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宁夏回族自治区银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
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这是一份宁夏回族自治区银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁夏银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2
C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m
C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x2﹣y）（x+y2）
4．如图．将一把直尺放在一块含30°角的直角三角尺上，测得∠1＝53°，则∠2的度数为（ ）
A．53° B．83° C．93° D．113°
5．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
7．如图，AM是△ABC的中线，△AMN的面积为2，N是AC边的中点．则△ABM的面积为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．以上答案都不对
8．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
二、填空题（24分）
9．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC进行测量，其依据是 ．
10．已知∠1和∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝63°，则∠3的度数为 ．
11．计算：若33x+1•53x+1＝152x+4，则x＝ ．
12．一个等腰三角形的两边分别是3cm和4cm，则它的周长为 ．
13．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
14．调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于 ．
15．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ ．
16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表：由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式 ．
x（小时）
0
1
2
3
y（升）
100
92
84
76
三、解答题（共72分）
17．（16分）计算：
（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|；
（3）2002﹣199×201（用乘法公式简便计算）；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）．
18．（7分）先化简，再求值：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a），其中a，b满足|a+1|+（2b﹣1）2＝0．
20．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝ （ ），
∴AB∥EF（ ）
∴∠3＝ （ ）
又∠B＝∠3（已知）
∴∠B＝ （等量代换）
∴DE∥BC（ ）
∴∠C＝∠AED（ ）．
21．（6分）一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角的度数．
22．（6分）如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变
化．
（1）在这个变化过程中，自变量，因变量各是什么？
（2）写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；
（3）当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3．
23．（6分）如图，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，∠ABC＝66°，∠AEB＝76°．求∠CAD的度数．
24．（8分）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）求小明和朱老师的速度；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．
25．（8分）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
宁夏银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
【参考答案】
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2
C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故B符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m
C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x2﹣y）（x+y2）
【分析】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
B、b是相同的项，互为相反项是a与﹣a，正确；
C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不符合平方差公式的特点；
D、不存在相同的项，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
4．如图．将一把直尺放在一块含30°角的直角三角尺上，测得∠1＝53°，则∠2的度数为（ ）
A．53° B．83° C．93° D．113°
【分析】利用三角形外角与对顶角的性质求解即可．
【解答】解：如图：
由图和题意可知：∠4＝30°．
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3＝53°．
∴∠2＝∠4+∠3
＝53°+30°
＝83°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握对顶角和三角形的外角的性质是解题关键．
5．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠B+∠2＝180，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
B、∵∠1＝∠4，∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
C、∵∠B＝∠3，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
D、∵∠1＝∠B，∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥EF，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
7．如图，AM是△ABC的中线，△AMN的面积为2，N是AC边的中点．则△ABM的面积为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．以上答案都不对
【分析】根据中点和等底等高得到三角形面积相等，运用两次即可．
【解答】解：∵N是AC边的中点，
∴S△AMN＝S△MNC＝2，
∴S△AMC＝2+2＝4，
∵AM是△ABC的中线，
∴S△ABM＝S△AMC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积，能够理解三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分是解答本题的关键．
8．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
二、填空题（24分）
9．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC进行测量，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【解答】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．
10．已知∠1和∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝63°，则∠3的度数为 153° ．
