2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省衡水市景县部分学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几组数中，为勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  满足下列条件的，不是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

4.  四边形中，已知，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  等式有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  计算的结果估计在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

8.  如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为厘米，高为厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，要使▱成为矩形，需添加的条件可以是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在▱中，对角线，相交于点，且，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知：，且，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

13.  两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为(    )

A.  B.  C.  D.

14.  如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

15.  下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 内角和为 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

16.  如图，矩形中，，，点是边上一动点，则的最小值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17.  若两个最简二次根式与能够合并，则______．

18.  如图，、分别是的边和的中点，若，则 ______ ．

19.  如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积分别是，，，则正方形的面积是_____．
 

20.  如图，为▱内任一点，且▱的面积为，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
已知、满足等式．
求出、的值分别是多少？
试求的值．

22.  本小题分
如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处，且，它们都要到处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处．已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
请用含有的整式表示线段的长为______；
求这棵树高有多少米？

23.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：．
若，，求的度数．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，为边上一点，且，
连结．
求证：四边形是矩形；
若平分，，，求的长，

25.  本小题分
如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长．

26.  本小题分
如图，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点，求证：．

27.  本小题分
观察、发现：
试化简：；
直接写出： ______ ；
求值：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是勾股数；
B、，不是勾股数；
C、，是勾股数；
D、，但不是正整数，不是勾股数．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，
，
，
，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、：：：：，，
，
不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】
解：根据平行四边形的判定，、、均能判定它是平行四边形，则不能判定是平行四边形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：等式有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算法则，进而分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：


，
，
．
故选：．
先根据二次根式的混合运算计算得到，进而估算即可．
此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，
筷子露在杯子外面的长度至少为，
故选：．
首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、是邻边相等，可判定平行四边形是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形是菱形；
C、是一内角等于，可判断平行四边形成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形是菱形．
故选：．
根据一个角是度的平行四边形是矩形进行选择即可．
本题主要应用的知识点为：矩形的判定．对角线相等且相互平分的四边形为矩形．一个角是度的平行四边形是矩形．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，解得．
故选：．
等式左边为算术平方根，结果为非负数，即．
解答此题，要弄清以下问题：
、定义：一般地，形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当时，；当小于时，二次根式无意义．、性质：．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
的周长．
故选：．
根据平行四边形的对角线互相平分可得出，再由平行四边形的对边相等可得，继而代入可求出的周长．
此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
；
，
．
，
，
当，时，；
当，时，．
故选：．
先根据题意求出，的值，进而可得出结论．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
，即，
整理得：．
故选：．
用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
【解答】
解：矩形和菱形的内角和都为，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
矩形具有而菱形不一定具有的性质为对角线相等，
故选C．  

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，
，
，
当时，有最小值，
．
故选A．
本题考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质，以及垂线段最短的应用．
由矩形的性质可得，由等腰三角形的性质可求，则当时，有最小值，由含角的直角三角形的性质即可求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：最简二次根式与能够合并，
，，
，
，
故答案为：．
根据合并同类二次根式得出，，求出，最后代入求出即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：、分别是的边和的中点，
是的中位线，
，
，
故答案为：．
根据三角形的中位线定理解答即可．
此题考查三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
 

19.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理．

根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形的面积．

【解答】
解：根据勾股定理可知，

，
，
，
．
正方形的面积
故答案为：．  

20.【答案】 

【解析】解：设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，

．
故答案为：．
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以．
此题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质平行四边形的两组对边分别相等要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
 

21.【答案】解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
；

，
，
，
． 

【解析】根据被开方数大于等于列式求解即可得到的值，再求出的值即可；
把、的值代入代数式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，代数式求值．
 

22.【答案】解：；
，



米
答：树高米； 

【解析】解：设为米，且存在，
即米，米，
故答案为：；
见答案；
已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
点是中点，
，
，
≌，
，
；
解：由可得，，
，
，
，
，
． 

【解析】由题意易得，，进而易证≌，则有，然后问题可求证；
由及题意易得，则，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
 

24.【答案】解：证明：，，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．

平分．
．
，
．
．
．
，
．
在中，． 

【解析】首先判定该四边形为平行四边形，然后得到，从而判定矩形；
求得的长，在直角三角形中利用勾股定理求得的长即可．
本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大．
 

25.【答案】解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，
，
在中，，
解得．
故线段的长为． 

【解析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
本题考查了翻折变换折叠问题，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
 

26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，即，
，
，
． 

【解析】由四边形是正方形，可得，，从而可证≌，有，又，可得，即可得．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知证明≌．
 

27.【答案】解：原式；
；
由可知：
原式

． 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式，分母有理化，属于基础题型．
根据题目给出的分母有理化过程即可求出答案；
根据题目给出的分母有理化过程即可求出答案；
根据题目给出的分母有理化过程化简各项，再合并即可求解．
【解答】
解：见答案；
原式；
故答案为；
见答案．