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2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
5．等式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x≤4 B．3＜x＜4 C．3≤x＜4 D．3≤x≤4
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．计算的结果估计在（ ）
A．8与9之间 B．10与11之间 C．7与8之间 D．9与10之间
8．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件可以是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
10．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
11．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10cm，AB＝4cm，则△COD的周长为（ ）
A．14cm B．9cm C．7cm D．5cm
12．已知：，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或5 D．﹣1或﹣5
13．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
16．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．若两个最简二次根式与能够合并，则mn＝ ．
18．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝ ．
19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．
20．如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．已知a、b满足等式．
（1）求出a、b的值分别是多少？
（2）试求的值．
22．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？
23．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
25．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：AF⊥DE．
27．观察、发现：＝＝＝＝﹣1
（1）试化简：；
（2）直接写出：＝ ；
（3）求值：+++…+．
参考答案
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
解：A、42+52≠62，不是勾股数；
B、122+162≠182，不是勾股数；
C、72+242＝252，是勾股数；
D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算即可解答．
解：A、∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c＝5：12：13，
∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
4．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．等式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x≤4 B．3＜x＜4 C．3≤x＜4 D．3≤x≤4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算法则，进而分析得出答案．
解：等式有意义，
则，
解得：3≤x＜4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．计算的结果估计在（ ）
A．8与9之间 B．10与11之间 C．7与8之间 D．9与10之间
【分析】先根据二次根式的混合运算计算得到，进而估算即可．
解：
＝
＝
＝，
∵，
∴．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
8．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件可以是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
【分析】根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
10．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
解：∵＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|．
11．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10cm，AB＝4cm，则△COD的周长为（ ）
A．14cm B．9cm C．7cm D．5cm
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝4cm，继而代入可求出△OCD的周长．
解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4cm，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝5（cm），
∴△COD的周长＝OC+OD+CD＝4+5＝9（cm）．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
12．已知：，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或5 D．﹣1或﹣5
【分析】先根据题意求出a，b的值，进而可得出结论．
解：∵|a|＝2，
∴a＝±2；
∵＝3，
∴b＝±3．
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
∴当a＝2，b＝3时，a﹣b＝2﹣3＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝3时，a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
13．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
15．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP＝OD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．若两个最简二次根式与能够合并，则mn＝ 10 ．
【分析】根据合并同类二次根式得出n＝2，2m﹣5＝5，求出m，最后代入求出即可．
解：∵最简二次根式与能够合并，
∴n＝2，2m﹣5＝5，
∴m＝5，
∴mn＝5×2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
18．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝ 9 ．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
解：∵D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝18，
∴DE＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 17 cm2．
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49cm2，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
解：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49cm2，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49cm2．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
20．如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影＝S四边形ABCD．
解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB•h1+CD•h2＝AB（h1+h2）
＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．已知a、b满足等式．
（1）求出a、b的值分别是多少？
（2）试求的值．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求解即可得到a的值，再求出b的值即可；
（2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，
解得a≥3且a≤3，
所以，a＝3，
b＝﹣9；
（2）﹣+，
＝﹣+，
＝6﹣9﹣3，
＝﹣6．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，代数式求值．
22．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 15﹣x m；
（2）求这棵树高有多少米？
【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102
∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA＝BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D＝90°，从而判定矩形；
（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可．
解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
25．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
故线段BN的长为8．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：AF⊥DE．
【分析】由四边形ABCD是正方形，可得AD＝CD＝BC,∠ADC＝∠DCB＝90°，从而可证△ADF≌△DCE,有∠DAF＝∠CDE,又∠CDE+∠EDA＝90°，可得∠DAF+∠EDA＝90°，即可得AF⊥DE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC,∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF,
∴BC﹣BE＝CD﹣CF即CE＝DF,
在△ADF和△DCE中，
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴∠DAF＝∠CDE,
∵∠ADC＝90°,即∠CDE+∠EDA＝90°，
∴∠DAF+∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，
∴AF⊥DE．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知证明△ADF≌△DCE．
27．观察、发现：＝＝＝＝﹣1
（1）试化简：；
（2）直接写出：＝ ﹣ ；
（3）求值：+++…+．
【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．
解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝；
故答案为：
（3）由（2）可知：
原式＝﹣1++﹣+…+﹣
＝﹣1+
＝9
【点评】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，属于基础题型．
2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
5．等式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x≤4 B．3＜x＜4 C．3≤x＜4 D．3≤x≤4
