2024年贵州省贵阳市南明区小碧中学中考数学二模试卷

这是一份2024年贵州省贵阳市南明区小碧中学中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
2．（3分）近年来，受益于市场需求和政策导向双重驱动，我国新型储能规模化应用趋势逐渐呈现．截至去年年底，新增装机同比增长超过110%，数据870万千瓦用科学记数法表示为（ ）
A．8.7×102千瓦B．8.7×106千瓦
C．87×104千瓦D．8.7×107千瓦
3．（3分）如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42°B．48°C．58°D．84°
5．（3分）某专卖店专营某品牌衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
7．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
8．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G用户3万户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到10万户．设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则可列方程为（ ）
A．3（1+x）2＝10
B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
C．3+（1+x）+（1+x）2＝10
D．3+x+（1+x）2＝10
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，则OE的长为（ ）
A．2B．4C．2D．
10．（3分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（3分）一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是，OC与AB相交于点D．已知AB＝120m，CD＝20m（ ）
A．200mB．200mC．100mD．100m
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分式有意义，则x应满足的条件是 ．
14．（4分）随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓 ．
15．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，与边AB交于点F，如果AB＝，那么GB＝ ．
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）化简：（3a+1）2﹣2a（a+3）；
（2）解不等式组：．
18．（10分）云扬中学七年级举行了金源知识竞赛，成绩为百分制，赛后发现所有参赛学生的成绩均在60分以上，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表，以及部分数据信息（80≤x＜90）这一组的成绩是：80，80，80，81，81，83，83，84，84，85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全成绩频数分布直方图；
（3）七年级共有200名学生，请你估计七年级学生中成绩不低于85分的学生有多少名．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以CB，CD为边作▱DCBE
（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．
（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．
20．（10分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时
22．（10分）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处（PQ⊥DQ），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，AD⊥BC于点O，支杆AD与树干PQ的横向距离DQ＝3m．
（1）天晴时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮阳宽度BC；
（2）下雨时收拢“晴雨伞”，使∠BAC由120°减少到 106°，求点E下降的高度．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，）
23．（12分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
24．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C，且OA＝4OB，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若S△AOP＝6S△BOC，求点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD⊥AC于点D，求PD长的最大值．
25．（12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，把纸片展平，延长DF
请写出线段FG与线段BG的数量关系 ；
（2）迁移思考：
如图2，把▱ABCD按照（1）中的操作进行折叠和作图，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索：
如图1，若AB＝2，按照（1），请直接写出当CG＝1时AD的值．
2024年贵州省贵阳市南明区小碧中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3分）近年来，受益于市场需求和政策导向双重驱动，我国新型储能规模化应用趋势逐渐呈现．截至去年年底，新增装机同比增长超过110%，数据870万千瓦用科学记数法表示为（ ）
A．8.7×102千瓦B．8.7×106千瓦
C．87×104千瓦D．8.7×107千瓦
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：870万＝8700000＝8.7×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；本题需注意左视图中只能看到正六棱柱的两个面．
4．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42°B．48°C．58°D．84°
【分析】根据平角的定义可得∠1+∠3＝90°，进而求得∠3＝48°，由两直线平行，同位角相等即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠7＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠8＝∠3＝48°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键．
5．（3分）某专卖店专营某品牌衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】根据店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计表可知，41码的衬衫平均每天销售件数最多，从而得到答案．
【解答】解：由店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计表可知，41码的衬衫平均每天销售件数最多，
∴该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，
故选：B．
【点评】本题主要考查统计分析，利用统计量做决策，熟记各个统计量的定义，看懂统计表格信息是解决问题的关键．
6．（3分）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球的可能性比白球大
D．摸到白球的可能性比红球大
【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到红球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵共有3+2＝4个球，
∴摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，
∴摸到红球的可能性比白球大；
故选：C．
【点评】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC＝BD，
