还剩27页未读，
继续阅读
重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷（含答案）
展开
这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市九龙坡区杨家坪中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B．﹣2 C．3.14 D．0.01001
2．如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．估计的值可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直
5．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．2 C． D．±
8．如图，点A，B的坐标分别为（﹣2，a），（0，﹣2），现将线段平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为（1，4），（b，1），则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
9．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝46°，则∠H为（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的的横线上.
11．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是 ．
12．的小数部分为 ．
13．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为 ．
14．请将“同一个角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，则m＝ ．
16．如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于 ．
17．已知，求b﹣2a＝ ．
18．新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“大成数”，将一个“大成数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个两位数的和与11的商记为F（x）．例如x＝24，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为24+42＝66，66÷11＝6，所以F（24）＝6．若s，t都是“大成数”，其中s＝10m+2，t＝10+n（m，n均为不大于9的正整数）．求F（s）+F（t）最小值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20题8分，21、22、23、24、25每题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）；
（2）（x﹣1）2﹣8＝1．
20．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
21．如图，把△ABC向上平移4个单位，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积是 ．
22．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ，∠ABC＝ （ ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ （ ）
∴∠ABC＝∠EDF（ ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ （ ）
∴BM∥DN （ ）
23．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A＝180°．
（1）求证：AE∥OF．
（2）若∠A＝30°，求∠DOG的度数．
24．为了奖励网课期间表现优秀的同学，某老师购买了一批文具盲盒，每个盲盒中装的文具种类略有不同，共有A和B两类盲盒，同一类盲盒的价格一致．5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒；购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元．
（1）求A、B两种盲盒的售价．
（2）该老师去该商店时发现商店在进行如下两种促销活动：
活动一：A类盲盒打七折，B类盲盒直接降价m元；
活动二：A类盲盒降价13元，B类盲盒降价2m元．
已知老师共购买n件A类盲盒，10件B类盲盒，A类盲盒的成本价为35元，B类盲盒的成本价为15元，若老师按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%，求m的值．
25．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令，
得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“友好点”．
（1）请判断点A（7，1），B（6，4）是否为“友好点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“友好点”，求t的值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（3，b），C（0，﹣4），且满足+|a﹣b﹣6|＝0，
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，点N为x轴正半轴上一点，M为四象限内一点，且∠CAB与∠ONM的角平分线交于点Q，且∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，直线MN与y轴有什么位置关系，并证明你的结论．
（3）如图1，线段AB交x轴于E点．
①求点E的坐标；
②点P为坐标轴上一点，是否有点P，使得△ABP和△ABC的面积相等，若存在，请直接写出P点坐标，若不
存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B．﹣2 C．3.14 D．0.01001
【分析】根据无理数的定义解答即可．
解：是无理数；
﹣2，3.14，0.01001是有理数．
故选：A．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
解：①当∠DCA＝∠CAF时，AB∥CD，符合题意；
②当∠C＝∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C＝180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B＝180°时，
又∵∠GDE+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定是解题关键．
3．估计的值可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得出答案．
解：∵25＜28＜36，
∴5＜＜6，
∴估计的值可能是C点．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直
【分析】利用平方根的性质、垂直的性质、平面内两条直线的位置关系逐个判断即可．
解：A、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以A不正确；
B、直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，所以B不正确；
C、平面内，两条不相交的直线叫做平行线，所以C不正确；
D、∵对顶角相等，且和是180°，∴每个角都是90°，∴那这两条直线互相垂直，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的性质、平行及垂直的性质，准确理解并判断性质成立的条件是解题关键．
5．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
【分析】将①代入②整理即可得出答案．
解：，
把①代入②得，x﹣2（1﹣x）＝4，
去括号得，x﹣2+2x＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了用代入法解一元一次方程组，是基础题．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．2 C． D．±
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，
即y＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
8．如图，点A，B的坐标分别为（﹣2，a），（0，﹣2），现将线段平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为（1，4），（b，1），则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【分析】由已知得出点线段AB向右平移了3个单位，向上平移了3个单位，即可得出a、b值，从而得出答案．
解：根据题意知，A（﹣2，a），其平移后对应点A1（1，4），
∴A点向右平移了1﹣（﹣2）＝3个单位，则B点也向右平移了3个单位，
∴b＝0+3＝3，
∵B（0，﹣2），其平移后对应点B1（b，1），
∴B点向上平移了1﹣（﹣2）＝3个单位，则A点也向上平移了3个单位，
∴a+3＝4，则a＝1，
∴a+b＝1+3＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移及平移的性质，掌握平移中点的变化规律是解题的关键．
9．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位”列出方程组即可．
解：设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．
10．如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝46°，则∠H为（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【分析】过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，利用平行线的性质解答即可．
解：过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∴∠QEB+∠ABE＝180°，∠QED+∠EDC＝180°，∠IHD+∠CDH＝180°，∠IHB+∠ABH＝180°，
∵∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠BED＝46°，
∴2∠FBA﹣2∠GDC＝∠BED＝46°，
∴∠BHD＝∠CDH﹣∠ABH＝180°﹣∠GDC﹣（180°﹣∠FBA）＝∠FBA﹣∠GDC＝∠BED＝23°．
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的的横线上.
