七年级下册第四章 因式分解4.2 提取公因式习题

 浙教版数学七年级下册 4.2提取公因式

一、单选题（每题3分，共30分）

1．（2022八下·萍乡期末）与的公因式是（　　）

A． B．4mm C．2mm D．

2．（2022八下·泾阳期末）在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（　　） 

A．4ab2 B．4a2b2 C．4a3bc D．4a3b

3．（2022八下·郓城期末）用提取公因式法将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）

A． B． C． D．

4．（）下列各式中，没有公因式的是（　　）

A． 与  B． 与

C． 与  D． 与

5．（2021八上·东平月考）代数式 ， ， 中的公因式是（　　） 

A． B．

C． D．

6．（2022七上·博兴期中）下列添括号正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．（2021八上·拜泉期中）下列从左到右的变形，错误的是（　　） 

A．﹣m+n＝﹣（m+n） B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）

C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3 D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2

8．（2021七上·即墨期中）下列各式中，与代数式a+b﹣c的值相等的足（　　）

A．a﹣（b+c） B．a+（b﹣c） C．（a﹣b）+c D．a+（c﹣b）

9．（2022八上·蓬莱期中）下列因式分解正确的是（　　）

A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=﹣m（n﹣m）（n+1）

B．6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+q﹣1）

C．3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x+2）

D．3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x+y）

10．已知 可因式分解成 ，其中a，b，c均为整数，则 （　　）

A．-12 B．-32 C．38 D．72

二、填空题（每题3分，共27分）

11．（2022八上·淄川期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是　     　．

12．（2022八下·佛山月考）的公因式是　     　．

13．（2022七上·房山期中）把算式放入前面带有“”的括号内：　            　． 

14．（2021七下·乐清期末）添括号：3（a-b）2-a+b=3（a-b）2-（　     　）

15．在横线里填上适当的项．

①a﹣2b﹣c=a﹣（　     　）；

②a﹣2b+c=a﹣（　     　）；

③a+b﹣c=a+（　     　）；

④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（　     　）

16．（2022九上·金华月考）已知a－b=2，ab=1，则a2b－ab2的值为　     　．

三、计算题（共3题，共25分）

17．分解因式.

（1） ；

（2） ；

（3） .

18．用简便方法计算： .

19．（2021八上·任城期中）利用因式分解计算：

（1）22014﹣22013；

（2）（﹣2）101+（﹣2）100．

四、解答题（共4题，共38分）

20．指出下列各组式子的公因式:

（1）5a3,4a2b,12abc;

（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;

（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);

（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).

21．（2021八下·陕州期中）已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，分别求下列代数式的值： 

（1）a2﹣b2；

（2）a2b+ab2.

22．已知：x2+bx+c（b、c为整数）是3（x4+6x2+25）及3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值．

23．（2020八下·皇姑期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（1+x）+x（1+x）2

＝（1+x）[1+x+x（1+x）]

＝（1+x）[（1+x）（1+x）]

＝（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是　           　（填提公因式法或公式法中的一个）；

（2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3＝　         　；

1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝　           　（直接填空）；

（3）运用上述结论求值：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3，其中x＝ ﹣1.  

答案解析部分

1．解：与的公因式是2mn，

故答案为：C．

D

解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x，

∵两项的字母部分a2b3与a3bc都含有字母a和b，其中a的最低次数是3，b的最低次数是1 ，

∴多项式8a2b3﹣4a3bc中各项的公因式为4a3b，

故答案为：D.

根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式.

3．解：．

故答案为：C．

C

A、∵ax-bx=x(a-b)，by-ay=-y(a-b)，∴有公因式(a-b)，不符合题意；

B、∵6xy-8x2y=2xy(-4x-3)，∴有公因式(-4x-3)，不符合题意；

C、 与 ，没有公因式，符合题意；

D、 与 ，有公因式，不符合题意.

故答案为：C.

把每项各式分别分解因式，再观察是否有公因式，即可作答.

