2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（    ）

A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面

C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面

【答案】B

【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.

【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.

故选B项.

【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.

2．下列命题正确的个数是（    ）

①若a，b共面，b，c共面，则a，b，c共面；

②若a，b共面，b，c共面，则a，c共面；

③若a，b共面，b，c共面，c，a共面，则a，b，c共面；

④若a，b不共面，b，c不共面，则a，c不共面；

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】以正方体棱上的a，b，c为例，逐个判断即可求解

【详解】以正方体棱上的a，b，c为例说明：

对于①②：

如图：

a，b共面，b，c共面，

而显然a，c异面，故a，b，c不共面；

所以①②都错误；

对于③：

如图：

a，b共面，b，c共面，c，a共面，

而a，b，c不共面，故③错误；

对于④：

如图：

a，b不共面，b，c不共面，

而a，c共面，故④错误；

综上，正确的个数为0

故选：A

3．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】D

【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.

【详解】当直线在AB位置时，与其异面直线有，共4条，

当直线在位置时，除外，其他8条直线均与其异面，

当直线在GH位置时，，与其异面直线有共6条，

当直线在AH位置时，与其异面直线有，共7条，

所以不可能是5条，

故选：D

4．、为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（    ）

①当直线与成角时，与成角；

②当直线与成角时，与成角；

③直线与所成角的最小值为；

④直线与所成角的最小值为．

A．②③ B．①④ C．②④ D．①③

【答案】A

【分析】根据异面直线夹角的求解方法，结合题意，求解即可.

【详解】对①②：以底面圆圆心为，高为作圆锥，过作圆的直径，交圆于，

连接，如下所示：

记直线分别为，不失一般性，

直线所成夹角为，故，则直线与所成夹角为，

设底面圆半径为，根据题意可得，△为等边三角形，故；

在△中，因为，，故，

又△中，，故△为等边三角形，故，

即直线所成夹角为，故①错误，②正确；

对③④：当直线与在底面圆中的投影重合或平行时，直线与所成夹角为；

当直线与在底面圆中的投影垂直时，显然直线与所成夹角为；

当直线不与底面圆中的投影重合，也不平行时，记下图所示直线为，过作，垂足为，连接.

根据题意可得，则在△中，

又在直角三角形中，；

又面面，故，又，面，

故面，又面，故，

则在△中，直线与所成角满足，

故，又

故，即；

综上所述，直线与所成角的最小值为，故③正确，④错误.

故选：A.

二、填空题

5．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解.

【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为，

又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角的取值范围是.

故答案为：.

6．设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.

【答案】45°或135°##135°或45°

【分析】根据等角定理即可得到答案.

【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：45°或135°.

7．从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面．

【答案】6

【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可.

【详解】设这四条直线分别为a，b，c，d，则有a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d，共6种情况，

故答案为：6

8．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.

【答案】④

【分析】根据平面的公理及推论进行判断得解

【详解】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；

②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；

③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；

④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，

又因三角形的三个顶点不共线，故④对；

⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；

⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；

⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．

故答案为：④．

9．设为平面外的两条直线，且，那么是的___________条件（填：充分非必要､必要非充分､充要､既非充分也非必要）

【答案】充分非必要

【分析】判断由能否得到，再判断由能否得到即可．

【详解】充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；

必要性：若，结合，且，是平面外，则，可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．

故是的充分非必要条件．

故填：充分非必要.

10．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是，则的重心到底边的距离是___________

【答案】

【分析】画出正三角形△ABC的直观图，根据重心分中线的比为来计算重心到底边的距离

【详解】如图为正三角形△ABC的直观图，为重心到底边的距离

则，

因为为的重心，，

.

故答案为：.

11．已知直线、是正方体上两条面对角线所在的直线，且、是异面直线，则直线、所成的角的大小为_____．

【答案】或

【分析】如图所示：不防设为直线，与异面的面对角线有，根据平行性与正方体性质即可求解．

【详解】正方体共有12条面对角线，如图所示：

不防设为直线，与异面的面对角线有

因为

而且与的夹角均为，与的夹角均为．

所以当为其中一条直线时，直线、所成的角的大小为或．

故答案为：或．

12．在四面体中，二面角、、的大小相等，则点在平面上的投影是的______心．

【答案】内心

【分析】根据三个二面角相等得到点在底面的投影到三角形三边的距离相等，即可得到点在平面上的投影是的内心.

【详解】因为二面角、、的大小相等，所以顶点在底面的投影到三角形三边的距离相等，所以点在平面上的投影是的内心.

故答案为：内心.

13．在长方体中，对角线与棱，，所成的角分别为，，，与平面,平面，平面所成的角分别为，，，则下列说法中正确的是_______．

①；②；

③；④

【答案】②③④

【分析】分别求出角，，的正弦值和余弦值，求出，，的正弦值，结合所给结论可得答案.

【详解】设，则

连接，，由长方体性质可知，，所以，

所以，，

同理可得，；

所以，

；

所以②③正确，①错误.

连接，由长方体的性质可得为与平面所成角，即；

，，

同理可得，；

所以，

所以④正确.

故答案为：②③④

14．已知正方形的边长为、分别为、的中点，平面，且，则直线到平面的距离为______．

【答案】##

【分析】根据//面，转化为求解点到面的距离，再用等体积法求解即可.

