北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定达标测试

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1.1 菱形的性质与判定（压轴题）-北师大版九年级上册一．选择题1．若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（　　）A．336cm2 B．480cm2 C．300cm2 D．168cm22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（　　）A． B． C．10 D．83．如图，▱ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得▱ABCD是菱形（　　）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO＝2，OB＝4，则菱形ABCD的面积是（　　）A．4 B．8 C．16 D．205．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（　　）A． B． C． D．56．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm．A．13 B．24 C．52 D．607．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD＝10，则DE的长为（　　）A．2 B．4 C． D．48．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF，若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数为（　　）A．60° B．80° C．85° D．100°9．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是（　　）cm．A． B． C．12 D．2410．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（　　）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC＝S△EGC．A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 二．填空题11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠CBD的度数为 　   　．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是 　   　．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　   　．14．菱形的边长为10厘米，一条对角线为16厘米，它的面积是 　   　平方厘米．15．如图，菱形ABCD中，∠A＝100°，点E、G分别是AB、BC边上的中点，过点E作EF⊥CD交CD于点F，连接GE、GF，则∠GFC＝　   　． 三．解答题16．如图．P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．（1）若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长；（2）若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周长．18．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为 　   　．20．在△ABC中，过A作AD∥BC，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，∠EFB＝∠CAB．（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；（2）如图2，G是AD的中点，H是边AC的中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．  参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD＝48cm，∴AB＝25cm，OA＝OC，OB＝OD＝24cm，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝7（cm），∴AC＝2OA＝14cm，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×14×48＝336（cm2），故选：A．2．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，∴AB＝＝＝10，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，∴×16×12＝10×DE，∴DE＝，故选：A．3．【解答】解：当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选：B．4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝4，BD＝2OB＝8，则菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4×8＝16故选：C．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠CAE＝∠OBE，∠ACE＝∠OCB，∴△ACE∽△BCO，∴∠AEC＝∠BOC＝90°，，∵AO＝OC，∴AC＝2OE＝4，∴，∴BC＝，∴AB＝，故选：A．6．【解答】解：∵菱形的一条对角线长为10cm，面积为120cm2，∴另一对角线长为＝24（cm），根据勾股定理，菱形的边长为＝13（cm），则菱形的周长＝13×4＝52（cm）．故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，DO＝BO，AC⊥BD，∵AC＝16，CD＝10，∴CO＝8，∴OD＝＝＝6，∵CE＝CD＝10，∴OE＝CE﹣OC＝10﹣8＝2，∴DE＝＝＝2，故选：A．8．【解答】解：连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°，∴∠DAC＝40°，∠ADC＝100°，AC⊥BD，DO＝BO，∴BF＝DF，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF＝40°，∴∠CDF＝60°，故选：A．9．【解答】解：如图，一个木制的活动衣帽架为菱形ABCE．∵活动衣帽架由3个全等的菱形构成，∴当挂钩B、D间的距离是30cm时，BE＝＝10（cm），∵四边形ABCE为菱形，∴AC⊥BE，AO＝CO，BO＝EO，∵BE＝10cm，∴BO＝5cm，∵AB＝13cm，∴OA＝＝＝12（cm），∴AC＝2AO＝24（cm），故选：D．10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°．∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，∴△BEC≌△AFC（SAS）；故①正确；∵△BEC≌△AFC；∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠BCA＝∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形，故②正确；∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，∴当CE⊥AB时，△ECF的边长取最小值，在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，∴CE＝BC•sinB＝5×＝，∴△ECF的边长最小值为，故③错误；过点E作EM∥BC，交AC于点M，∵△BEC≌△AFC，∴BE＝AF＝2，∵AB＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝3．∵AD∥BC，∴AF∥EM，∴＝＝，∴S△FGC＝S△EGC，方法2：∵AF＝2，∴AE＝3，∵菱形对角线是∠EAF的角平分线，∴点G到AF和AE两边距离相等，∴两个三角形等高，∴面积比＝AF：AE＝2：3．故④正确．故选：C． 二．填空题11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝40°，CD＝CB，∴∠CBD＝70°，故答案为：70°．12．【解答】解：∵顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），∴OB＝6，OC＝4，∴BC＝OB+OC＝10，∵菱形ABCD，∴AB＝AD＝BC＝10，AD∥BC，在Rt△ABO中，，∴A（0，8），∵AD∥BC，AD＝10，∴D（10，8）．故答案为：（10，8）．13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵OA＝4，∴AC＝2OA＝8，∵S菱形ABCD＝24，∴×8×BD＝24，解得：BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝×6＝3，故答案为：3．14．【解答】解：四边形ABCD是菱形，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以OA＝8，OB＝，即BD＝12，所以菱形的面积为 （平方厘米），故答案为：96．15．【解答】解：如图，延长EG，DC交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝100°，AB∥CD，∴∠B＝∠BCH，∠BEG＝∠H，∵点E、G分别是AB、BC边上的中点，∴AE＝BE＝AB，BG＝GC＝BC，∴BE＝BG＝GC，在△BEG和△CHG中，，∴△BEG≌△CHG（AAS），∴BE＝CH，EG＝GH，∴GC＝CH，∴∠H＝∠CGH，∵∠BCD＝∠H+∠CGH＝100°，∴∠H＝∠CGH＝50°，∵EG＝GH，EF⊥CD，∴GF＝GH，∴∠GFC＝∠H＝50°，故答案为：50°． 三．解答题16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠PAD＝∠PAB＝30°，∵PE⊥AE，∴AP＝2PE＝2，∴AE＝＝＝；（2）四边形AEPF是正方形，理由如下：在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（AAS），∴PE＝PF；∵∠BAD＝90°，PE⊥AB，PF⊥AD，∴四边形AEPF是矩形，∴四边形AEPF是正方形．17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AO＝AC＝12，DO＝BD＝5，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD＝＝＝13，由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．18．【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（ASA）；（2）证明：∵△AOE≌△COD，∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形，又∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴平行四边形AECD是菱形．19．【解答】（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，∴∠CAB＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB＝AD，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：如图，过O作OP⊥AE于P，∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°＝∠AOB，又∵∠OAB＝∠EAC，∴△AOB∽△AEC，∴＝，∴＝，解得EA＝，∵OP⊥AE，∴AB•OP＝OA•OB，∴OP＝3×1，∴OP＝，∴S△AOE＝AE•OP＝×＝．故答案为：．20．【解答】（1）证明：∵∠EFB＝∠CAB∴DE∥AC，∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∴四边形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴菱形ACED是正方形，∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，∵G是AD的中点，H是AC边中点，∴AG＝DG＝CE，∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），∵BC＝2AC，∴BE＝CE＝AD，∵AD∥BE，∴∠B＝∠DAF，∵∠AFE＝∠BFE，∴△BFE≌△AFD（AAS），∵AD＝CE＝BE，∴△BEF≌△ECH，∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．