北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定达标测试

1.1 菱形的性质与判定（压轴题）-北师大版九年级上册

一．选择题

1．若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（　　）

A．336cm2 B．480cm2 C．300cm2 D．168cm2

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（　　）

A． B． C．10 D．8

3．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　）

A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD

4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．8 C．16 D．20

5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（　　）

A． B． C． D．5

6．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm．

A．13 B．24 C．52 D．60

7．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD＝10，则DE的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．4

8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（　　）

A．60° B．80° C．85° D．100°

9．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是（　　）cm．

A． B． C．12 D．24

10．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（　　）

①△BEC≌△AFC；

②△ECF为等边三角形；

③△ECF的边长最小值为3；

④若AF＝2，则S△FGC＝S△EGC．

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③

二．填空题

11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠CBD的度数为 　   　．

12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是 　   　．

13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　   　．

14．菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是 　   　平方厘米．

15．如图，菱形ABCD中，∠A＝100°，点E、G分别是AB、BC边上的中点，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接GE、GF，则∠GFC＝　   　．

三．解答题

16．如图．P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．

（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长；

（2）若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．

17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周长．

18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．

（1）求证：△AOE≌△COD；

（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为 　   　．

20．在△ABC中，过A作AD∥BC，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，∠EFB＝∠CAB．

（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；

（2）如图2，G是AD的中点，H是边AC的中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD＝48cm，

∴AB＝25cm，OA＝OC，OB＝OD＝24cm，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝7（cm），

