2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第二次月考数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】将写成的形式，即可判断所在的象限.

【详解】，对应点位于第四象限.

故选：

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义.

2．方程表示的是（       ）

A．两条直线 B．一条直线和一条双曲线 C．两个点 D．圆

【答案】C

【解析】利用两个非负数之和为零则两个数均为零，构建方程，解方程组即得结论.

【详解】方程，即，解得或，

故方程表示两个点.

故选：C.

3．已知双曲线两条渐近线方程为，并且经过点，则其标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，设双曲线的方程为，代入点，求得的值，即可求解.

【详解】由题意，双曲线两条渐近线方程为，可设双曲线的方程为，

因为双曲线经过点，代入可得，

所以双曲线的方程为，即标准方程为

故选：A

4．已知，则使成立的必要不充分条件是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式可得，然后结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．

【详解】由可得，解得．

选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；

选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；

选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；

选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．

故选B．

【点睛】本题考查对充分条件、必要条件概念的理解，解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立，属基础题．

5．已知，且，则实数a的值为(      )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．

【详解】∵，

∴，

，

，

．

故选：D．

6．函数在的最小值为（          ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【分析】求导数,根据导数的符号判断函数在上的单调性,利用单调性求最值即可.

【详解】由题意知,函数的导数,

所以当时,恒成立,

即函数在上单调递增,

所以函数在上的最小值为,

故选:A

【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数在给定区间上的最值;正确理解导数与函数单调性、最值的关系是求解本题的关键;属于基础题.

7．某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了1､2､3三个数字的编号，然后将它们随机均分给甲､乙､丙三名同学，每人将得到的冰墩墩编号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：①甲抽取的是1号冰墩墩；②乙抽取的不是2号冰墩墩：③丙抽取的不是1号冰墩墩.若三种说法中只有一个说法正确，则抽取2号冰墩墩的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判定

【答案】A

【分析】利用假设法进行推理，得到正确答案.

【详解】假设①正确，则③正确，故不合题意；

假设②正确，若乙抽取到是1号冰墩墩，则③正确，符合题意；

若乙抽取到的是3号冰墩墩，由于甲不能抽取1号冰墩墩，所以甲只能抽到2号冰墩墩，而丙抽取到1号冰墩墩，满足题意，

假设③正确，若丙抽到的是2号冰墩墩，则甲抽到的是3号冰墩墩，乙抽取到1号冰墩墩，则②正确，不合题意；

若丙抽到的是3号冰墩墩，则甲抽到的是2号冰墩墩，乙抽到的是1号冰墩墩，则②正确，不合题意.

综上：甲抽到的是2号冰墩墩.

故选：A

8．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先构造函数，，再求导，再利用已知条件可得在上单调递减，再利用函数增减性可得，即可得解.

【详解】解：令，，

则，

∵，即，

∴，

∴在上单调递减，

故，

即，

即，

故选D．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性判断函数值的大小关系，属中档题.

9．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（       ）

A．3 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出长轴长.

【详解】椭圆的面积，即①.

因为点P为椭圆C的上项点，所以.

因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.

因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②

①②联立解得：.

所以椭圆C的长轴长为2a=6.

故选：B

10．函数的图象大致是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断A、D，再根据时函数值的特征排除C，即可判断；

【详解】解：因为，所以，令，即，解得、，

所以当或时，当时，

所以在和上单调递增，在上单调递减，故排除A、D；

当时，，所以，故排除C；

故选：B

11．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（        ）

A．10 B．14 C．12 D．16

【答案】C

【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，

根据抛物线的定义得，．

又，所以．

因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，

所以的最大值为12，

故选：C

12．已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由推出 为 的中点，从而可得， 轴，求出，结合可得到关于a,b,c的齐次式，进而求得离心率.

【详解】由可得，，即，

则 为 的中点，

由于O为 的中点，故 ，

故 轴，将代入中得： ，

故 ，

因为直线的斜率为 ，故 ,

所以 ，即 ，

故 （负值舍去），故，

故选：D

二、填空题

13．命题“若，则”的逆否命题为__________．

【答案】若，则

【解析】根据逆否命题的定义即可得结果.