故∠DCB＝∠DBC＝25°，
则∠CDA＝25°+25°＝50°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠A＝∠CDA＝50°是解题关键．
8．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G用户3万户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到10万户．设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则可列方程为（ ）
A．3（1+x）2＝10
B．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
C．3+（1+x）+（1+x）2＝10
D．3+x+（1+x）2＝10
【分析】设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则2022年底有5G用户是3（1+x）万户，2023年底有5G用户是3（1+x）2万户，即可得出答案．
【解答】解：设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则2022年底有5G用户是3（1+x）万户2万户，
依题意得：3+3（1+x）+5（1+x）2＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，则OE的长为（ ）
A．2B．4C．2D．
【分析】由菱形的性质得出BD＝8，由菱形的面积得出AC＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝，BD⊥AC，
∴BD＝8OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝16，
∴AC＝4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系分析即可．
【解答】解：根据题意得：
若m＜﹣2，则m+1＜﹣7＜0，
所以该一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
11．（3分）一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是，OC与AB相交于点D．已知AB＝120m，CD＝20m（ ）
A．200mB．200mC．100mD．100m
【分析】连接OA，由垂径定理求出AD的长，判断出△AOD的形状，再设OA＝r，利用勾股定理即可得出r的长．
【解答】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴AB⊥OC，
∴AD＝AB＝
＝60m，
∴△AOD是直角三角形，
设OA＝r，则OD＝r﹣CD＝OC﹣CD＝r﹣20，
在Rt△AOD中，
OA2＝AD4+OD2，即r2＝604+（r﹣20）2，解得r＝100m．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为5cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×5×4﹣，
＝﹣x3+8，
②4≤x≤4时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×2×4﹣，
＝﹣（5﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）分式有意义，则x应满足的条件是 x≠2 ．
【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，
∴x﹣2≠8，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．
14．（4分）随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓 ．
【分析】根据题意列出表格，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
【解答】解：根据题意，列表如下．
由表，可知共有16种等可能的结果，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．
15．（4分）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 2022 ．
【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2023、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个不相等的实数根，
∴a3+a＝2023，a+b＝﹣1，
∴a2+4a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a2+a＝2023、a+b＝﹣1是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，与边AB交于点F，如果AB＝，那么GB＝ ．
【分析】证明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，根据平行线的性质和角平分线的定义可得CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝CD＝×＝6，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
设BG＝a，则AE＝8a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝×＝6，
∴a+2a+2＝6，
∴a＝3﹣，
∴GB＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）化简：（3a+1）2﹣2a（a+3）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式计算法则去括号，然后合并同类项；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）（3a+1）3﹣2a（a+3）
＝4a2+6a+3﹣2a2﹣3a
＝7a2+2；
（2）．
解不等式①得：x≥2．
解不等式②得：x≤4．
故原不等式组的解集为：2≤x≤3．
【点评】本题考查了整式的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．（10分）云扬中学七年级举行了金源知识竞赛，成绩为百分制，赛后发现所有参赛学生的成绩均在60分以上，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表，以及部分数据信息（80≤x＜90）这一组的成绩是：80，80，80，81，81，83，83，84，84，85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全成绩频数分布直方图；
（3）七年级共有200名学生，请你估计七年级学生中成绩不低于85分的学生有多少名．
【分析】（1）C组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先根据题干所列数据得出C组人数，再根据四个小组人数和等于总人数求得B组人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中成绩不低于85分的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）15÷37.5%＝40（名），
答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；
（2）B组频数为40﹣（6+15+7）＝12（名），
补全图形如下：
（3）200×＝45（名），
答：估计七年级学生中成绩不低于85分的学生有45名．
【点评】本题考查的是频数分布直方图和频数分布表．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以CB，CD为边作▱DCBE
（1）若∠A＝50°，求∠E的度数．
（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E；
（2）由平行线分线段成比例求得DF的长度，则EF＝ED﹣DF．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝50°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E＝∠C＝65°；
（2）∵AD＝3CD，
∴＝．
