2023届上海市位育中学高三下5月高考模拟数学试题含解析

2023届上海市位育中学高三下5月高考模拟数学试题

一、填空题

1．已知集合，集合，则________．

【答案】/

【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，等价于，解得或，

所以，又，

所以.

故答案为：

2．已知球的半径为3，则该球的体积为 _________ .

【答案】

【分析】根据球的体积公式计算可得；

【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；

故答案为：

3．椭圆的焦距为________．

【答案】

【分析】根据椭圆的基本性质计算可得.

【详解】椭圆，即，所以，，

则，所以，则焦距为.

故答案为：

4．方程的解集为________．

【答案】

【分析】依题意得到，解得即可.

【详解】因为,

则，解得，

所以方程的解集为.

故答案为：

5．已知为锐角，若，则________．

【答案】

【分析】运用诱导公式和同角的基本关系求解即可.

【详解】，所以，

因为为锐角，所以，，

故答案为：

6．已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．

【答案】，，

【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数的零点.

【详解】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得

所以，则函数的零点为方程的根，解得或，

所以函数的零点为，，.

故答案为：，，.

7．若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，，有的最小值为，则________．

【答案】

【分析】先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个取得最小值，结合三角函数的性质和的最小值为，即可求解的值；

【详解】由函数的图像向右平移，可得

由可知一个取得最大值一个取得最小值，

不妨设取得最大值，取得最小值，

，，．

可得，

所以，

的最小值为，

，得，

故答案为：.

8．若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则的值为________．

【答案】

【分析】在所给的已知式中，令，可得的值，再令，求出，即可得解．

【详解】因为等式

对一切都成立，其中，，，为实常数，

则令，可得，

令，可得，

所以.

故答案为：．

9．已知一组样本数据，，…，，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，对于新的数据有以下四个判断：①平均数不变；②中位数不变；③极差变小；④方差变小，其中所有正确判断的序号是________．

【答案】①③④

【分析】由平均数、中位数、极差及方差的概念计算即可.

【详解】对于①，新数据的总数为，

与原数据总数一样，且数据数量不变都是，故平均数不变，故①正确；

对于②，不妨设原数据为：，，，中位数为，

则新数据为，，，中位数为，显然中位数变了，故②错误；

对于③，原数据极差为：，新数据极差为：，

因为，极差变小了，故③正确；

对于④，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即④正确.

故答案为：①③④.

10．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是________．

【答案】

【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有公共点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围．

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由双曲线与直线有交点，则有，

所以，

则双曲线的离心率的取值范围为．

故答案为：．

11．已知平面向量，对任意实数t，都有，成立.若，，，则=___________.

【答案】

【解析】设，可证明即， ，则四点在以为直径的圆上，利用余弦定理与正弦定理可得结果.

【详解】设，

则，

即，

则分别在所在的直线上，

，

因为

所以

因为垂线段距离最短，

即为点到的垂线段长度，

即， 同理，

所以四点在以为直径的圆上，

而，

，

即，

由正弦定理可得三角形外接圆的直径，

即四边形外接圆的直径为，

所以

故答案为：.

【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

12．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.

【答案】

【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.

【详解】分以下三种情况讨论：

①若时，即当时，，

所以，函数在上单调递减，且，

当时，，

此时，函数无最小值；

②若时，即当时，，

当时，，

当时，.

，所以，，整理可得，

，解得（舍去）；

③当时，即当时，，

当时，，

当时，.

因为，所以，，整理可得，

，解得或（舍去）.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.

二、单选题

13．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】C

【分析】设，，根据复数相等的充要条件及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】设，，则，

若，即，所以，则，此时，故充分性成立；

若，则，则，故必要性成立；

故“”是“”的充要条件.

故选：C

14．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，，则

B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5

C．将一组数据中的每一个数据加上同一个正常数后，方差变大

D．设具有线性相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强

【答案】B

【分析】根据随机变量求解判断A；利用百分位数定义求解判断B；利用平均数和方差公式求解判断C；利用相关系数的绝对值越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强判断D.