11．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是 垂线段最短 ．
【分析】根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短可得．
解：∵AC⊥BC，
∴AB＞AC，其依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题主要考查垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
12．的小数部分为 ﹣1 ．
【分析】先估算出的整数部分，再求得此题结果即可．
解：∵1＜＜2，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识．
13．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
解：由到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得：
|x|＝4，|y|＝2．
由点P位于第四象限，得：P点坐标为（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得出|x|＝4，|y|＝2是解题关键．
14．请将“同一个角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】“同一个角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
解：“同一个角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将“同一个角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，则m＝ 1 ．
【分析】把两个方程相加，得出3x+3y＝2m+4，再由x+y＝2即可求出m的值．
解：两个方程相加得：
3x+3y＝2m+4，
∴x+y＝，
∵x+y＝2，
∴＝2，
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确求解方程组是解题的关键．
16．如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于 ﹣1 ．
【分析】由两个小正方形的面积分别为1，2，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于（﹣1）的长方形，从而可得答案．
解：面积为2的正方形的边长为：，面积为的正方形的边长为：1，
则阴影部分面积为：（﹣1）×1＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
17．已知，求b﹣2a＝ 3 ．
【分析】根据0的算术平方根是0得方程：2a﹣b+3＝0，从而可以解答．
解：∵，
∴2a﹣b+3＝0，
∴b﹣2a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握0的算术平方根是0是解本题的关键．
18．新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“大成数”，将一个“大成数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个两位数的和与11的商记为F（x）．例如x＝24，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为24+42＝66，66÷11＝6，所以F（24）＝6．若s，t都是“大成数”，其中s＝10m+2，t＝10+n（m，n均为不大于9的正整数）．求F（s）+F（t）最小值为 6 ．
【分析】首先根据题意可写出F（s）和F（t），推出F（s）+F（t）＝3+m+n，然后根据“大成数”的定义可得出m≠2、0和n≠1、0，且m，n均为不大于9的正整数，可得出m、n的最小值，即可得出F（s）+F（t）的最小值．
解：根据题意可得：F（s）＝＝2+m，且m≠2、0，
F（t）＝＝n+1，且n≠1、0，
∴F（s）+F（t）＝3+m+n，
∵m，n均为不大于9的正整数，
∴m的最小值为1，n的最小值为2，
∴F（s）+F（t）的最小值为6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解与新定义结合的题型，解题关键：一是写出F（s）+F（t）＝3+m+n，二是求出m和n的最小值．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20题8分，21、22、23、24、25每题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）；
（2）（x﹣1）2﹣8＝1．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根定义计算即可求出值；
（2）方程变形后，利用算术平方根定义开方即可求出解．
解：（1）原式＝3﹣（﹣3）+3+1
＝3+3+3+1
＝10；
（2）方程整理得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则及平方根定义是解本题的关键．
20．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
解：（1），
①代入②，可得：3（1﹣2y）+y＝﹣7，
解得y＝2，
把y＝2代入①，解得x＝﹣3，
∴原方程组的解是．
（2），
由①，可得：﹣x+7y＝﹣4③，
由②，可得：4x+2y＝6④，
③×2﹣④×7，可得﹣30x＝﹣50，
解得x＝，
把x＝代入③，可得：﹣+7y＝﹣4，
解得y＝﹣，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
21．如图，把△ABC向上平移4个单位，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积是 12 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）直接利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1（0，6），B1（﹣1，2），C1（5，2）；
（3）△A1B1C1的面积是＝×6×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ 角平分线的定义 ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ∠2 ，∠ABC＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ ∠EDF （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠ABC＝∠EDF（ 等量代换 ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ ∠3 （ 等量代换 ）
