：射线BM，使它平分∠ABC，交AC于点M.(保留作图痕迹，不要求写作法，指明结果)
18.(本小题8分)
如图：在直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位的图形△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°后的图形△A2B2C2，并写出此时A2、B2、C2的坐标．
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD中点，且OA平分∠BAC．
(1)求证：OC平分∠ACD；
(2)求证：AC=AB+CD．
20.(本小题9分)
近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
(1)一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
21.(本小题9分)
如图，一次函数y1=kx+b和y2=−4x+a的图象相交于点B，且一次函数y1=kx+b分别与y轴和x轴交于A和C，若A(0,4)，C(−2,0)．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若不等式kx+b>−4x+a的解集是x>1.求a的值．
22.(本小题12分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，∠OCD=60°，△BOC≌△ADC，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形．
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
(3)当△AOD是等腰三角形，求α的值．
23.(本小题12分)
定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN2= ______；
(2)如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点．
阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形．
请你根据阳阳同学的思路将第(2)小题的证明过程补写完整；
证明：把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN′，连接MN′
∴△AN′C≌△BNC
∴CN′=CN，∠ACN′=∠BCN，∠CBN=∠CAN′
∵∠MCN=45°，∠ACB=90°
∴∠N′CA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=∠ACB−∠MCN=45°
∴……
(3)在(2)的问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM= 3+1，请直接写出BM的长.(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断．
此题主要考查轴对称图形和中心对称图形识别，解题的关键是熟知其两图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：把不等式x≥−1的解集表示在数轴上，正确的是：
故选：B．
根据比−1大的数在−1的右边，x≥−1包括界点−1，据此求解即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确数轴上右边的数总比左边的大．
3.【答案】B
【解析】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∵△ACE的周长为32，
∴AC+AE+EC=32，
∴AC+AE+EB=AC+AB=32，
∴△ABC的周长=AC+AB+BC=52，
故选：B．
根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点P(n−2,2n+4)，
∴向右平移m个单位长度可得P′(n−2+m,2n+4)，
∵P′(4,6)，
∴n−2+m=4，2n+4=6，
解得：n=1，m=5，
故选：C．
根据横坐标，右移加，左移减可得点P(n−2,2n+4)向右平移m个单位长度可得P′(n−2+m,2n+4)，进而得到n−2+m=4，2n+4=6，再解方程即可．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
5.【答案】C
【解析】解：∵点P(x−5,6−2x)在第二象限，
∴x−5<06−2x>0，
解得x<3．
故选：C．
根据第二象限上的点的横坐标小于0，纵坐标大于0可列出一元一次不等式组，求解即可．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，正确列出一元一次不等式组并求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：圆它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，
故选：D．
根据旋转对称图形的概念解答即可．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7.【答案】D
【解析】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC=6，∠A=80°，∠B=30°，
∴EF=BC=6，CF=BE=4，∠F=∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−80°−30°=70°，AB//DE，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误；
B、两直线平行，同位角相等，故本选项说法错误；
C、等腰三角形的两个底角相等，本选项说法正确；
D、直角三角形中两锐角互余，故本选项说法错误；
故选：C．
根据对顶角的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质判断即可．
本题考查的是对顶角的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质．关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质得：∠BAB′=∠CAC′=40°，AC′=AC，
∴∠AC′C=∠C，
∵∠C+∠CAC′+∠AC′C=180°，
∴∠C=180°−40°2=70°，
故选：C．
首先根据旋转的性质求出∠CAC′的度数，进而判断出∠AC′C=∠ACC′，求出∠C的度数即可．
此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”时，
假设在△ABC中，∠B≥90°；
由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾；
因此假设不成立，
∴∠B<90°；
故选：A．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
11.【答案】x<3
【解析】解：4−x>1，
−x>1−4，
−x>−3，
x<3．
故答案为：x<3．
不等式移项，系数化为1即可求解．
本题考查了一元一次不等式的解集，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
12.【答案】120°
【解析】解：等腰三角形的一个外角为60°，
则等腰三角形的一个内角为120°，
当120°为顶角时，其他两角都为30°、30°；
当120°为底角时，三角形内角和大于180°，故不符合题意．
所以等腰三角形的顶角120°．
故答案为：120°．
等腰三角形的一个外角等于60°，则等腰三角形的一个内角为120°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
13.【答案】AB=DC
【解析】解：添加AB=DC．
在△ABC和△DCB中，
AB=DCBC=CBAC=BD，
∴△ABC≌△DCB(SSS)．
∴添加一个适当的条件是AB=DC．
故答案为：AB=DC．
要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
14.【答案】x<1
【解析】解：∵直线y=kx+b(k≠0)过点(1,0)和(0,−2)，
∴直线经过一、三、四象限，
∴y随x的增大而增大，
当x<1时，y<0，
即kx+b<0．
故答案为：x<1．
根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x<1时，y<0，即可求出答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
15.【答案】(0,114)
【解析】解：y=12x+1，
当x=0时，y=1，
当y=0时，x=−2，
∴点A的坐标为(−2,0)、B的坐标为(0,1)，OA=2，OB=1，
由勾股定理得：AB= 22+12= 5，
过D作DE垂直于x轴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEA=∠DAB=∠AOB=90°，AD=AB=CD= 5，
∴∠DAE+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO，
在△DEA与△AOB中，
∠DAE=∠ABO∠DEA=∠AOBDA=AB，
∴△DEA≌△AOB(AAS)，
∴OA=DE=2，AE=OB=1，
∴OE=3，
所以点D的坐标为(−3,2)，
同理：点C的坐标为(−1,3)，
作D关于y轴的对称点D′，连接CD′，CD′与y轴交于点M，
∴MD′=MD，MD′+MC=MD+MC，此时MD′+MC取最小值，
∵点D(−3,2)关于y轴的对称点D′坐标为(3,2)，
设CD′的解析式为y=kx+b，代入C(−1,3)，D′(3,2)，
3=−k+b2=3k+b，解得k=−14b=114，
∴y=−14x+114，
∴M(0,114)，
故答案为：(0,114).
把x=0和y=0分别代入y=12x+1，求出A，B两点的坐标，过D作DE垂直于x轴，证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；先作出D关于y轴的对称点D′，连接CD′，CD′与y轴交于点M，即可求解．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，理解轴对称的最值问题是解本题的关键．
16.【答案】解：解不等式x−(3x−5)>−1，得：x<3，
解不等式3x+26−1≤2x−13，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<3．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图，射线BM即为所求．

