黑龙江省哈尔滨市第四中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试卷及答案

哈四中2024届高二下学期期中考试

   数学试卷2023.5.19

试卷满分:150分         考试时间：8:00—10:00

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知等差数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．设函数在处的导数为2，则（    ）

A． B．2 C． D．6

4．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

5．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

6．若函数在处取得极值1，则（   ）

A．-4 B．-3 C．-2 D．2

7．已知数列满足，若，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分，错选0分，漏选2分）

9．下列求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10． 已知函数，则（    ）

A．函数在上单调递增 B．有三个零点

C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线

11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，则

12.已知函数，则（    ）

A．若的最小正周期为，则

B．若，则在上的最小值为

C．若在上单调递增，则

D．若在上恰有2个零点，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．

14．是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则__________．

15．某质点运动的位移随时间变化的函数关系为+4­­­­，则t=2时的加速度为_______.

16．将数列中的项排成下表：

，

，，，

，，，，，，，

…

已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.

四、解答题（共6个题，共70分）

17．已知各项均为正数的数列{}满足（正整数

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{}的前n项和.

18．已知分别为的内角的对边，且.

(1)求角；

(2)若的面积为，求的周长.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

20．如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离．

21．已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

22．已知函数在处取得极值．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

高二数学期中考试参考答案

1．A    2．A   3．D   4．A   5．D6．D    7．D   8．B

9．BCD、10．CD、11．BC、12．AC、13．、14．、15．16、16．1344

17（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，

得：，因为，所以，又，

所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.

（2）由（1），则，

所以

.

18．（1）解：因为，

所以由正弦定理得.

因为，所以，

所以.因为，所以，

所以，即.所以，

即又，所以.

（2）因为的面积为，所以.由，所以.

由余弦定理得，

又，所以.解得.故的周长为.

19．（1），则，则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，由可得或，

则函数的单调增区间为，.

20．（1）如图，取中点，连结，

因为，，，

所以四边形为矩形，∴，

∵侧面为等边三角形，，则，且，而，

∴满足，∴为直角三角形，即，

又，平面，平面

∴平面，且平面∴，

又∵，，平面，平面

∴平面．

（2）由（1）可知，∴，又∵，，

∴，而，设点到平面的距离为，

由于，则有，

∴，∴，因此点到平面的距离为．

21．（1）因为，所以当时，，

两式相减，得，整理得，

即时，，又当时，，解得，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，所以，

令，易知，，

设数列的前项和为，则①，②，

由①-②，得，

即，

所以，

所以.

22．（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，当x变化时，，的变化情况如表所示．

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，

单调递增区间是．

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，则，．

若在上恒成立，则．

即，解得或，所以实数c的取值范围是．