2022-2023学年四川省乐山沫若中学高二上学期第二次月考（期中考试）数学（文）试题

沫若中学2021级高二上第二次月考数学（文）试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

A．   B．    C．   D．

3．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4.过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ）

A． B． C． D．

5．在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（    ）

A． B． C． D．

7．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8.已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则（    ）

A．3 B．9 C． D．12

9．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）

A．     B．      C． D．

10.已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（    ）．

A．22       B．49 C．7          D．

11.已知椭圆右顶点为，若是椭圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ）

A．0        B．3         C．8           D．9

12.如图，在棱长为1的正方体中，是上的动点，则下列说法不正确的是（    ）

A．直线与是异面直线   

B．平面   

C．的最小值是2      

D．当与重合时，三棱锥的外接球半径为

第II卷（非选择题）

二、填空题

13.点P(2,1)在椭圆的内部______.（正确或错误）

14．若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________

15．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.

16．设F1，F2分别是椭圆（a > b > 0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该椭圆的离心率为_______________________

三、解答题

17.已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6,求点的轨迹的方程.

18．如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求与平面所成角的正弦值.

19．已知椭圆经过点和点，一直线与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为.

（1）求椭圆的方程.

（2）求弦AB所在的直线方程.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面.

（1）求证：平面平面；

（2）若为棱的中点，在棱上求一点F，使平面.

21．如图，菱形的边长为6，对角线交于点，，将沿折起得到三棱锥，点在底面的投影为点．

（1）求证：；

（2）当为的重心时，求到平面的距离

22.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，

①若，求直线方程；

②求面积的最大值（为坐标原点）

 2012级高二上数学（文）月考试题参考答案

选择题BBADA    DCACC  CC

填空题         

12.【详解】.A选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A正确；

B选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平行四边形，

有，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，

又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面，又平面，所以平面，故选项B正确；

C选项，延长到，使得，连接，

在上取点，使得，

则，有.

故.

过点作，交于点，

在中，因为，所以，又，

所以，，，，

所以的最小值为，故选项C错误；

以的最小值为，故选项C错误；

D选项，当P与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

又正方体的棱长为1，故其外接球半径，故选项D正确.

故选：C

16.【详解】设是线段的中点，连接.

由于，所以，

由于是线段的中点，所以，

由于，所以，

所以，

所以.

三．解答题

17.解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，

所以，

故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；

18．解.（1）证明：在正三棱柱中，平面，因为平面，所以.

又，，，平面，

所以平面.

又因为面，所以面面.

（2）在平面中，作于点E.

由（1）可知平面，

因为平面，所以，

又，，平面，

所以平面.

因此为与平面所成的角.

因为在正三棱柱中，为正三角形，

由平面，平面，得，

所以D为BC的中点，.

在Rt中，，即，所以与平面所成角的正弦值为.

19.解.（1）由题意知，点，分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，，故所求椭圆的标准方程为；

（2）解：设经过点的直线方程为，代入椭圆方程，

整理得，

设A、B的横坐标分别为、，则，

解之得，故AB方程为，即所求的方程为.

法二：点差法

20．解.（1）证明：因为底面，平面,所以；

又底面为正方形，所以,,所以平面,

又平面，所以平面平面,得证.

（2）法一：如图所示，取的中点,的中点,连接、、,所以会有,,又,,所以且,

所以四边形为平行四边形，所以,面,面,所以平面平面,

所以点，即为我们要找的F点.

法二：先猜后证

21.解.（1）证明：因为折叠前，所以，，因为，所以平面，

又平面，所以．

（2）当为的重心时，如图，，

因为，，所以，，故，，因为平面，所以，在中，，，在中，，，由勾股定理可得点A到BD的距离为，

所以，设到平面的距离为，因为，，则．即到平面的距离等于．

22．解.（1）椭圆的焦点在轴上，根据题意，显然有：，，又，

解得：，故椭圆的标准方程为：.

（2）设直线的方程为：，联立椭圆方程：，可得：，

因直线与椭圆交于两点，故，解得：；

设坐标分别为，则；

①若，则，即，

，即，

故，解得，，

此时，直线方程为：或；

②，

又点到直线的距离

设的面积为，则，

令，故，

当时，的面积取得最大值.