专题05 二次函数中的线段长度问题-初中数学9年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题05 二次函数中的线段长度问题类型一、单线段长度问题例1．综合与探究如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点． (1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；(2)当平分时，求出点的坐标；(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．            【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求的最小值；(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．     【变式训练2】如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值． 类型二、双线段长度问题例1．已知抛物线(a，b，c为常数，)的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标；(3)若F为抛物线对称轴上的一个定点，①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标；②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．   例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．(1)则点A的坐标为           ，点B的坐标为           ，线段BC的长为           ；(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为            ．  【变式训练1】已知抛物线(b，c为常数)的图象与x轴交于，B两点(点A在点B左侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．      【变式训练2】已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．(1)求a的值；(2)求的最小值．        【变式训练3】如图，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求的最小值．    【变式训练4】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 类型三、周长问题例1．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．     【变式训练1】如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P(m，3)在直线l上，动点Q(m，0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．  【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．