【分析】已知∠1的度数，根据余角的性质可求得∠2的度数，从而根据补角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝63°，
∴∠2＝90°﹣63°＝27°，
∵∠2与∠3互补
∴∠3＝180°﹣27°＝153°．
故答案为：153°．
【点评】此题主要考查学生对余角及补角的性质的理解及运用能力．
11．计算：若33x+1•53x+1＝152x+4，则x＝ 3 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：∵33x+1•53x+1＝（3×5）3x+1＝153x+1＝152x+4，
∴3x+1＝2x+4，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
12．一个等腰三角形的两边分别是3cm和4cm，则它的周长为 10cm或11cm ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和4cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当三边是3，3，4时，能构成三角形，则周长是10；
当三边是3，4，4时，能构成三角形，则周长是11．
所以等腰三角形的周长为10cm或11cm．
故答案为：10cm或11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 直角 三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
【分析】由∠A，∠B，∠C三角之间的关系，可求出∠C的度数，进而可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A：∠B：∠C＝2：3：5，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
14．调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于 5x3﹣15x2+30x ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：被除式等于：5x•（x2﹣3x+6）＝5x3﹣15x2+30x．
故答案为：5x3﹣15x2+30x．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ 25° ．
【分析】由角平分线的性质得∠BOD＝∠AOB＝65°，根据垂直定义知∠BOC＝90°，由∠COD＝90°﹣∠BOD可得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝130°，OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝65°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查垂直的定义和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质．
16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表：由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式 y＝100﹣8t ．
x（小时）
0
1
2
3
y（升）
100
92
84
76
【分析】根据图表可知，汽车每1小时耗油8升，汽车原有120升汽油，则可列函数关系式．
【解答】解：由图表可知，汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油，
则油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系为y＝100﹣8t，
故答案为：y＝100﹣8t．
【点评】本题主要考查函数关系式，根据图表所给数据判断每1小时耗油量是解决本题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（16分）计算：
（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|；
（3）2002﹣199×201（用乘法公式简便计算）；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）．
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可；
（2）先算零指数幂，乘方，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可；
（4）先算完全平方，平方差，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）
＝4x2y4•3x2y﹣x3y3
＝12x4y5﹣x3y3；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|
＝1﹣8+9+2021
＝2023；
（3）2002﹣199×201
＝2002﹣（200﹣1）×（200+1）
＝2002﹣（2002﹣1）
＝2002﹣2002+1
＝1；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）
＝x2+4xy+4y2﹣（9y2﹣x2）
＝x2+4xy+4y2﹣9y2+x2
＝2x2+4xy﹣5y2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）先化简，再求值：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a），其中a，b满足|a+1|+（2b﹣1）2＝0．
【分析】先利用整式的相应的法则对式子进行化简，再由非负数的性质求得a，b的值，代入运算即可．
【解答】解：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a）
＝（a2﹣2ab+b2+2a﹣2ab+b﹣b2﹣b）÷（）
＝（a2+2a﹣4ab）÷（）
＝2a+4﹣8b，
∵|a+1|+（2b﹣1）2＝0，
∴a+1＝0，2b﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，b＝，
∴原式＝2×（﹣1）+4﹣8×
＝﹣2+4﹣4
＝﹣2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝ ∠DFE （ 同角的补角相等 ），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝ ∠ADE （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∠B＝∠3（已知）
∴∠B＝ ∠ADE （等量代换）
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠AED（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】首先求出∠2＝∠DFE，两直线平行可判断出AB∥EF，进而得到∠B＝∠ADE，可判断出DE∥BC，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∠B＝∠3（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
21．（6分）一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角的度数．
【分析】设这个角度数是x，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角度数是x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
由题意得，90°﹣x＝（180°﹣x）﹣12°，
解得x＝76°．
答：这个角的度数76°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟记概念并分别表示出这个角的余角和补角然后列出方程是解题的关键．
22．（6分）如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变
化．
（1）在这个变化过程中，自变量，因变量各是什么？
（2）写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；
（3）当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3．
【分析】（1）根据函数间两变量的变化关系，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得函数解析式；