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．计算的结果估计在（ ）
A．8与9之间 B．10与11之间 C．7与8之间 D．9与10之间
8．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件可以是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
10．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
11．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10cm，AB＝4cm，则△COD的周长为（ ）
A．14cm B．9cm C．7cm D．5cm
12．已知：，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或5 D．﹣1或﹣5
13．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
16．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．若两个最简二次根式与能够合并，则mn＝ ．
18．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝ ．
19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2．
20．如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．已知a、b满足等式．
（1）求出a、b的值分别是多少？
（2）试求的值．
22．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？
23．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
25．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：AF⊥DE．
27．观察、发现：＝＝＝＝﹣1
（1）试化简：；
（2）直接写出：＝ ；
（3）求值：+++…+．
参考答案
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
解：A、42+52≠62，不是勾股数；
B、122+162≠182，不是勾股数；
C、72+242＝252，是勾股数；
D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算即可解答．
解：A、∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c＝5：12：13，
∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
4．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．等式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x≤4 B．3＜x＜4 C．3≤x＜4 D．3≤x≤4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算法则，进而分析得出答案．
解：等式有意义，
则，
解得：3≤x＜4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．计算的结果估计在（ ）
A．8与9之间 B．10与11之间 C．7与8之间 D．9与10之间
【分析】先根据二次根式的混合运算计算得到，进而估算即可．
解：
＝
＝
＝，
∵，
∴．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
8．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（ ）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件可以是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
【分析】根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
10．若，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
解：∵＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|．
11．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10cm，AB＝4cm，则△COD的周长为（ ）
A．14cm B．9cm C．7cm D．5cm
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD＝（AC+BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝4cm，继而代入可求出△OCD的周长．
解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4cm，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝5（cm），
∴△COD的周长＝OC+OD+CD＝4+5＝9（cm）．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
12．已知：，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或5 D．﹣1或﹣5
【分析】先根据题意求出a，b的值，进而可得出结论．
解：∵|a|＝2，
∴a＝±2；
∵＝3，
∴b＝±3．
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
∴当a＝2，b＝3时，a﹣b＝2﹣3＝﹣1；
当a＝﹣2，b＝3时，a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
13．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，
（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
15．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP＝OD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．若两个最简二次根式与能够合并，则mn＝ 10 ．
【分析】根据合并同类二次根式得出n＝2，2m﹣5＝5，求出m，最后代入求出即可．
解：∵最简二次根式与能够合并，
∴n＝2，2m﹣5＝5，
∴m＝5，
∴mn＝5×2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
18．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝ 9 ．
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
解：∵D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝18，
∴DE＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 17 cm2．
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49cm2，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
解：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49cm2，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49cm2．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
20．如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影＝S四边形ABCD．
解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝AB•h1+CD•h2＝AB（h1+h2）
＝S四边形ABCD＝×6＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．已知a、b满足等式．
（1）求出a、b的值分别是多少？
（2）试求的值．
【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求解即可得到a的值，再求出b的值即可；
（2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解．
解：（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，
解得a≥3且a≤3，
所以，a＝3，
b＝﹣9；
（2）﹣+，
＝﹣+，
＝6﹣9﹣3，
＝﹣6．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，代数式求值．
22．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为 15﹣x m；
（2）求这棵树高有多少米？
【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102
∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA＝BC+CA的等量关系并根据直角△ACD求BD是解题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D＝90°，从而判定矩形；
（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可．
解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
25．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，
解得x＝8．
故线段BN的长为8．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：AF⊥DE．
【分析】由四边形ABCD是正方形，可得AD＝CD＝BC,∠ADC＝∠DCB＝90°，从而可证△ADF≌△DCE,有∠DAF＝∠CDE,又∠CDE+∠EDA＝90°，可得∠DAF+∠EDA＝90°，即可得AF⊥DE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC,∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BE＝CF,
∴BC﹣BE＝CD﹣CF即CE＝DF,
在△ADF和△DCE中，
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴∠DAF＝∠CDE,
∵∠ADC＝90°,即∠CDE+∠EDA＝90°，
∴∠DAF+∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，
∴AF⊥DE．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知证明△ADF≌△DCE．
27．观察、发现：＝＝＝＝﹣1
（1）试化简：；
（2）直接写出：＝ ﹣ ；
（3）求值：+++…+．
【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．
解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝；
故答案为：
（3）由（2）可知：
原式＝﹣1++﹣+…+﹣
＝﹣1+
＝9
【点评】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，属于基础题型．
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