∴BM∥DN （ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质和判定解决问题．
【解答】证明：∵BM、DN 分别是∠ABC、∠EDF 的平分线．
∴∠1＝∠ABC，∠3＝（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝∠EDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABC＝∠EDF（等量代换），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；∠2；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠EDF；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
23．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A＝180°．
（1）求证：AE∥OF．
（2）若∠A＝30°，求∠DOG的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BOF＝∠COF，再利用平行线的判定解答即可；
（2）根据∠DOG＝∠DOC﹣∠FOG﹣∠COF即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DOF+∠COF＝180°，
∵∠DOF+∠A＝180°，
∴∠COF＝∠A，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠COF，
∴∠FOB＝∠A
∴AE∥OF；
（2）解：由（1）可知，∠FOB＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠FOB＝30°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝∠BOF＝30°，
∵OF⊥OG，
∴∠FOG＝90°，
∴∠DOG＝∠DOC﹣∠FOG﹣∠COF＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，根据度数相等得到相等的角是关键．
24．为了奖励网课期间表现优秀的同学，某老师购买了一批文具盲盒，每个盲盒中装的文具种类略有不同，共有A和B两类盲盒，同一类盲盒的价格一致．5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒；购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元．
（1）求A、B两种盲盒的售价．
（2）该老师去该商店时发现商店在进行如下两种促销活动：
活动一：A类盲盒打七折，B类盲盒直接降价m元；
活动二：A类盲盒降价13元，B类盲盒降价2m元．
已知老师共购买n件A类盲盒，10件B类盲盒，A类盲盒的成本价为35元，B类盲盒的成本价为15元，若老师按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%，求m的值．
【分析】（1）设出未知数，利用“5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒”和“购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元”列方程组解答即可；
（2）由已知条件，根据“按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%”列方程组解答即可．
解：（1）设A、B两种盲盒的售价分别为x元/个，y元/个，
根据题意，得
解得
答：A、B两种盲盒的售价分别为60元/个，75元/个；
（2）由题意，得
整理，得
解得
答：m的值为39.75．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，利用相等关系列出方程是解题的关键，本题第（2）问运算量比较大，需要细心解答，否则易出错．
25．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令，
得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“友好点”．
（1）请判断点A（7，1），B（6，4）是否为“友好点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“友好点”，求t的值．
【分析】（1）根据“友好点”的定义分别判断即可；
（2）直接利用“友好点”的定义得出t的值进而得出答案．
解：（1）点A（7，1），令，
得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“友好点”，
点B（6，4），令，
得，
∵m﹣n＝6，
∴B（6，4）是“友好点”；
（2）方程组的解为，
∵点C（，）是“友好点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴﹣＝6，
解得t＝10
∴t的值为10．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（3，b），C（0，﹣4），且满足+|a﹣b﹣6|＝0，
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，点N为x轴正半轴上一点，M为四象限内一点，且∠CAB与∠ONM的角平分线交于点Q，且∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，直线MN与y轴有什么位置关系，并证明你的结论．
（3）如图1，线段AB交x轴于E点．
①求点E的坐标；
②点P为坐标轴上一点，是否有点P，使得△ABP和△ABC的面积相等，若存在，请直接写出P点坐标，若不
存在，请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可；
（2）结论：MN∥y轴．过点Q作QT∥NM．证明QT∥y轴即可；
（3）①利用面积法，构建方程求解；
②分两种情形：点P在x轴或y轴，分别构建方程求解．
解：（1）∵，
∴a+b＝0，a﹣b﹣6＝0，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴A（0，3），B（3，﹣3）；
（2）结论：MN∥y轴．
理由：过点Q作QT∥NM．
∴∠TQN＝∠QNM，
∵AQ平分∠CAB，QN平分∠ONM，
∴∠OAQ＝∠BAQ，∠QNM＝∠QNO，
∵∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，
∴∠AQT＝∠OAQ，
∴y轴∥QT，
∵QT∥NM，
∴MN∥y轴；
（3）①如图1﹣1中，连接OB．
∵S△AOB＝×3×3＝×3×OE+×OE×3，
∴OE＝，
∴E（，0）；
②∵A（0，3），B（3，﹣3），C（0，﹣4），
∴S△ABC＝×7×3＝，
当点P在x轴上时，设P（m，0），