（3）根据自变量于函数值的关系，可得答案．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是 r，因变量是 V．
（2）圆柱的体积V与底面半径r的关系式是 V＝4πr2．
（3）当圆柱的底面半径由2变化到8时，圆柱的体积由 16πcm3变化到 256πcm3．
【点评】本题考查了函数关系式，利用圆柱的体积公式得出函数关系式是解题关键．
23．（6分）如图，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，∠ABC＝66°，∠AEB＝76°．求∠CAD的度数．
【分析】由角平分线的定义可求得∠EBC的度数，根据三角形外角的性质可求得∠C的度数，利用三角形的高线可求解．
【解答】解：∵BF是△ABC的角平分线，∠ABC＝66°，
∴．
∵∠AEB＝76°，
∴∠C＝∠AEB﹣∠EBC＝76°﹣33°＝43°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣43°＝47°．
【点评】本题主要考查三角形的高线，角平分线，三角形外角的性质，求解∠C的度数是解题的关键．
24．（8分）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 t ，因变量是 s ；
（2）求小明和朱老师的速度；
（3）小明与朱老师相遇 2 次，相遇时距起点的距离分别为 300和420 米．
【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；
（2）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s．
故答案为：t，s；
（2）朱老师的速度为：（300﹣200）÷50＝2（米/秒）；
小明的速度为：300÷50＝6（米/秒）．
答：朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒；
（3）由图象得：小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300和420米，
故答案为：2，300和420．
【点评】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．
25．（8分）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ 65° ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ 150° ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而根据平行线的性质得到∠APD＝∠A+∠D即可解答；
（2）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而得到∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，求出∠DPQ＝30°，进一步求出∠D即可；
（3）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，进而得出β＝∠BPQ+γ，进一步求出α+β﹣γ＝180°．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APQ，∠D＝∠DPQ，
∵∠A＝30°，∠D＝35°，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝∠A+∠D＝30°+35°＝65°．
故答案为：65°；
（2）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠APQ＝30°，
∵∠APD＝60°，
∴∠DPQ＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠DPQ＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°；
（3）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝180°﹣α，
∵β＝∠BPQ+∠DPQ，
∴β＝∠BPQ+γ，
∴β＝180°﹣α+γ，
即α+β﹣γ＝180°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的性质定理和判定定理进行推理是解此题的关键．
宁夏银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2
C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m
C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x2﹣y）（x+y2）
4．如图．将一把直尺放在一块含30°角的直角三角尺上，测得∠1＝53°，则∠2的度数为（ ）
A．53° B．83° C．93° D．113°
5．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
7．如图，AM是△ABC的中线，△AMN的面积为2，N是AC边的中点．则△ABM的面积为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．以上答案都不对
8．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
二、填空题（24分）
9．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC进行测量，其依据是 ．
10．已知∠1和∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝63°，则∠3的度数为 ．
11．计算：若33x+1•53x+1＝152x+4，则x＝ ．
12．一个等腰三角形的两边分别是3cm和4cm，则它的周长为 ．
13．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
14．调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于 ．
15．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ ．
16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表：由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式 ．
x（小时）
0
1
2
3
y（升）
100
92
84
76
三、解答题（共72分）
17．（16分）计算：
（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|；
（3）2002﹣199×201（用乘法公式简便计算）；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）．
18．（7分）先化简，再求值：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a），其中a，b满足|a+1|+（2b﹣1）2＝0．
20．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝ （ ），
∴AB∥EF（ ）
∴∠3＝ （ ）
又∠B＝∠3（已知）
∴∠B＝ （等量代换）
∴DE∥BC（ ）
∴∠C＝∠AED（ ）．
21．（6分）一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角的度数．
22．（6分）如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变
化．
（1）在这个变化过程中，自变量，因变量各是什么？
（2）写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；
（3）当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3．
23．（6分）如图，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，∠ABC＝66°，∠AEB＝76°．求∠CAD的度数．
24．（8分）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）求小明和朱老师的速度；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．
25．（8分）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
