专题03 二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系-2023年初中数学9年级上册同步压轴题（学生版）

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专题03 二次函数图像与系数之间关系类型一、判断图像位置关系例1.如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是(       )A．B．C． D．【答案】A【详解】解： 由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，，，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，抛物线的对称轴为，∴，∴抛物线y=x2+(b-1)x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，故选：A．【变式训练1】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(     )．A． B．C． D．【答案】C【详解】解：观察二次函数的图象得：，∴，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．故选：C【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(       )A．B．C．D．【答案】A【详解】解：函数经过原点(0，0)，则B错误；当a<0时，经过二、四象限，则D错误；当时，b>0， 经过一、二、四象限，则C错误；当a>0，时，b<0， 经过一、三、四象限，则A符合题意．故选：A．【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数与y＝ax＋b的图象不可能是(     )A． B．C． D．【答案】D【详解】解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意； 当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意； 当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴， 故选D.【变式训练4】如图，一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则函数的图像可能是(       ) A．B．C． D．【答案】D【详解】∵一次函数与二次函数的图像相交于，两点，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴函数与轴有两个交点，由题意可知：，，∴，∴函数的对称轴，∴选项D符合条件．故选D．类型二、根据图像判断a，b，c之间关系例1．二次函数的图象如图所示，下列选项错误的是(       )A． B．时，y随x的增大而增大C． D．方程的根是，【答案】C【详解】A.由二次函数的图象开口向上可得a>0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c<0，所以ac<0，正确；B.由a>0，对称轴为x=1，可知x>1时，y随x的增大而增大，正确；C.把x=1代入得，y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误；D.由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程的根是，正确．故选：C．例2．如图，已知抛物线(，，为常数，)经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有(       )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，即，故②错误；∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方，∴c<0，，故①正确；③经过， 又由①得c<0，，，故③正确；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，当时，即 ，即，经过，即经过，故④正确；⑤当时，，当时，，，函数有最小值，，∴，∴，故⑤正确；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确；综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D．【变式训练1】如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；⑤(m为任意实数)．其中正确的结论有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，∴当x=1时，，故结论①正确；根据函数图像可知，当，即，对称轴为，即，根据抛物线开口向上，得，∴，∴，即，故结论②正确；根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：，故结论④错误；当时，，∴当时，，即，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C．【变式训练2】二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是(       )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为，∴，∴，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，②正确；当时，，当时，，∴，∴，③正确；由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，∴当时，，∵，∴，∴，④错误；故选：C．【变式训练3】抛物线()如图所示，下列结论中：①；②；③当时，；④．正确的个数是(       )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x=1．∴．∴．∴．故①符合题意．从图象上可以看出当x=-1时，二次函数的图象在x轴下方．∴当x=-1时，y<0即．故②不符合题意．从图象上可以看出当x=1时，二次函数取得最大值．∴当时，．∴．故③符合题意．从图象上可以看出二次函数图象与x轴有两个交点．∴．∴．故④符合题意．故①③④共3个符合题意．故选：C．【变式训练4】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是(       )①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；②该图象一定过定点(5，1)和(－1，1)；③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④【答案】B【详解】解：二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)，开口向上，且对称轴为x=-=2，①点N(−2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ，∵a>0，∴y随x的增加而增加，∵4<6，∴y1<y2；故①错误；②当y=1时，ax2−4ax−5a+1=1，即x2−4x−5=0，解得：x=5或x=-1，该图象一定过定点(5，1)和(-1，1)；故②正确；③由题意得方程：ax2−4ax−5a+1= x−1，整理得：ax2−(4a+1)x−5a+2=0，16a2+8a+1+20a2-8a=36a2+1>0，直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；故③正确；④当−3≤x≤1时，y随x的增加而减少，∴当x=1时，y有最小值为a，即a−4a−5a+1=a，解得：a=，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B．【变式训练5】抛物线的对称轴是直线．抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③关于x的方程有两个不相等实数根；④若，是抛物线上的两点，则；⑤．正确的个数有(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∴4a-b=0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在(-3，0)和(-4，0)之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1，0)和(0，0)之间，∴x=-1时，y＞0，且b=4a，即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为(-2，3)，∴抛物线与直线y=2有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∴，∵a＜0，∴所以④错误；∵抛物线的顶点坐标为(-2，3)，∴，∴b2+12a=4ac，∵4a-b=0，∴b=4a，∴b2+3b=4ac，∵a＜0，∴b=4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以⑤正确；∴正确的为①③⑤．故选：C【变式训练6】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③方程的两个根是，，④当时，x的取值范围是，其中正确的有(       )A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】C【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，，与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，，∴，，即，故①正确；∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，∴，∴，∴，故②错误；∵抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，∴方程的两个根是，，故③正确；由函数图象可知当时，x的取值范围是，故④正确；故选C．