∴AC＝2OA＝14cm，

∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×14×48＝336（cm2），

故选：A．

2．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，

∴AB＝＝＝10，

∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，

∴×16×12＝10×DE，

∴DE＝，

故选：A．

3．【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，

故选：B．

4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，

则菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4×8＝16

故选：C．

5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，

∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，

∴△ACE∽△BCO，

∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，

∵AO＝OC，

∴AC＝2OE＝4，

∴，

∴BC＝，

∴AB＝，

故选：A．

6．【解答】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，

∴另一对角线长为＝24（cm），

根据勾股定理，菱形的边长为＝13（cm），则菱形的周长＝13×4＝52（cm）．

故选：C．

7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，

∵AC＝16，CD＝10，

∴CO＝8，

∴OD＝＝＝6，

∵CE＝CD＝10，

∴OE＝CE﹣OC＝10﹣8＝2，

∴DE＝＝＝2，

故选：A．

8．【解答】解：连接BF，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，

∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO，

∴BF＝DF，

∵EF垂直平分AB，

∴AF＝BF，

∴AF＝DF，

∴∠FAD＝∠ADF＝40°，

∴∠CDF＝60°，

故选：A．

9．【解答】解：如图，一个木制的活动衣帽架为菱形ABCE．

∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成，

∴当挂钩B、D间的距离是30cm时，BE＝＝10（cm），

∵四边形ABCE为菱形，

∴AC⊥BE，AO＝CO，BO＝EO，

∵BE＝10cm，

∴BO＝5cm，

∵AB＝13cm，

∴OA＝＝＝12（cm），

∴AC＝2AO＝24（cm），

故选：D．

10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，

∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠ACB＝60°．

∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，

∴△BEC≌△AFC（SAS）；

故①正确；

∵△BEC≌△AFC；

∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，

∴∠BCA＝∠ECF＝60°，

∴△ECF是等边三角形，

故②正确；

∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，

∴当CE⊥AB时，△ECF的边长取最小值，

在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，

∴CE＝BC•sinB＝5×＝，

∴△ECF的边长最小值为，

故③错误；

过点E作EM∥BC，交AC于点M，

∵△BEC≌△AFC，

∴BE＝AF＝2，

∵AB＝5，

∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．

∵EM∥BC，

∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，

∴△AEM是等边三角形，

∴AE＝EM＝3．

∵AD∥BC，

∴AF∥EM，

∴＝＝，

∴S△FGC＝S△EGC，

方法2：∵AF＝2，

∴AE＝3，

∵菱形对角线是∠EAF的角平分线，

∴点G到AF和AE两边距离相等，

∴两个三角形等高，

∴面积比＝AF：AE＝2：3．

故④正确．

故选：C．

二．填空题

11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠A＝∠C＝40°，CD＝CB，

∴∠CBD＝70°，

故答案为：70°．

12．【解答】解：∵顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），

∴OB＝6，OC＝4，

∴BC＝OB+OC＝10，

∵菱形ABCD，

∴AB＝AD＝BC＝10，AD∥BC，

在Rt△ABO中，，

∴A（0，8），

∵AD∥BC，AD＝10，

∴D（10，8）．

故答案为：（10，8）．

13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，

∵OA＝4，

∴AC＝2OA＝8，

∵S菱形ABCD＝24，

∴×8×BD＝24，

解得：BD＝6，

∵DH⊥BC，

∴∠DHB＝90°，

∵DO＝BO，

∴OH＝BD＝×6＝3，

故答案为：3．

14．【解答】解：四边形ABCD是菱形，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以OA＝8，OB＝，即BD＝12，

所以菱形的面积为 （平方厘米），

故答案为：96．

15．【解答】解：如图，延长EG，DC交于点H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝100°，AB∥CD，

∴∠B＝∠BCH，∠BEG＝∠H，

∵点E、G分别是AB、BC边上的中点，

∴AE＝BE＝AB，BG＝GC＝BC，

∴BE＝BG＝GC，

在△BEG和△CHG中，

，

∴△BEG≌△CHG（AAS），

∴BE＝CH，EG＝GH，

∴GC＝CH，

∴∠H＝∠CGH，

∵∠BCD＝∠H+∠CGH＝100°，

∴∠H＝∠CGH＝50°，

∵EG＝GH，EF⊥CD，

∴GF＝GH，

∴∠GFC＝∠H＝50°，

故答案为：50°．

三．解答题

16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠PAD＝∠PAB＝30°，

∵PE⊥AE，

∴AP＝2PE＝2，

∴AE＝＝＝；

（2）四边形AEPF是正方形，

理由如下：

在△APE和△APF中，

，

∴△APE≌△APF（AAS），

∴PE＝PF；

∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，

∴四边形AEPF是矩形，

∴四边形AEPF是正方形．

17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∵DE⊥BD，

∴DE∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，

∴AO＝AC＝12，DO＝BD＝5，AC⊥BD，

∴∠AOD＝90°，

∴CD＝AD＝＝＝13，

由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，

∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，

∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．

18．【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，

，

∴△AOE≌△COD（ASA）；

（2）证明：∵△AOE≌△COD，

∴OD＝OE，

又∵AO＝CO，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵AB＝BC，AO＝CO，

∴OB⊥AC，

∴平行四边形AECD是菱形．

19．【解答】（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，

∴∠CAB＝∠DAC，

∵AB∥CD，

∴∠CAB＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD，

∵AB＝AD，

∴AB＝CD，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：如图，过O作OP⊥AE于P，

∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，

∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，

∴∠AOB＝90°，

∴OA＝＝＝3，

∴AC＝2OA＝6，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°＝∠AOB，

又∵∠OAB＝∠EAC，

∴△AOB∽△AEC，

∴＝，

∴＝，

解得EA＝，

∵OP⊥AE，

∴AB•OP＝OA•OB，

∴OP＝3×1，

∴OP＝，

∴S△AOE＝AE•OP＝×＝．

故答案为：．

20．【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠CAB

∴DE∥AC，

∵AD∥BC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠BCD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴AD＝AC，

∴四边形ACED是菱形；

（2）解：∵∠ACB＝90°，

∴菱形ACED是正方形，

∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，

AC＝AD＝CE，

∵G是AD的中点，H是AC边中点，

∴AG＝DG＝CE，

∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），

∵BC＝2AC，

∴BE＝CE＝AD，

∵AD∥BE，

∴∠B＝∠DAF，

∵∠AFE＝∠BFE，

∴△BFE≌△AFD（AAS），

∵AD＝CE＝BE，

∴△BEF≌△ECH，

∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．