宁夏银川市第十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
【参考答案】
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+2a2＝3a2
C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、a2+2a2＝3a2，故B符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m
C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b﹣a）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x2﹣y）（x+y2）
【分析】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不存在互为相反数的项，故本选项错误；
B、b是相同的项，互为相反项是a与﹣a，正确；
C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不符合平方差公式的特点；
D、不存在相同的项，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
4．如图．将一把直尺放在一块含30°角的直角三角尺上，测得∠1＝53°，则∠2的度数为（ ）
A．53° B．83° C．93° D．113°
【分析】利用三角形外角与对顶角的性质求解即可．
【解答】解：如图：
由图和题意可知：∠4＝30°．
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3＝53°．
∴∠2＝∠4+∠3
＝53°+30°
＝83°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握对顶角和三角形的外角的性质是解题关键．
5．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出x的取值范围，再根据取值范围选择．
【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠B+∠2＝180，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
B、∵∠1＝∠4，∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
C、∵∠B＝∠3，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
D、∵∠1＝∠B，∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥EF，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
7．如图，AM是△ABC的中线，△AMN的面积为2，N是AC边的中点．则△ABM的面积为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．以上答案都不对
【分析】根据中点和等底等高得到三角形面积相等，运用两次即可．
【解答】解：∵N是AC边的中点，
∴S△AMN＝S△MNC＝2，
∴S△AMC＝2+2＝4，
∵AM是△ABC的中线，
∴S△ABM＝S△AMC＝4．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积，能够理解三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分是解答本题的关键．
8．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
二、填空题（24分）
9．如图所示的是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育老师测量小明同学的跳远成绩时，选取了线段DC进行测量，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【解答】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短．
10．已知∠1和∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝63°，则∠3的度数为 153° ．
【分析】已知∠1的度数，根据余角的性质可求得∠2的度数，从而根据补角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝63°，
∴∠2＝90°﹣63°＝27°，
∵∠2与∠3互补
∴∠3＝180°﹣27°＝153°．
故答案为：153°．
【点评】此题主要考查学生对余角及补角的性质的理解及运用能力．
11．计算：若33x+1•53x+1＝152x+4，则x＝ 3 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：∵33x+1•53x+1＝（3×5）3x+1＝153x+1＝152x+4，
∴3x+1＝2x+4，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
12．一个等腰三角形的两边分别是3cm和4cm，则它的周长为 10cm或11cm ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和4cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当三边是3，3，4时，能构成三角形，则周长是10；
当三边是3，4，4时，能构成三角形，则周长是11．
所以等腰三角形的周长为10cm或11cm．
故答案为：10cm或11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 直角 三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
【分析】由∠A，∠B，∠C三角之间的关系，可求出∠C的度数，进而可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A：∠B：∠C＝2：3：5，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
14．调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于 5x3﹣15x2+30x ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：被除式等于：5x•（x2﹣3x+6）＝5x3﹣15x2+30x．
故答案为：5x3﹣15x2+30x．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ 25° ．
【分析】由角平分线的性质得∠BOD＝∠AOB＝65°，根据垂直定义知∠BOC＝90°，由∠COD＝90°﹣∠BOD可得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝130°，OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝65°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查垂直的定义和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的性质．
16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表：由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式 y＝100﹣8t ．
x（小时）
0
1
2
3
y（升）
100
92
84
76
【分析】根据图表可知，汽车每1小时耗油8升，汽车原有120升汽油，则可列函数关系式．
【解答】解：由图表可知，汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油，
则油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系为y＝100﹣8t，
故答案为：y＝100﹣8t．
【点评】本题主要考查函数关系式，根据图表所给数据判断每1小时耗油量是解决本题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（16分）计算：
（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|；
