物理人教版 (2019)4 机械能守恒定律复习练习题

专题15  机械能守恒定律----绳连接问题

一、单选题

1．一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】小球下落的高度为h = πR - R + R = R

小球下落过程中，根据动能定理有mgh = mv2

综上有v = ，故选A。

2．早期航母上帮助飞机起飞的传动方式设计如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为，轨道上有两个物体和（飞机），它们通过一根绕过定滑轮的不可伸长的轻绳相连。接物体在下面的轨道上以匀速率运动，使物体获得相应的速度。设想在轨道间的绳子与轨道成角的瞬间，绳子段的中点处有一与绳相对静止的小水滴与绳子分离，设绳长远大于滑轮直径，则小水滴脱离绳子后落地瞬间的速度大小为（　　）

A． B．

C． D．条件不足，无法计算

【答案】A

【详解】将B点的速度分解如图所示，则有

，

此时绳子BO段一方面向O点以速度v收缩，另一方面绕O点逆时针转动，其角速度为

于是P点既有沿绳子斜向下的速度v，又有垂直于绳子斜向上的转动的线速度为

P点的速度应为

小水滴P脱离绳子做斜抛运动，运动的过程中机械能守恒，则有

求得，故选A。

3．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，当轻绳刚好被拉紧后，B球的高度为h，A球静止于地面。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦力不变，重力加速度为g，释放B球，当B球刚落地时，A球的速度大小为，则A球与B球的质量比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】B球下落的过程中，由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒

解得，故选B。

4．如图所示，将一表面光滑的半圆柱体固定于水平桌面上，一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连，乙球的质量大于甲球的质量。开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠住圆柱侧面。现静止释放甲球，为使小球甲能恰好通过圆柱的最高点，球可看成质点，则下列说法正确的是（   ）

A．甲球在运动到圆柱顶前两球速度相同

B．乙球下落过程中机械能守恒

C．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端

D．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端

【答案】C

【详解】A．速度是矢量，A错误；

B．乙球下落过程中还受到轻绳的拉力，故机械能不守恒，B错误；

C．假设甲恰好能通过圆柱的顶端，若使甲到达最高点，根据机械能守恒有

且甲恰能通过最高点满足，解得，C正确；

D．当，时，甲在到达最高点之前脱离，甲可以顺利通过最高点，D错误。

故选C。

二、多选题

5．如图所示，一倾角为的光滑斜面与半径为R的光滑圆弧在最高点对接，斜面固定在水平地面上，圆弧最低点与水平地面相切。质量分别为m和M的物块A与B（可视为质点）通过跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳（长为1.5R）连接。初始时轻绳伸直，将物块B由圆弧的最高点静止释放，当物块B到达圆弧最低点时，物块A的速度为，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）

A．物块B到达圆弧最低点时速度大小也为

B．当物块B到达圆弧最低点时，物块A的速度最大

C．轻绳对物块A做的功为

D．物块B经过圆弧最低点时受到的支持力小于

【答案】CD

【详解】A.如图1所示，设物块B滑至圆弧最低点时的速度为，将其分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，其中分速度，由几何关系可得，故A错误；

B.在物块B沿圆弧向下运动时，由于物块B的重力沿轻绳方向的分力越来越小，而物块A、B的质量关系未知，因此物块A有可能先加速后减速，则物块B到达圆弧最低点时，物块A的速度不一定最大，故B错误；

C.轻绳对物块A做的功等于其机械能的增加量，故C正确；

D.对滑至圆弧最低点的物块B进行受力分析如图2所示，由牛顿第二定律可得，解得，故D正确。

故选CD。

6．如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，在轨道边缘处固定一光滑定滑轮(忽略滑轮大小)，一条轻绳跨过定滑轮且两端分别连接小球A、B，小球A在水平拉力F作用下静止于轨道最低点P。现增大拉力F使小球A沿着半圆轨道运动，当小球A经过Q点时速度为v，OQ连线与竖直方向的夹角为30°，则下列说法正确的是(　　)