【解析】根据作一个角的平分线的过程即可进行作图．
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

(2)如图，△A2B2C2为所作；

此时A2、B2、C2的坐标分别为：此时A2(0,−3)、B2(−3,−4)、C2(−2,−2)．
【解析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−旋转变换：记住关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．也考查了平移变换．
19.【答案】证明：(1)如图，延长AO交CD延长线于点E，

∵O为BD中点，
∴BO=DO，
在△AOB和△EOD中，
∠AOB=∠EODBO=OD∠ODE=∠ABO，
∴△AOB≌△EOD(ASA)，
∴AO=OE，
∵OA⊥OC，
∴AC=CE，
∴OC平分∠ACD；
(2)∵△AOB≌△EOD，
∴AB=DE，
∵AC=CE，CE=CD+DE，
∴AC=CD+DE=CD+AB．
【解析】(1)延长AO交CD延长线于点E，通过证明△AOB≌△EOD可以得到AO=OE，利用等腰三角形三线合一性质即可证明OC平分∠ACD；
(2)由第(1)问△AOB≌△EOD可得AB=DE，又因为AC=CE，AC=CD+DE=CD+AB．
本题考查了全等三角形，角平分线，题解题的关键是利用“倍长中线造全等”的方法构造全等三角形，要证明一条线段等于两条线段之和，可以采用“截长补短”的方法构造全等三角形证明．
20.【答案】解：(1)设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，
根据题意得：
5x+10y=200010x+5y=2500，
解得：x=200y=100．
答：一台A型空气净化器的销售利润为200元，一台B型空气净化器的销售利润为100元；
(2)设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100−m)台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100−m≥2m，
解得：m≤1003，
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w=200m+100(100−m)=100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，
∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100−m=67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
【解析】(1)设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100−m)台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出二元一次方程组；(2)根据总利润=单件利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式；(3)根据两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，列出关于a的一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y1=kx+b分别与y轴和x轴交于A和C，A(0,4)，C(−2,0)，
∴b=4−2k+b=0，
解得k=2b=4，
∴直线AC的解析式为y1=2x+4；
(2)∵不等式kx+b>−4x+a的解集是x>1，
∴点B的横坐标是x=1，
当x=1时，y1=2×1+4=6，
∴点B的坐标为(1,6)，
把点B的坐标代入y2=−4x+a得，6=−4+a，
解得a=10．
故a的值为10．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)将x=1代入y1=kx+b即可求得点B的坐标，根据点B也在函数y2=−4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
(2)解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°，
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°；
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°；
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°；
③当∠ADO=∠OAD时，α−60°=50°，
∴α=110°；
综上所述：当△AOD是等腰三角形时，α为110°或125°或140°．
【解析】(1)由全等三角形的性质得OC=DC，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等三角形的性质易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO=90°，即可得出结论；
(3)根据全等三角形的性质及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握
全等的三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
23.【答案】5或13
【解析】(1)解：①当MN为最长线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN2=MN2−AM2=32−22=5；
②当BN为最长线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN2=MN2+AM2=32+22=13；
综上所述：BN2的值为5或13；
(2)证明：把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN′，连接MN′，
则△AN′C≌△BNC，
∴CN′=CN，AN′=BN，∠ACN′=∠BCN，∠CBN=∠CAN′，
∵∠MCN=45°，∠ACB=90°，
∴∠N′CA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=∠ACB−∠MCN=45°，
∴∠MCN′=∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
CM=CM∠MCN=∠MCN′CN=CN′，
∴△MCN≌△MCN′(SAS)，
∴MN′=MN，
∵∠CAN′=∠CAB=45°，
∴∠MAN′=90，
∴AN′2+AM2=MN′2，
∴BN2+AM2=MN2，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
(3)解：如图③，过N作于NH⊥CM于H．
则∠NHM=∠NHC=90°，
∵∠NMH=∠CAM+∠ACM=45°+15°=60°，
∴∠MNH=90°−60°=30°，
设HM=x，则MN=2x，
∴HN= MN2−HM2= (2x)2−x2= 3x，
∵∠MCN=45°，
∴△NCH是等腰直角三角形，
∴HC=HN= 3x，
∵HC+HM=CM，
∴ 3x+x= 3+1，
解得：x=1，
∴MN=2．
由(2)可知，BN2+AM2=MN2，
∴BN= MN2−AM2= 22−12= 3，
∴BM=MN+BN=2+ 3．
(1)①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN2；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN2即可．
(2)证明△MCN≌△MCN′(SAS)，得MN′=MN，再证∠NAM=90°，即可解决问题；
(3)过N作于NH⊥CM于H.由直角三角形的性质求得MN=2.再由(2)得BN2+AM2=MN2，求出BN的长，即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、新定义、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．A型销售数量(台)
B型销售数量(台)
总利润(元)
5
10
2000
10
5
2500