则有×|m﹣|×6＝，
∴m＝5或﹣2，
∴P（5，0）或（﹣2，0），
当点P在y轴上时，设P（0，n），则有×|n﹣3|×3＝，
∴n＝10或﹣4，
∴P（0，10）或（0，﹣4）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（5，0）或（﹣2，0）或（0，10）或（0，﹣4）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2022-2023学年重庆市九龙坡区杨家坪中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B．﹣2 C．3.14 D．0.01001
2．如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
3．估计的值可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直
5．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．2 C． D．±
8．如图，点A，B的坐标分别为（﹣2，a），（0，﹣2），现将线段平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为（1，4），（b，1），则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
9．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝46°，则∠H为（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的的横线上.
11．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是 ．
12．的小数部分为 ．
13．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为 ．
14．请将“同一个角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 ．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，则m＝ ．
16．如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于 ．
17．已知，求b﹣2a＝ ．
18．新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“大成数”，将一个“大成数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个两位数的和与11的商记为F（x）．例如x＝24，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为24+42＝66，66÷11＝6，所以F（24）＝6．若s，t都是“大成数”，其中s＝10m+2，t＝10+n（m，n均为不大于9的正整数）．求F（s）+F（t）最小值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20题8分，21、22、23、24、25每题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）；
（2）（x﹣1）2﹣8＝1．
20．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
21．如图，把△ABC向上平移4个单位，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积是 ．
22．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ，∠ABC＝ （ ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ （ ）
∴∠ABC＝∠EDF（ ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ （ ）
∴BM∥DN （ ）
23．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A＝180°．
（1）求证：AE∥OF．
（2）若∠A＝30°，求∠DOG的度数．
24．为了奖励网课期间表现优秀的同学，某老师购买了一批文具盲盒，每个盲盒中装的文具种类略有不同，共有A和B两类盲盒，同一类盲盒的价格一致．5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒；购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元．
（1）求A、B两种盲盒的售价．
（2）该老师去该商店时发现商店在进行如下两种促销活动：
活动一：A类盲盒打七折，B类盲盒直接降价m元；
活动二：A类盲盒降价13元，B类盲盒降价2m元．
已知老师共购买n件A类盲盒，10件B类盲盒，A类盲盒的成本价为35元，B类盲盒的成本价为15元，若老师按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%，求m的值．
25．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令，
得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“友好点”．
（1）请判断点A（7，1），B（6，4）是否为“友好点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“友好点”，求t的值．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（3，b），C（0，﹣4），且满足+|a﹣b﹣6|＝0，
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，点N为x轴正半轴上一点，M为四象限内一点，且∠CAB与∠ONM的角平分线交于点Q，且∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，直线MN与y轴有什么位置关系，并证明你的结论．
（3）如图1，线段AB交x轴于E点．
①求点E的坐标；
②点P为坐标轴上一点，是否有点P，使得△ABP和△ABC的面积相等，若存在，请直接写出P点坐标，若不
存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
1．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B．﹣2 C．3.14 D．0.01001
【分析】根据无理数的定义解答即可．
解：是无理数；
﹣2，3.14，0.01001是有理数．
