四川省乐山市沫若中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学（文）试题及答案

四川省乐山市沫若中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（每题5分，总计60分）

1．复数 (为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为

A． B． C． D．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

4．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算 的近似值（其中P表示的近似值）”.若输入，输出的结果P可以表示为

A． B．

C． D．

5．我国古代典籍《周易》用“卦”推测自然和社会的变化，如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦、分别象征着天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.每一卦由三个爻组成，其中“▃”表示一个阳爻，“▃▃”表示一个阴爻）.若从含有两个或两个以上阴爻的卦中任取两卦，这两卦中恰好含有两个阳爻的概率是（    ）

A． B．          C． D．

6．已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（    ）

A．   B．    C．    D．

7．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（    ）

A．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

B．甲成绩比乙成绩更稳定

C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差

D．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

8．若f′(x0)＝，则 等于（    ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

9．函数在区间的图像大致为（    ）

A．   B．  C．  D．

10．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的概率是（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（    ）

A．    B．   C．    D．

二、填空题（每题5分，总计20分）

13．已知，则_____．

14．为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．

15．已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是__________.

16．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C为直角，BC=2，EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC，当四棱锥A-CBFE的体积最大时，EF的长为        ．

三、解答题（17题10分，其余各题12分，总计70分）

17．（本题满分10分）已知函数在处取得极大值.

(1)求的值；

(2)当时，求的最大值.

18．（本题满分12分）近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：

并计算得，，，，．

(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；

(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．

附：相关系数，．

19．（本题满分12分）某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；

(2)若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.

20．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．

(1)证明：∥平面；

(2)若，，求点到平面的距离．

21．（本题满分12分）设函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．

22．（本题满分12分）已知函数.

(1)讨论的单调性.

(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.

①求实数的取值范围；

②证明：.

参考答案：

1．A

【详解】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标．

详解：复数，所以复数在复平面内表示的点的坐标为，选A.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题．

2．C

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

所以，原命题的否定为.

故选：C

3．C

【详解】由，故时，时，

所以时递减，时递增，

综上，的递增区间为.

故选：C

4．C

【详解】第1次循环:;

第2次循环:；

第3次循环: ;

…

第8次循环: ,

此时满足判定条件,输出结果.

故选:C

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题

5．B

【详解】含有两个或两个以上阴爻的卦有坎、艮、震、坤卦，若任取两卦则有种，

其中恰好含有两个阳爻的有坎卦与艮卦；坎卦与震卦；艮卦与震卦共3种，

故概率为，

故选：B.

6．B

【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，

故选：B.

7．B

【详解】对A、B：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A错误，B正确；

对C：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C错误；

对D：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D错误；

故选：B.

8．D

【详解】解：因为f′(x0)＝，

所以 ，

故选：D

9．B

【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；

当时，，则，

所以，

所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；

故选：B.

10．C

【详解】，

在上是增函数

恒成立

解得或

又是区间内任取的一个数

由几何概型概率公式得

函数在上是增函数的概率

故选：C．

11．C

【详解】存在两个零点，则有两个不同的实数根，

当时，只有一个零点，不符合题意，故，

即有两个不同的实数根，

记，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，

又当时，，如图为的图象

要使有两个不同的实数根，则，所以，

故选：C

12．C

【详解】设，，

由题意得时，，单调递增，

因为为偶函数，所以，

所以，

所以为奇函数，所以在上单调递增，

因为，所以，

因为，所以，

所以，所以，

故选：C．

13．

【详解】，令，

则，故．填．

【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．

14．

【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，

又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，

设该校共有名学生，可得，解得（人），

即该校共有名学生.

故答案为：.

15．

【详解】对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数，

设 ，则在上单调递增，故 恒成立，

即，设 ，

当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；

故，即；

故答案为： .

16．/

【详解】由题意可知AEC是等腰直角三角形，

EF∥BC，沿EF把面AEF折起，使面AEF⊥面EFBC， ,

平面AEF平面EFBC=EF，平面AEF,故AE⊥平面BCEF，

设EF=x，则AE＝x，EC＝2-x，

四棱锥A﹣CBFE的体积：V，（），

，由 ，解得x，

当x∈(0，)时，，当x∈(，2)时，,

∴当时，四棱锥A﹣CBFE的体积最大，即EF的长为．

故答案为：．

17．(1)

(2)5

【详解】（1），且函数在处有极值1，

，解得.                             

又当时，

当或时，，

当时，，

故在处取得极大值，满足题意.

综上，.

（2）当，时，．则．

当变化时，与的变化情况如下表：

所以时，的最大值为.

18．(1)，两个变量线性相关程度较高

(2)该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

【详解】（1）因为，，

所以，，又，，，

所以，

，

，

所以，

故两个变量线性相关程度较高．

（2）设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m，

则，解得，

所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为亿元．

19．(1) ，6人

(2)

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，

解得.

该校学生满意度打分不低于分的人数为 .

（2）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，

抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.

设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，

则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：

，，共种.

其中两人都在内的可能结果为，

则这人至少有一人打分在的概率.

20．(1)证明见解析；

(2).

【详解】（1）如图，连接交于点，连接，

因为四边形为矩形，且为的中点，所以，

又因为，所以，所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，

过作，垂足为，连接，过作，垂足为，

因为平面，平面，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

又平面，，

所以平面，即线段为点到平面的距离．

因为，，，所以，

由几何关系可知，

所以，，

由几何关系可知，

所以，故点到的距离为．

21．(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【详解】（1）当时，，，

则当时，；当时，；

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由得：，

当时，，，

令，则；

令，则，

，在上单调递减，，

，即实数的取值范围为.

22．(1)答案见解析

(2)①；②证明见解析

【详解】（1）.

当时，在上单调递减；

当时，令，得.

当时，，当时，，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，不可能有两个零点，

当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

又，；，；

所以的取值范围是.

②曲线在和处的切线分别是，

联立两条切线方程得，所以.

因为所以.

要证，只需证，

即证，只要证.

令，.

则，所以在上单调递减，

所以，

所以，所以.

【点睛】已知函数零点个数求参数范围问题方法点睛：

可以通过构造函数，分情况讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，根据零点个数，考虑图像的交点情况，得出参数的取值范围.