2024届上海市位育中学高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市位育中学高三上学期开学考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．双曲线的焦距为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.
【详解】双曲线的焦距为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.
2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
3．已知，则 ．
【答案】
【分析】求出，代值计算可得出的值.
【详解】因为，则，则.
故答案为：.
4．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】
【分析】利用正态曲线的对称性即可求解．
【详解】由正态曲线的对称性可知，，，
所以，．
故答案为：．
5．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ．
【答案】
【分析】求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出.
【详解】的可能取值为，
，，
，则.
故.
故答案为：.
6．已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则 ．
【答案】
【分析】根据，，成等比数列以及列出关于的方程，解出，再根据计算答案即可
【详解】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
7．若直线与曲线交于两点、，则的值为 .
【答案】
【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果.
【详解】解：直线与曲线交于两点、,
则：
所以：,
则,,
则

故答案为：
【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用.
8．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足如下条件：
（1）在闭区间上是连续不断的；
（2）在区间上都有导数.
则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值” .
【答案】
【分析】结合“拉格朗日中值”定义，先求导数，代入定义可得t的值.
【详解】因为，所以，结合“拉格朗日中值”定义可得，所以.
【点睛】本题主要考查信息创新题目，对新定义的准确理解是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
9．袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则 ．
【答案】/0.6
【分析】根据条件概率公式即可求得答案.
【详解】．
故答案为：.
10．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：
①在区间上严格增；
②的图像在处的切线斜率等于0；
③在处取得极大值；
④在处取得极小值．正确的序号是
【答案】②④
【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④.
【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有，
所以在上单调递减，故①错误；
，故②正确；
在区间上单调，没有极值点，故③错误；
由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，故④正确．
故答案为：②④．
11．设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则 .
【答案】4.
【详解】如图.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，的内切圆的面积为π，∴的内切圆半径r=1．
∴的面积S==2a=4.
12．已知函数，令，若函数的图象在各个象限均有分布，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据的正负情况，将问题转化为在和上各有一个实数根，利用二次函数根的分布即可求解.
【详解】的定义域为，
当时，恒成立，当时，恒成立，
要使的图象在各个象限均有分布，则需要在和上均有正有负，
所以在和上各有一个实数根，
则,即，解得，
故答案为：
二、单选题
13．设角的始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的…．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】的终边在第一、二象限能推出，当成立时能推出的终边在第一、第二象限及y轴的正半轴上，故“的终边在第一、二象限”是“”的充分不必要条件，故选A.
14．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
【答案】C
【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图
所以至少与，中的一条相交.
故选:C．
15．关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【答案】B
【解析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当时，，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此，即；故C正确；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；
故选：B.
【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
16．对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则（ ）.
A．、中仅是的充分条件B．、中仅是的充分条件
C．、均是的充分条件D．、均不是的充分条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义推理判断作答.
【详解】对于 : 对任意的, 均有，
则，因此为偶函数，
对于 ：对任意的，均有，
则，因此是偶函数，
所以、均是的充分条件，ABD错误，C正确.
故选：C.
【点睛】易错点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）或是定义域上的恒等式．
三、应用题
17．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
四、解答题
18．已知函数，设．
(1)当时，解关于的不等式；
(2)对任意的，函数的图象总在函数的图象的下方，求正数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可；
（2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，得，即不等式的解集为;
（2）因为，
对任意的，函数的图象总在函数图象的下方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，，
在上恒成立，
整理得:在上恒成立，
设
则只需要即可，可得，
又因为，
所以，所以正数的范围为;
19．已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左右焦点，为椭圆上的点，且．直线过椭圆外一点，与椭圆交于两点，满足．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求三角形面积的取值范围；
(3)对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】(1)利用椭圆定义求出椭圆的标准方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用面积分割求出面积取值范围；
(3)联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解.
【详解】（1）由题可设椭圆方程为，则，
由椭圆定理可得，
则，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，则设直线方程为，
联立，
可得，，
∴，
∴，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以三角形面积的取值范围为.
（3）设直线方程为（斜率必存在），
则，，
∵，∴，
∴，
化简得①，
联立得，
∴，
∴，
代入①得，，
∴②，
∴，
代入②得：，故，
而点在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，
故直线有且只有一条使得．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
(2)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．