四川省乐山市沫若中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学（理）试题

沫若中学高2021级高二下第一次月考

数学试题（理）

一、单选题

1．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知，则z的虚部是（    ）

A． B． C．－i D．－1

3．已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（    ）

A．150，15 B．150，20 C．200，15 D．200，20

4．某地区2022年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：

根据图表判断，以下结论正确的是（    ）

A．8月每天最高气温的极差小于15℃

B．8月每天最高气温的中位数高于40℃

C．8月前15天每天最高气温的方差大于后16天最高气温的方差

D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差

5．四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地．乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（    ）

A． B． C． D．

7．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，也告诉我们熟能生巧，人外有人的道理．若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．某区高一年级从2019年秋季开始使用人教版新教材，为了调查新教材的使用情况，将全区高一年级的3600名学生的期中考试数学成绩分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），[80，90），［90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．现从成绩不少于70分的学生中，利用分层抽样抽取120人进一步做能力测试，则期中考试成绩在的应抽取（    ）

A．40人 B．48人 C．50人 D．60人

9．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则=（    ）

A．32 B． C． D．8

10．据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（    ）

A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值増加速度变快

B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点

C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为

D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1

11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

二、填空题

13．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．

14．有一组样本数据，，，该样本的平均数和方差均为2．在该组数据中加入一个数2，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为______．

15．设，若，则的取值范围是______．

16．《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀型的，即由在同一直线上的三个半圆圆O，圆O1，圆O2围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀型，其半径分别为R，r1，r2，其中，如图所示，在大半圆O内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为，则的值为______．

三、解答题

17．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关？

附：

18．已知命题，；命题q：关于x的方程有两个不同的实数根．若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．

19．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》、《遗传资源议定书》缔约方会议。为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采。会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：

（1）求x的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数．

（2）用分层抽样的方法从［20，40），［80，100）这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图：

①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求m的值；

②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是［80，100）这组的概率．

20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，，，AD⊥AB，AB⊥AF，AD=AB=2BC=2BE=2．

（1）已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE；

（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．

21．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点D（4，0），斜率为k的直线l不过点D，且与椭圆C交于A，B两点，∠ADO=∠BDO（O为坐标原点）直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

22．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，

，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本的相关系数

，．

沫若中学高2021级高二下第一次月考

数学试题（理）参考答案

一、单选题

1．B  2．D  3．A  4．D  5．B  6．A  7．B  8．C  9．A  10．C  11．C  12．A

二、填空题

13．15； 14．； 15．［3，7]； 16．；

三、解答题

17．解：根据题意可得：

∵，

故有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．

18．解：因为为真命题，为假命题，所以命题和命题一真一假，

若命题为真命题，，，则，

因为函数单调递增，所以，则，即，

若命题为真命题，则，解得；

因为命题和命题一真一假，所以或，

解得或；

综上所述，实数的范围为．

19．解：（1），解得，

前两组频率之和，

设中位数为，则，解得，所以中位数为65；

平均数为：30×0.08+50×0.32+70×0.4+90×0.16+110×0.04=65.2

（2）①（22+39+80+81+80+m+93）÷6=67，解得m=7，

②［20，40），［80，100）两组频率比为0.004：0.008=1：2，

故［20，40）组中所抽取2人编号为A1，A2，［80，100）组中所抽取4人标号为B1，B2，B3，B4，

则基本事件如下：

（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）

（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个。

所抽取2人都在［80，100）的基本事件有6个，所以概率．

20．解：（1）连接AE，交BG于点O，取DE的中点H，连接HO，HC，GE，

∵，AG=BE，∴四边形ABEG为平行四边形，

∴．O为AE的中点，∴，，

又，，∴，OH=BC，∴四边形BCHO为平行四边形，∴，

∵平面DCE，平面DCE，∴平面DCE，即平面DCE．

（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD平面ABCD，

∴AD⊥平面ABEF，

以A为原点，以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设且，则，，，，，

∴，，，，

设平面DCE的法向量为，则，即，

令，则，∴，

∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，

∴

化简得，解得或（舍），∴

设平面BDF的法向量为，则，即，

令，则，∴，

∴，

故平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为．

21．解：（1）由题意可得，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，，

联立，整理得，

则，即

又，

因为，所以，

所以

所以，

即

整理得，即，此时

则直线的方程为，故直线过定点．

22．解：（1）由样本数据得的相关系数为

．

由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i）由于，，

由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，

因此需对当天的生产过程进行检查．

（ii）剔除离群值，即第13个数据，

剩下数据的平均数为，

这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02

，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

，

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为．