【详解】根据题意，作四棱锥，连接如下所示：

在△中，因为分别为的中点，故//，又面面，

故//面，则直线到面的距离即为点到面的距离，设其为，

由题可得，又面面，故，

则 ，同理可得，又，

故；

又，点到面的距离为，

由，即，也即可得，

则直线到面的距离为.

故答案为：.

15．在120°的二面角﹣l﹣内有一点P，P在平面、内的射影A、B分别落在半平面内，且PA＝3，PB＝4，则P到l的距离为________．

【答案】

【分析】在平面内的射影分别落在半平面内，且我们易求出 的长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到到的距离即为的外接圆直径，利用正弦定理，求出圆的直径即可得到答案 .

【详解】解：如图，平面交于,则平面 PAB，则是二面角﹣l﹣的平面角，

∵在120°的二面角﹣l﹣内有一点P，

∴,四点共圆.

又∵PA＝3，PB＝4，

∴AB＝＝，

因为平面，则同理，

，所以平面PAB，

又平面，所以

P到l的距离为，即为的外接圆直径，

由正弦定理得2R＝＝＝，

故答案为：．

16．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个

【答案】32

【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解

【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；

然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：

（1）全同侧，这样的平面有2个；

（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，

1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，

考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，

故共有6个，

所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，

故答案为：32

三、双空题

17．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度．

如图，直线平面，垂足为，正四面体的所有棱长都为分别是直线和平面上的动点，且．

（1）点到棱中点的距离的最大值为__；

（2）正四面体在平面上的射影面积的最大值为__．

【答案】     ##1    

【分析】如图所示，是中点，连接，计算，，得到距离的最值，确定与重合时面积最大，计算得到答案.

【详解】如图所示：是中点，连接，

平面，平面，故，，

，故

，故.

，当三点共线时等号成立.

点到棱中点的距离的最大值为.

，故正四面体在平面上的射影为和在平面的投影之和.即当的投影最长时面积最大，即与重合时面积最大，此时.

故答案为：；

四、解答题

18．如图，在三棱柱中，平面，、、、分别为、、、的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)判断直线与平面是否相交．若相交，在图中画出交点（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见详解；

(2)相交，交点见详解．

【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；

（2）因为，则可判断直线与平面相交，交点如图所示．

【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．

∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而，

平面BEF，平面BEF

∴AC⊥平面BEF．

（2）直线与平面相交．

19．（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明；

（2）在长方体中，求证：平面平面．

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可；

（2）根据长方体的性质推出，，然后利用面面平行的判定定理证明即可.

【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，

已知，，，，，求证，

假设，

∵，，

∴，同理可得，

∴，这与矛盾，

所以，假设不成立，因此.

(2)

∵为长方体，

∴，，，，

∴四边形，为平行四边形，，，

∵平面，平面，平面，平面，

∴∥平面，∥平面，

∵平面，平面，，

∴平面∥平面.

20．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，2三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面.

（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；

（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点分细钢管上下两段之比为2∶3，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）

【答案】（1）0.63；（2）对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和.

【分析】（1）设的重心为，连接，根据就是与平面所成的角，建立与的等量关系，解之即可；

（2）设，的重心为，求出，分别在，，中求出、、，再根据比例关系求出所求即可

【详解】解：（1）设的重心为，连接，

由题意可得，，

设细钢管上下两段之比为，

已知凳子高度为30、则，

节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行

就是与平面所成的角，亦即，

，，

解得，

即节点分细钢管上下两段的比值约为0.63；

（2）设，，

设的重心为，则，

由节点分细钢管上下两段之比为，可知，

设过点、、的细钢管分别为、、，

则，

，

对应于、、三点的三根细钢管长度分别为，和.

21．已知四面体（如图的平面展开图（如图中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形，在四面体中：

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在图1中作出直线与平面的所成角，并求出直线与平面的所成角的大小．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)答案见解析

【分析】对于（1），取AC中点为O，证明PO垂直于平面ABC即可.

对于（2），建立以O为坐标原点的坐标系，利用向量方法计算即可.

对于（3），取PB中点为D，则为与平面的所成角，后利用余弦定理求即可.

【详解】（1）取AC中点为O，连接BO，PO.如下图所示.

由题意PA=PB=PC=，OP=OA=OB=OC=1.

在中，PA=PC，O为AC中点

POAC

在中，PO=1，OB=1，PB=

POOB

ACOB=O，AC，OB平面ABC

PO平面ABC

又PO平面ABC

平面PAC平面ABC

（2）由（1），可得PO平面ABC，OBAC，故建立以O为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系.

则由题可得.

注意到OB平面APC，则平面APC的法向量可取=.

由，，设平面PBC的法向量为.

则，取，则

故.

又由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为.

（3）如图取PB中点为D，连接CD，AD.

由图2可得，为等边三角形，则CDPB，ADPB，

又CD，AD 平面ACD，CDAD=D，则PB平面ACD.

又由题可得，

由余弦定理有，则为钝角三角形，

故在AD延长线上可找到点E，使CEAD.

因平面ACD，则CE平面ACD，又PB平面ACD， 得CEPB.

又AD，PB平面APB，ADPB=D，故CE平面ABP.

即直线与平面的所成角为.

由余弦定理有，

故直线与平面的所成角的大小为

【点睛】关键点点睛：本题涉及证明面面垂直，面面角的向量求法，和用几何法做出线面角.（1）（2）问较为基础，（3）问关键为找到一过C点直线，并使其与平面APB垂直.