5．解：因为5a2b（b−a）＝−5a2b（a−b），−120a3b3（a2−b2）＝−120a3b3（a＋b）（a−b），

所以代数式15a3b3（a−b），5a2b（b−a），−120a3b3（a2−b2）中的公因式是5a2b（b−a）．

故答案为：A．

 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。

6．解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D符合题意；

故答案为：D．

A

解：A. ﹣m+n＝﹣（m-n），符合题意；

B. ﹣a﹣b＝﹣（a+b），不符合题意；

C. （m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3，不符合题意；

D. （y﹣x）2＝（x﹣y）2，不符合题意．

故答案为：A．

利用添括号法则，有理数的乘方计算求解即可。

8．解：A、a-（b+c）=a-b-c，不相等，不符合题意；

B、a+（b-c）=a+b-c，相等，符合题意；

C、（a-b）+c=a-b+c，不相等，不符合题意；

D、a+（c-b）=a-b+c，不相等，不符合题意；

故答案为：B．

根据去括号和添括号的计算方法逐项判断即可。

9．解：A．mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）=m（m﹣n）（n+1）=﹣m（n﹣m）（n+1），故原选项符合题意；

B.6（p+q）2﹣2（p+q）=2（p+q）（3p+3q﹣1），故原选项不符合题意；

C.3（y﹣x）2+2（x﹣y）=（y﹣x）（3y﹣3x﹣2），故原选项不符合题意；

D.3x（x+y）﹣（x+y）2=（x+y）（2x﹣y），故原选项不符合题意．

故答案为：A．

利用提公因式的因式分解的计算方法逐项判断即可。

10．代数式求值；提公因式法因式分解

解：原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），

∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），

∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，

∴c=-8，a=13，b=-17，

∴a+b+c=13-17-8=-12.

 故答案为：A. 

 先将原式利用提公因式法正确因式分解，再由原式可因式分解成（ax+b）（8x+c），进而得8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，再对应关系求得a、b、c的值，即可求解问题.

11．解：的公因式为．

故答案为：．

3ma

解：

∴公因式是3ma，

故答案为：3ma．

解：

故答案为： ．

a-b

解：原式=3（a-b）2-（a-b）.

故答案为：a-b.

2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c

解：①a﹣2b﹣c=a﹣（2b+c）；

②a﹣2b+c=a﹣（2b﹣c）；

③a+b﹣c=a+（b﹣c）；

④a﹣b+c﹣d=（a﹣d）﹣（b﹣c）．

故答案是：2b+c；2b﹣c；b﹣c；b﹣c.

根据添括号法则：括号前面是加号时，被括到括号内的各式不变。括号前面是减号时，被括到括号内加号变减号，减号变加号进行填空即可.

16．解：∵a－b=2，ab=1，

∴a2b－ab2=ab（a-b）=1×2=2.

故答案为：2.

先把原式提公因式变形为ab（a-b），再代入进行计算，即可得出答案.

17．（1）解：原式

（2）解：原式

（3）解：原式

（1）利用提公因式法，提取公因式3mn，将各自剩余项写在括号里即可；

（2）利用提公因式法，提取公因式x-y，将各自剩余项写在括号里，化简整理即可；

（3）利用提公因式法，提取公因式2xm-1yn-1，将各自剩余项写在括号里即可.

18．提公因式法因式分解

先提取公因式2017，进行因式分解，再整理计算即可求值.

19．（1）解：22014﹣22013＝2×22013﹣22013＝（2-1）×22013=22013

（2）解：（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）×（﹣2）100+（﹣2）100＝（-2+1）×（﹣2）100=﹣2100．

（1）利用提公因式法分解因式即可；

（2）利用提公因式法分解因式即可。

20．（1）a

（2）3x2y

（3）a(a+b)

（4）xn-1

此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。

（1）易知公因式为a；

（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。

（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。

（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。

21．（1）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时， 

a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

＝（3+ +3﹣ ）（3+ ﹣3+ ）

＝6×2

＝12

（2）解：当a＝3+ ，b＝3﹣ 时， 

a2b+ab2＝ab（a+b）

＝（3+ ）（3﹣ ）（3+ +3﹣ ）

＝（9﹣2）×6

＝7×6

＝42.

平方差公式及应用；提公因式法因式分解

（1）利用平方差公式可将待求式变形为(a+b)(a-b)，然后代入计算即可；

（2）待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可.

22．解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，

∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）=14（x2﹣2x+5），

∴x2﹣2x+5=x2+bx+c，

∴b=﹣2，c=5．

根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．

23．（1）提公因式法

（2）（1+x）4；（1+x）n+1

（3）解： （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3

＝（1+x）4，

当x＝ ﹣1时，原式＝（1+ ﹣1）4＝（ ）4＝36.

解：（1）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3

＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]

＝（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]

＝（1+x）（1+x）[（1+x）（1+x）]

＝（1+x）4；

（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n

＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n-1]

＝（1+x）n[（1+x）（1+x）n-n]

＝（1+x）n（1+x）

＝（1+x）n+1；

（1）观察阅读材料中的过程，确定出分解因式方法即可；（2）由题意根据题中的方法确定出所求即可；（3）由题意可知原式利用题中的方法化简，把x的值代入计算即可求出值.