故选：A．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．如图，下列条件：①∠DCA＝∠CAF，②∠C＝∠EDB，③∠BAC+∠C＝180°，④∠GDE+∠B＝180°．其中能判断AB∥CD的是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
解：①当∠DCA＝∠CAF时，AB∥CD，符合题意；
②当∠C＝∠EDB时，AC∥DB，不合题意；
③当∠BAC+∠C＝180°时，AB∥CD，符合题意；
④当∠GDE+∠B＝180°时，
又∵∠GDE+∠EDB＝180°，
∴∠B＝∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定是解题关键．
3．估计的值可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得出答案．
解：∵25＜28＜36，
∴5＜＜6，
∴估计的值可能是C点．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直
【分析】利用平方根的性质、垂直的性质、平面内两条直线的位置关系逐个判断即可．
解：A、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以A不正确；
B、直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，所以B不正确；
C、平面内，两条不相交的直线叫做平行线，所以C不正确；
D、∵对顶角相等，且和是180°，∴每个角都是90°，∴那这两条直线互相垂直，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的性质、平行及垂直的性质，准确理解并判断性质成立的条件是解题关键．
5．用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．x﹣2﹣x＝4 B．x﹣2﹣2x＝4 C．x﹣2+2x＝4 D．x﹣2+x＝4
【分析】将①代入②整理即可得出答案．
解：，
把①代入②得，x﹣2（1﹣x）＝4，
去括号得，x﹣2+2x＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了用代入法解一元一次方程组，是基础题．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．2 B．2 C． D．±
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是，
即y＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
8．如图，点A，B的坐标分别为（﹣2，a），（0，﹣2），现将线段平移至A1B1，且点A1，B1的坐标分别为（1，4），（b，1），则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4
【分析】由已知得出点线段AB向右平移了3个单位，向上平移了3个单位，即可得出a、b值，从而得出答案．
解：根据题意知，A（﹣2，a），其平移后对应点A1（1，4），
∴A点向右平移了1﹣（﹣2）＝3个单位，则B点也向右平移了3个单位，
∴b＝0+3＝3，
∵B（0，﹣2），其平移后对应点B1（b，1），
∴B点向上平移了1﹣（﹣2）＝3个单位，则A点也向上平移了3个单位，
∴a+3＝4，则a＝1，
∴a+b＝1+3＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了图形的平移及平移的性质，掌握平移中点的变化规律是解题的关键．
9．为更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位”列出方程组即可．
解：设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．
10．如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝46°，则∠H为（ ）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【分析】过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，利用平行线的性质解答即可．
解：过E作EQ∥AB，过H作HI∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∴∠QEB+∠ABE＝180°，∠QED+∠EDC＝180°，∠IHD+∠CDH＝180°，∠IHB+∠ABH＝180°，
∵∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠BED＝46°，
∴2∠FBA﹣2∠GDC＝∠BED＝46°，
∴∠BHD＝∠CDH﹣∠ABH＝180°﹣∠GDC﹣（180°﹣∠FBA）＝∠FBA﹣∠GDC＝∠BED＝23°．
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的的横线上.
11．如图，在一块直角三角板ABC中，AB＞AC的根据是 垂线段最短 ．
【分析】根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短可得．
解：∵AC⊥BC，
∴AB＞AC，其依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题主要考查垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
12．的小数部分为 ﹣1 ．
【分析】先估算出的整数部分，再求得此题结果即可．
解：∵1＜＜2，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识．
13．已知点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴距离是4，则点P的坐标为 （4，﹣2） ．
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
解：由到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，得：
|x|＝4，|y|＝2．
由点P位于第四象限，得：P点坐标为（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值得出|x|＝4，|y|＝2是解题关键．
14．请将“同一个角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】“同一个角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
解：“同一个角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将“同一个角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，则m＝ 1 ．