∵四边形DCBE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6．
∴＝＝．
∴DF＝BC．
∵BC＝6，
∴DF＝．
∴EF＝ED﹣DF＝6﹣＝．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解答（1）题的关键是求出∠C的度数，解答（2）题的关键是求得DF的长度．
20．（10分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入x中，即可求出《孙子算经》的单价；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是，
根据题意得：﹣＝5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，
∴x＝．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，
根据题意得：80﹣m≥m，
解得：m≤．
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×7.8（80﹣m），
∴w＝﹣8m+2560，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，
∴y＝x+2，
把A（7，n）代入y＝，得n＝8，
∴A（2，3），
把A（5，3）代入y＝，
∴k＝，m＝6；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
∵P（a，8）为x轴上的动点，
∴PC＝|a+4|，
∴S△CBP＝•PC•OB＝，S△CAP＝PC•yA＝×|a+4|×3，
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴|a+4|＝，
∴a＝3或﹣11．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
22．（10分）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处（PQ⊥DQ），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，AD⊥BC于点O，支杆AD与树干PQ的横向距离DQ＝3m．
（1）天晴时打开“晴雨伞”，若∠α＝60°，求遮阳宽度BC；
（2）下雨时收拢“晴雨伞”，使∠BAC由120°减少到 106°，求点E下降的高度．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33，）
【分析】（1）在Rt△AOC中利用锐角三角函数的定义求出OC的长即可解答；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，得EF＝DQ＝3m，再在Rt△AEF中锐角三角函数的定义可得AF＝，最后求出∠BAC＝120°和∠BAC＝106°时AF的长即可解答．
【解答】解：（1）由对称性可知BC＝2OC，AB＝AC＝2m，
在Rt△AOC中，∠OAC＝α＝60°，
∴sinα＝，
∴OC＝AC•sinα＝8×sin60°≈1.73m，
∴BC＝2OC≈3.46m，
答：遮阳宽度BC为3.46m；
（2）如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∴∠DFE＝90°，
∵AD⊥DQ，EQ⊥DQ，
∴∠ADQ＝∠EQD＝90°，
∴∠DFE＝∠ADQ＝∠EQD＝90°，
∴EF＝DQ＝3m，
在Rt△AEF中，
∵tanα＝，
当∠BAC＝120°时，AF＝＝＝，
当∠BAC＝106°时，AF＝，
∴点E下降的高度为3.26﹣1.73＝0.53m，
答：点E下降的高度为4.53m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝8，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C，且OA＝4OB，其横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若S△AOP＝6S△BOC，求点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD⊥AC于点D，求PD长的最大值．
【分析】（1）求得A点坐标，将点A和点B坐标代入抛物线的解析式，求得a，b，进而求得结果；
（2）先求出△BOC的面积，进而得出△AOP的面积，是点P坐标，列出方程，进一步得出结果；
（3）过点P作PF⊥AB于点F，交AC于点E，先求出直线AC的函数解析式，从而设点E的坐标为 ，从而表示出PE的长，可证得△PDE∽△AOC，从而得出，进而求得PD的表达式，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝3，
∴OA＝4OB＝4，
∴A（﹣8，0），
将A（﹣4，3），0）代入 y＝ax2+bx+2得，
，
∴，
∴抛物线的函数解析式 ；
（2）当x＝0时，，
∴C（4，2），
∴OC＝2，
∴，
∴S△AOP＝4S△BOC＝6，
设点P的坐标为 ，
∴，
∴m4＝﹣1，m2＝﹣6，
∴点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣3；
（3）过点P作PF⊥AB于点F，交AC于点E，
设直线AC的函数解析式为y＝px+q，
将A（﹣4，0），8）代入得，
，
∴，
∴直线AC的函数解析式为：，
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵∠PDE＝∠AFE＝90°，∠PED＝∠AEF，
∴∠DPE＝∠EAF，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当 m＝﹣2时，PD长的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
25．（12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：
如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD的边AB的中点E，再沿DE折叠，把纸片展平，延长DF
请写出线段FG与线段BG的数量关系 FG＝BG ；
（2）迁移思考：
如图2，把▱ABCD按照（1）中的操作进行折叠和作图，BG这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索：
如图1，若AB＝2，按照（1），请直接写出当CG＝1时AD的值．
【分析】（1）连接EG，证△EFG≌△EBG，然后得出结论即可；
（2）连接FB，证△FGB是等腰三角形，然后得出结论即可；
（3）设AD的长为x，则DF＝x，BG＝FG＝x﹣1，利用勾股定理求出DG，然后求出x的值即可．
【解答】解：（1）连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
由折叠知，AE＝EF，
∴EF＝EB，
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），
∴FG＝BG，
故答案为：FG＝BG；
（2）FG＝BG，证明如下：
连接FB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
由折叠知，AE＝EF，∠DFE+∠EFG＝180°，
∴EF＝EB，∠EBG＝∠EFG，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠EFB+∠BFG＝∠EBF+∠FBG，
∴∠BFG＝∠FBG，
∴FG＝BG；
（3）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，
∴CD＝AB＝2，
∴DG＝＝＝，
令AD＝x，则DF＝AD＝x，
由（1）知FG＝BG＝x﹣1，
∴x+x﹣1＝，
解得x＝，
即AD的长为．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形和平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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39
40
41
42
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
6
B组
70≤x＜80
C组
80≤x＜90
D组
90≤x≤100
7
尺码
39
40
41
42
平均每天销售数量/件
10
12
20
12
成绩x/分
频数
A组
60≤x＜70
6
B组
70≤x＜80
C组
80≤x＜90
D组
90≤x≤100
7