哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,,则a,b的等差中项为( )
A.6B.5C.7D.8
2．函数的单调递增区间为( )
A.B.C.D.
3．用数学归纳法证明不等式的过程中,由递推到时不等式左边( )
A.增加了
B.增加了
C.增加了,但减少了
D.增加了,但减少了
4．如图为函数（其定义域为）的图象,若的导函数为,则的图象可能是( )
A.B.
C.D.
5．在等差数列中,为的前n项和,,,则无法判断正负的是( )
A.B.C.D.
6．等差数列,的前项和分别为,且,则( )
A.7B.8C.9D.10
7．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数,若数列满足,则称数列为牛顿数列,若函数,且,则的值是( )
A.8B.2C.-4D.-6
8．已知各项为正的数列的前n项和为,满足,则的最小值为( )
A.B.4C.3D.2
二、多项选择题
9．下列求导运算错误的是( )
A.B.
C.D.
10．已知数列中,,,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.是等比数列D.
11．下列命题正确的有( )
A.若等差数列的前n项的和为,则,,也成等差数列
B.若为等比数列,且,则
C.若等差数列的前项和为,已知,且,,则可知数列前项的和最大
D.若 ,则数列的前2020项和为4040
12．1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是( )
A.若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B.若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C.若最初有3121个桃子,则第5只猴子分得256个桃子(不含吃的)
D.若最初有k个桃子,则必有的倍数
三、填空题
13．已知函数在处的导数值为2,则________.
14．曲线,在点处的切线的倾斜角为____________.
15．函数的单调递减区间为___________.
16．为不超过x的最大整数,设为函数,,的值域中所有元素的个数.若数列的前n项和为,则___________.
四、解答题
17．求下列已知函数的导函数
（1）
（2）
（3）
（4）
18．在正项等比数列中,,且,的等差中项为．
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和为．
19．已知数列的前n项和为,数列是以-9为首项,1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
20．在数列中,,且对任意,都有.
（1）证明：是等比数列,并求出的通项公式;
（2）若,且数列的前n项积为,求和.
21．小明同学高一的时候跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质,得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼．后来,他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质,发现这类函数在轴两边“同升同降”,且可以“上天入地”,他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”．现在小明已经上高二了,目前学习了一些导数知识,前些天,他研究了如下两个函数（函数恒有意义）：和,得出了不少的“研究成果”,并且据此他给出了以下三个问题,请你解答：
（1）当,时,求函数的单调递增区间;
（2）当,时,经过点作曲线的切线,切点为P．求证：不论p怎样变化,点P总在一个“双升双降函数”的图像上;
（3）当,时,若存在斜率为1的直线与曲线和都相切,求的最小值.
22．已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,若存在,使,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：设a,b的等差中项为m,
所以,
因为,,所以,
故选：A.
2．答案：B
解析：由已知得,
令,
则,
函数的单调递增区间为．
故选：B．
3．答案：C
解析：当时,,
当时,,
故增加了,但减少了.
故选：C.
4．答案：A
解析：由图象知在上先减后增,故在上函数值先负后正,
同理在上的符号是先负后正,四个选项中仅有选项A符合.
故选：A.
5．答案：B
解析：设公差为d,因为,,可知：,且,,所以,
从而,不确定正负,
,
故选：B.
6．答案：B
解析： ,
由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得,
.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为,则,
则,故,
所以数列是以首项,公差为-1的等数列,可得.
故选：D.
8．答案：D
解析：各项为正的数列,,
,
时,,
即,化为：,
,,
又,解得,
数列是等差数列,首项为1,公差为2．
,
,
,
当且仅当时取等号,
的最小值为2．
故选：D．
9．答案：ACD
解析：对于A,,故A错误,
对于B,,故B正确,
对于C,,故C错误,
对于D,,故D错误,
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：,即,则,,,所以A正确;
显然有,所以B不正确;亦有,所以D不正确;
又,相除得,
因此数列,分别是以1,2为首项,2为公比的等比数列,故C正确.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：A.等差数列的前项的和为,则,,也成等差数列,故错误;
B.为等比数列,且,则,所以,故正确;
C.因为,则,,则,所以,,
所以数列前6项的和最大,故正确;
D.因为,所以数列的前2020项和为：,,故正确.
故选：BCD.
12．答案：ABD
解析：设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,,,,
则,,
若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),
则,
所以,
即,故A正确;
由A,
则,
即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,
所以是以为公比的等比数列,故B正确.
由B知,是等比数列,
所以,
即,
若最初有个桃子即,
所以,故C错误;
根据题意:,
因为以为公比的等比数列,
所以,
化简得,
因为,且为正整数,
所以,
即必有的倍数,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：4
解析：,
,
故答案为：4
14．答案：
解析：对求导得,,
当时,,
由导数的几何意义,在点处的切线的斜率为,
即,所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：函数的定义域为,则,
令,则,解得,
故函数的单调递减区间为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为时,,,即;
时,,,即;
时,,,即;
时,,,即;
…
以此类推,,
故,
故.
故答案：.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设正项等比数列的公比为,
由题意可得,解得．
数列的通项公式为;
（2）.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的首项为,公差为d,
则,所以
当时,
又也符合上式,
故数列的通项公式为.
（2）当时,,数列的前n项和;
当时,,
数列的前n项和
,
.
综上所述：
20．答案：（1）证明见解析,
（2）,
解析：（1）由题意可得：,
是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以
是以1为首项,1为公差的等差数列,;
（2）由上可得：,
同理.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）,,
当时,,
故函数的单调递增区间为,.
（2）当,时,,,
设,切线方程为,
代入,得,即
又因为,则,即
于是可得,即点P在“双升双降函数”的图像上.
（3）当,时,,
,
设曲线在点处的切线斜率为1,
则,所以,则,
设曲线在点处的切线斜率为1,则,
所以,点,
所以直线的斜率,所以,
由于,所以（当且仅当时取等号）,
所以当时,的最小值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）证明：因为,
所以,即,
因为,所以,
故数列是以12为首项,3为公比的等比数列,
所以,则.
（2）由（1）知,
所以.
当n为偶数时,
,
因为是单调递减的,所以.
当n为奇数时,
,
又是单调递增的,
因为,所以.
要使存在,使,只需,即,
故m的取值范围是.