【详解】因为随机变量，所以，因为，

所以，则，所以，故A错误；

数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5.5，故B正确；

设一组数据为，则平均数为，方差为，

将数据中的每一个数据加上同一个常数后为，则平均数为，方差为，

，

所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故C错误；

设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故D错误；

故选：B

15．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积的最大值为

D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF

【答案】C

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；

B选项，由，即，又且，

∴平面，∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，

，最大值为，故C错误；

D选项，因为，，，所以平面，故D正确；

故选：C

16．已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）

A．为等差数列，为等比数列

B．为等比数列，为等差数列

C．为等差数列，为等比数列

D．为等比数列，为等差数列

【答案】C

【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可.

【详解】解：令,由题意当时，单调递减，

对于首项为，公差为的等差数列，

则前n项和(不含常数项)，

此时，

由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数，

所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意；

对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意；

对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意

故选：C.

【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.

三、解答题

17．已知函数，．

(1)求的单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求解作答.

（2）求出（1）中函数的相位范围，再利用正弦函数性质求解作答.

【详解】（1），

令，，解得，，

所以的单调递增区间为.

（2）由（1）知，，当时，则，

所以当，即时，取最大值，为，

当，即时，取最小值，为．

18．本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望；

(2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，求出，再依据分布列和期望的定义即可求得X的分布列及期望；

（2）利用条件概率去求此人是高中生的概率；

【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得．

所以的分布列为

所以

（2）设事件为任取一名本市市民的身高位于区间，

事件为任取一名本市市民为高中生，则，

所以．

所以，

于是，此人是高中生的概率为．

19．如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.

（1）证明：；

（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】(1)首先证明、从而建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设 ，逐步求出向量、、、的坐标，由推出；(2)求出、的坐标，求出当 值最大时 的取值，从而求出平面与平面的法向量，最后求出两平面所成锐二面角的余弦值.

【详解】解：由为正方形，得，，

∵为的中点，，

∴，即.

设，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，.

（1）∵点在线段上，∴设，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

∴，即.

（2）由（1）知，，

∴，

∴当时，最大，最小，此时.

由题知，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量，

∴，即，

取，得，则，

∴.

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的数量积关系，平面法向量的求法与利用法向量求两平面所成的二面角，属于中档题.

20．已知抛物线：的焦点为，准线为，过焦点作直线交抛物线于、两点．

(1)过点作直线的垂线，垂足为，若在上的数量投影为，求的面积；

(2)设直线交轴于点，若，，求的值；

(3)设为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)以线段为直径的圆过定点，理由见详解

【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可得，再根据投影的定义得到，从而求出，即可得解；

（2）依题意直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，即可得到点坐标，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，根据平面向量线性运算表示，，再代入计算可得；

（3）首先求出、的坐标，即可求出及圆心坐标，从而表示出圆的方程，即可求出过定点坐标.

【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

依题意可得，所以，则，，

所以在上的数量投影为，即，

所以，解得，所以，此时，

所以.

（2）依题意直线的斜率存在且不为零，

设直线方程为，又、，则且，

令，则，即，

联立方程，消去可得，

则可得，，

又，、

所以，，，，

因为，，

所以，，

所以，，

所以

.

（3）以线段为直径的圆过定点，理由如下：

由（2）可得，，

∵直线，当时，，

∴，

同理可得，

∵

，

又

，

则线段为直径的圆的圆心，半径，

故圆的方程为，整理得，

令，则，解得或，

故以线段为直径的圆过定点.

【点睛】思路点睛：

过定点问题的两大类型及解法：

(1)动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点．

(2)动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

21．已知函数，.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；

(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数

(2)；

(3).

【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；

（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；

（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.

【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.

（2）在处有极值，因为，则，故，得；

，此时，，

故和上，单调递增，上，单调递减，

因为关于x的方程有3个不同的实根，根据导数的性质，当时，满足题意，得，故

（3），单调递减，对任意、且时，

，，

则对任意、且时，均有成立，

转化为，对任意、且时，均有成立，即

，

所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，

①函数在上单调递减，即在上恒成立，

又因为，，，故，

得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；

②函数在上单调递增，即在上恒成立，

又因为，，，故，得

在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；

综上所述，实数的取值范围为：.