【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若，则”．

故答案为：若，则

14．函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【分析】求出，利用在恒成立可求实数a的取值范围.

【详解】，因为在区间上是增函数，

故在恒成立即在恒成立，

故在恒成立，故.

故答案为：.

【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

15．用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则ak=___________.

【答案】

【分析】先求出，因为在回归直线上，求出，将化简为，代入即可得出答案.

【详解】由题意得，因为在回归直线上，所以，由得与比较得：，a.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】分参后构造函数，对函数求导后利用函数的单调性求得函数的最小值，利用恒成立即可求得结果.

【详解】当时，，∴恒成立；令，则；

则当，即时，；当，即时，；

∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即实数k的取值范围为．

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合：；集合（m为常数）．

(1)定义且，当时，求；

(2)设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；

(2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可.

【详解】(1)解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．

故．由可得 即，解得，

故，

则．

(2)由，即，

解得．

因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，

解得，

故m的取值范围为．

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间与极值．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为.

【分析】（1）求出即可得到答案；

（2）利用导数求解即可.

【详解】(1)因为，所以，

因此曲线在点处的切线的斜率为1，切线方程为．

(2)令，解得：或2．

所以在、上是减函数，在上是增函数．

因此函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．

综上：的单调递增区间为，单调递减区间为和，极小值为0，极大值为．

19．为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.

(1)由统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.

附:，（）

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）填写列联表，计算，对照数表即可得出结论．

（2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人，得出基本事件个数计算概率即可．

【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：

根据列联表中的数据,得的观测值为,

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为,

,

【点睛】本题考查概率与统计，属于简单题．

20．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线以及直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若，直线与曲线相交于不同的两点，，求的值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【分析】（1）消去参数t可得的普通方程，利用平方关系消去参数可得曲线C的直角坐标方程，把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得曲线以及直线的极坐标方程．．

（II）把直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数的几何意义求得结果．

【详解】（Ⅰ）依题意，曲线：，故，

即，即；

直线：，即，即，

故；

（Ⅱ）将直线的参数方程代入中，

化简可得，

设，所对应的参数分别为，，

则，，

故.

【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查了直线参数的意义，考查了计算能力，属于中档题．

21．已知椭圆的左顶点为，焦距为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）．（2）直线不存在．见解析

【解析】（1）据题意有，，则通过计算可得椭圆的标准方程；

（2）可先假设直线存在，可设直线的斜率为，则直线．根据及圆的性质可知垂直平分．再根据点到直线的距离公式可得的关于的表达式，再解可得的关于的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，．根据弦长公式可得的关于的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果值存在则直线存在；如果没有值则直线不存在．

【详解】（1）由题意，可知，．则，．

椭圆的标准方程为．

（2）由题意，假设存在直线使得，可设直线的斜率为．

则直线．

，即点为线段中点，

根据圆的性质，可知，且平分．

根据题意画图如下：

则．

在中，．

联立直线与椭圆方程，可得：

，

消去，整理得．

则△．

，．

．

，整理，得．很明显矛盾，

故直线不存在．

【点睛】本题考查直线、圆和椭圆三者综合的问题、弦长公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个正零点，求a的取值范围，并证明：．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）先求得函数的导函数以及定义域，对分成两种情况分类讨论，由此求得函数的单调区间.（2）先根据（1）以及函数有两个零点，判断出，根据（1）中求得的函数单调性，得到，解不等式求得的取值范围.求得的取值范围，通过证明，结合在上递减，得到，即.

【详解】解：（1）

当时，在上递减；

当时，令

则时，在上递减；

时，在上递增

综上：时，的减区间是

时,的减区间是，增区间是

（2）证；由（1）知，有两个零点，则且

且由时，时，

解得：

∴a的范围是

不妨令，则

故

又

，即

在上递减.，即

【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.