【分析】把两个方程相加，得出3x+3y＝2m+4，再由x+y＝2即可求出m的值．
解：两个方程相加得：
3x+3y＝2m+4，
∴x+y＝，
∵x+y＝2，
∴＝2，
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，正确求解方程组是解题的关键．
16．如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于 ﹣1 ．
【分析】由两个小正方形的面积分别为1，2，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于（﹣1）的长方形，从而可得答案．
解：面积为2的正方形的边长为：，面积为的正方形的边长为：1，
则阴影部分面积为：（﹣1）×1＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
17．已知，求b﹣2a＝ 3 ．
【分析】根据0的算术平方根是0得方程：2a﹣b+3＝0，从而可以解答．
解：∵，
∴2a﹣b+3＝0，
∴b﹣2a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握0的算术平方根是0是解本题的关键．
18．新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“大成数”，将一个“大成数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个两位数的和与11的商记为F（x）．例如x＝24，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为24+42＝66，66÷11＝6，所以F（24）＝6．若s，t都是“大成数”，其中s＝10m+2，t＝10+n（m，n均为不大于9的正整数）．求F（s）+F（t）最小值为 6 ．
【分析】首先根据题意可写出F（s）和F（t），推出F（s）+F（t）＝3+m+n，然后根据“大成数”的定义可得出m≠2、0和n≠1、0，且m，n均为不大于9的正整数，可得出m、n的最小值，即可得出F（s）+F（t）的最小值．
解：根据题意可得：F（s）＝＝2+m，且m≠2、0，
F（t）＝＝n+1，且n≠1、0，
∴F（s）+F（t）＝3+m+n，
∵m，n均为不大于9的正整数，
∴m的最小值为1，n的最小值为2，
∴F（s）+F（t）的最小值为6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解与新定义结合的题型，解题关键：一是写出F（s）+F（t）＝3+m+n，二是求出m和n的最小值．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20题8分，21、22、23、24、25每题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程成推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）；
（2）（x﹣1）2﹣8＝1．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根定义计算即可求出值；
（2）方程变形后，利用算术平方根定义开方即可求出解．
解：（1）原式＝3﹣（﹣3）+3+1
＝3+3+3+1
＝10；
（2）方程整理得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则及平方根定义是解本题的关键．
20．解二元一次方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
解：（1），
①代入②，可得：3（1﹣2y）+y＝﹣7，
解得y＝2，
把y＝2代入①，解得x＝﹣3，
∴原方程组的解是．
（2），
由①，可得：﹣x+7y＝﹣4③，
由②，可得：4x+2y＝6④，
③×2﹣④×7，可得﹣30x＝﹣50，
解得x＝，
把x＝代入③，可得：﹣+7y＝﹣4，
解得y＝﹣，
∴原方程组的解是．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
21．如图，把△ABC向上平移4个单位，再向右平移2个单位长度得△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积是 12 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）直接利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1（0，6），B1（﹣1，2），C1（5，2）；
（3）△A1B1C1的面积是＝×6×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ 角平分线的定义 ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ∠2 ，∠ABC＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ ∠EDF （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠ABC＝∠EDF（ 等量代换 ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ ∠3 （ 等量代换 ）
∴BM∥DN （ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质和判定解决问题．
【解答】证明：∵BM、DN 分别是∠ABC、∠EDF 的平分线．
∴∠1＝∠ABC，∠3＝（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝∠EDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABC＝∠EDF（等量代换），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；∠2；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠EDF；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
23．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，∠DOF+∠A＝180°．
（1）求证：AE∥OF．
（2）若∠A＝30°，求∠DOG的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BOF＝∠COF，再利用平行线的判定解答即可；
（2）根据∠DOG＝∠DOC﹣∠FOG﹣∠COF即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DOF+∠COF＝180°，
∵∠DOF+∠A＝180°，
∴∠COF＝∠A，
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠COF，
∴∠FOB＝∠A
∴AE∥OF；
（2）解：由（1）可知，∠FOB＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠FOB＝30°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝∠BOF＝30°，
∵OF⊥OG，
∴∠FOG＝90°，
∴∠DOG＝∠DOC﹣∠FOG﹣∠COF＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，根据度数相等得到相等的角是关键．
24．为了奖励网课期间表现优秀的同学，某老师购买了一批文具盲盒，每个盲盒中装的文具种类略有不同，共有A和B两类盲盒，同一类盲盒的价格一致．5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒；购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元．
（1）求A、B两种盲盒的售价．
（2）该老师去该商店时发现商店在进行如下两种促销活动：
活动一：A类盲盒打七折，B类盲盒直接降价m元；
活动二：A类盲盒降价13元，B类盲盒降价2m元．
已知老师共购买n件A类盲盒，10件B类盲盒，A类盲盒的成本价为35元，B类盲盒的成本价为15元，若老师按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%，求m的值．
【分析】（1）设出未知数，利用“5个A类盲盒的钱刚好可以购买4个B类盲盒”和“购买2个A类盲盒的花费比购买3个B类盲盒少105元”列方程组解答即可；
（2）由已知条件，根据“按活动一购买，则商家的利润率为30%，若按照活动二购买，则商家的利润率为20%”列方程组解答即可．
解：（1）设A、B两种盲盒的售价分别为x元/个，y元/个，
根据题意，得
解得
答：A、B两种盲盒的售价分别为60元/个，75元/个；
（2）由题意，得
整理，得
解得
答：m的值为39.75．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，利用相等关系列出方程是解题的关键，本题第（2）问运算量比较大，需要细心解答，否则易出错．
25．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“友好点”．例如：点E（3，1），令，
得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“友好点”，点P（4，﹣2），令，得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“友好点”．
（1）请判断点A（7，1），B（6，4）是否为“友好点”，并说明理由．
（2）以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“友好点”，求t的值．
【分析】（1）根据“友好点”的定义分别判断即可；
（2）直接利用“友好点”的定义得出t的值进而得出答案．
解：（1）点A（7，1），令，
得，
∵m﹣n＝8≠6，
∴A（7，1）不是“友好点”，
点B（6，4），令，
得，
∵m﹣n＝6，
∴B（6，4）是“友好点”；
（2）方程组的解为，
∵点C（，）是“友好点”，
∴，
∴，
∵m﹣n＝6，
∴﹣＝6，
解得t＝10
∴t的值为10．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
26．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（3，b），C（0，﹣4），且满足+|a﹣b﹣6|＝0，
（1）求点A、B的坐标．
（2）如图2，点N为x轴正半轴上一点，M为四象限内一点，且∠CAB与∠ONM的角平分线交于点Q，且∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，直线MN与y轴有什么位置关系，并证明你的结论．
（3）如图1，线段AB交x轴于E点．
①求点E的坐标；
②点P为坐标轴上一点，是否有点P，使得△ABP和△ABC的面积相等，若存在，请直接写出P点坐标，若不
存在，请说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可；
（2）结论：MN∥y轴．过点Q作QT∥NM．证明QT∥y轴即可；
（3）①利用面积法，构建方程求解；
②分两种情形：点P在x轴或y轴，分别构建方程求解．
解：（1）∵，
∴a+b＝0，a﹣b﹣6＝0，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴A（0，3），B（3，﹣3）；
（2）结论：MN∥y轴．
理由：过点Q作QT∥NM．
∴∠TQN＝∠QNM，
∵AQ平分∠CAB，QN平分∠ONM，
∴∠OAQ＝∠BAQ，∠QNM＝∠QNO，
∵∠CAB+∠ONQ＝∠NQA，
∴∠AQT＝∠OAQ，
∴y轴∥QT，
∵QT∥NM，
∴MN∥y轴；
（3）①如图1﹣1中，连接OB．
∵S△AOB＝×3×3＝×3×OE+×OE×3，
∴OE＝，
∴E（，0）；
②∵A（0，3），B（3，﹣3），C（0，﹣4），
∴S△ABC＝×7×3＝，
当点P在x轴上时，设P（m，0），
则有×|m﹣|×6＝，
∴m＝5或﹣2，
∴P（5，0）或（﹣2，0），
当点P在y轴上时，设P（0，n），则有×|n﹣3|×3＝，
∴n＝10或﹣4，
∴P（0，10）或（0，﹣4）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（5，0）或（﹣2，0）或（0，10）或（0，﹣4）．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
相关试卷
重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年数学九上期末检测试题含解析： 这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年数学九上期末检测试题含解析，共21页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，抛物线y＝22﹣1的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市九龙坡区杨家坪中学八上数学期末监测模拟试题含答案： 这是一份2023-2024学年重庆市九龙坡区杨家坪中学八上数学期末监测模拟试题含答案，共8页。试卷主要包含了已知 ，则下列不等式中正确的是，下列各式从左到右的变形正确的是，的绝对值是等内容，欢迎下载使用。
重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年数学七下期末复习检测试题含答案： 这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2022-2023学年数学七下期末复习检测试题含答案，共6页。试卷主要包含了下列函数中，一次函数是，计算=等内容，欢迎下载使用。