（3）2002﹣199×201（用乘法公式简便计算）；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）．
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可；
（2）先算零指数幂，乘方，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可；
（4）先算完全平方，平方差，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2xy2）2•3x2y+（﹣x3y3）
＝4x2y4•3x2y﹣x3y3
＝12x4y5﹣x3y3；
（2）（﹣）0+（﹣2）3+（）﹣2+|2021|
＝1﹣8+9+2021
＝2023；
（3）2002﹣199×201
＝2002﹣（200﹣1）×（200+1）
＝2002﹣（2002﹣1）
＝2002﹣2002+1
＝1；
（4）（x+2y）2﹣（x+3y）（3y﹣x）
＝x2+4xy+4y2﹣（9y2﹣x2）
＝x2+4xy+4y2﹣9y2+x2
＝2x2+4xy﹣5y2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）先化简，再求值：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a），其中a，b满足|a+1|+（2b﹣1）2＝0．
【分析】先利用整式的相应的法则对式子进行化简，再由非负数的性质求得a，b的值，代入运算即可．
【解答】解：[（a﹣b）2+（2a+b）（1﹣b）﹣b]÷（a）
＝（a2﹣2ab+b2+2a﹣2ab+b﹣b2﹣b）÷（）
＝（a2+2a﹣4ab）÷（）
＝2a+4﹣8b，
∵|a+1|+（2b﹣1）2＝0，
∴a+1＝0，2b﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，b＝，
∴原式＝2×（﹣1）+4﹣8×
＝﹣2+4﹣4
＝﹣2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义）
∴∠2＝ ∠DFE （ 同角的补角相等 ），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝ ∠ADE （ 两直线平行，内错角相等 ）
又∠B＝∠3（已知）
∴∠B＝ ∠ADE （等量代换）
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠AED（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】首先求出∠2＝∠DFE，两直线平行可判断出AB∥EF，进而得到∠B＝∠ADE，可判断出DE∥BC，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∠B＝∠3（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
21．（6分）一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角的度数．
【分析】设这个角度数是x，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角度数是x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），
由题意得，90°﹣x＝（180°﹣x）﹣12°，
解得x＝76°．
答：这个角的度数76°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟记概念并分别表示出这个角的余角和补角然后列出方程是解题的关键．
22．（6分）如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变
化．
（1）在这个变化过程中，自变量，因变量各是什么？
（2）写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；
（3）当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3．
【分析】（1）根据函数间两变量的变化关系，可得答案；
（2）根据圆柱的体积公式，可得函数解析式；
（3）根据自变量于函数值的关系，可得答案．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是 r，因变量是 V．
（2）圆柱的体积V与底面半径r的关系式是 V＝4πr2．
（3）当圆柱的底面半径由2变化到8时，圆柱的体积由 16πcm3变化到 256πcm3．
【点评】本题考查了函数关系式，利用圆柱的体积公式得出函数关系式是解题关键．
23．（6分）如图，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，∠ABC＝66°，∠AEB＝76°．求∠CAD的度数．
【分析】由角平分线的定义可求得∠EBC的度数，根据三角形外角的性质可求得∠C的度数，利用三角形的高线可求解．
【解答】解：∵BF是△ABC的角平分线，∠ABC＝66°，
∴．
∵∠AEB＝76°，
∴∠C＝∠AEB﹣∠EBC＝76°﹣33°＝43°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣43°＝47°．
【点评】本题主要考查三角形的高线，角平分线，三角形外角的性质，求解∠C的度数是解题的关键．
24．（8分）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 t ，因变量是 s ；
（2）求小明和朱老师的速度；
（3）小明与朱老师相遇 2 次，相遇时距起点的距离分别为 300和420 米．
【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；
（2）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s．
故答案为：t，s；
（2）朱老师的速度为：（300﹣200）÷50＝2（米/秒）；
小明的速度为：300÷50＝6（米/秒）．
答：朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒；
（3）由图象得：小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300和420米，
故答案为：2，300和420．
【点评】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．
25．（8分）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ 65° ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ 150° ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而根据平行线的性质得到∠APD＝∠A+∠D即可解答；
（2）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而得到∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，求出∠DPQ＝30°，进一步求出∠D即可；
（3）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，进而得出β＝∠BPQ+γ，进一步求出α+β﹣γ＝180°．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APQ，∠D＝∠DPQ，
∵∠A＝30°，∠D＝35°，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝∠A+∠D＝30°+35°＝65°．
故答案为：65°；
（2）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠APQ＝30°，
∵∠APD＝60°，
∴∠DPQ＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠DPQ＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°；
（3）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝180°﹣α，
∵β＝∠BPQ+∠DPQ，
∴β＝∠BPQ+γ，
∴β＝180°﹣α+γ，
即α+β﹣γ＝180°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的性质定理和判定定理进行推理是解此题的关键．
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