A．小球A、B的质量之比为∶2

B．小球A经过Q点时，小球B的速度大小为

C．小球A从P运动到Q的过程中，小球A、B组成的系统机械能一定在增加

D．小球A从P运动到Q的过程中，小球B的动能一直增加

【答案】BC

【详解】A．根据题述条件，不能够得出小球A、B的质量之比，A错误；

B．当小球A经过Q点时速度为v，沿轻绳方向的分速度大小为：vcos 60°＝

等于此时B的速度大小，B正确；

C．小球A从P运动到Q的过程中，水平拉力F做正功，小球A、B组成的系统机械能一定增加，C正确；

D．小球A从P运动到Q的过程中，小球B的重力势能一直增加，机械能一直增加，但动能不一定一直增加，D错误。

故选BC。

7．如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（   ）

A．开始下落时，B的加速度等于g

B．物块B的重力势能减小量为mgLtanθ

C．物块A的速度大于物块B的速度

D．物块B的末速度为

【答案】ABD

【详解】A．开始下落时，竖直方向只受重力，B的加速度等于g。故A正确；

B．物块B的重力势能减小量为WG=mgh=mgLtanθ，故B正确；

C．将物块B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，有，易知，物块A的速度小于物块B的速度。故C错误；

D．根据机械能守恒，有，联立，可得，故D正确。

故选ABD。

8．如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m（M>m）的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中 （ ）

A．两滑块组成系统的机械能守恒

B．重力对M做的功等于M动能的增加

C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加

D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功

【答案】CD

【详解】试题分析：由于“粗糙斜面ab”，故两滑块组成系统的机械能不守恒，故A错误；由动能定理得，重力、拉力、摩擦力对M做的总功等于M动能的增加，故B错误；除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化，故C正确；除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化，摩擦力做负功，故造成机械能损失，故D正确

考点：机械能守恒定律，动能定理的应用．

9．如图所示，质量为3.5kg的物体B，其下端连接一固定在水平地面上的轻质弹簧，弹簧的劲度系数k=100N/m。一轻绳一端与物体B连接，另一端绕过两个光滑的轻质小定滑轮O2、O1后与套在光滑直杆顶端的、质量为1.6kg的小球A连接。已知直杆固定，杆长L为0.8m，且与水平面的夹角θ=37°，初始时使小球A静止不动，与A相连的绳子保持水平，此时绳子的张力F为45N。已知AO1=0.5m，图中直线CO1与杆垂直。现将小球A由静止释放（重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，轻绳不可伸长，滑轮O2、O1视为质点），则（　　）

A．小球A与物体B组成的系统机械能守恒

B．绳对A做功的功率与绳对B做功的功率总是大小相等

C．物体B运动到最低点的过程中，轻绳拉力对其做功7J

D．小球A运动到D点时的动能为3.2J

【答案】BD

【详解】A．小球A与物体B组成的系统除了受到重力以外，弹簧弹力对B做功，即其他力所做功不为零，则小球A与物体B组成的系统机械能不守恒，故A错误；

B．设某一时刻A的速率为，B的速率为，A的速度方向与绳子间的夹角为，则有

绳对A做功的功率大小为

绳对B做功的功率大小的，可知绳对A做功的功率与绳对B做功的功率总是大小相等，故B正确；

C．释放小球A前，B处于静止状态，由于绳子的拉力大于B的重力，故弹簧被拉伸，设弹簧伸长量为，则有，解得

当物体A运动到C点时，物块B运动到最低点，此时，物体B下降的高度为

由此可知，弹簧此时被压缩了0.1m，弹簧的弹性势能与初状态相等，且此时物体B的速度为零，则轻绳拉力对其做功为，故C错误；

D．由题可知

则有，

当A到达D点时，弹簧的弹性势能与初状态相等，物体B又回到原位置，在D点对A的速度沿平行于绳和垂直于绳方向进行分解，平行于绳方向的速度等于B的速度，由几何关系得

对于整个过程，由系统机械能守恒定律可得

联立解得

所以小球A运动到D点时的动能为，故D正确。

故选BD。

10．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个质量为的滑块（可看成质点），足够长的轻绳一端系着滑块绕过光滑的轻小定滑轮，另一端吊一个质量为的物块，，小滑轮到竖直杆的距离为d。开始时把滑块锁定在与定滑轮等高的位置A。解锁后，滑块从位置A下落，到位置B时绳子与竖直方向的夹角为。滑块从位置A到位置B的过程，下列说法正确的是（　　）

A．先加速后减速

B．、组成的系统机械能守恒

C．滑块到达B点的速度，与此时的速度的大小关系满足

D．滑块到达B点时，的速度为

【答案】BCD

【详解】A．刚开始在A点时，m1在重力作用下做加速运动，加速度向下，大小为g，而后向下加速，加速度不断减小，考虑这么一种极端情况：当左端绳子和竖直方向角度足够小，即左端绳子处于竖直方向，此时由于，仍会向下加速运动，因此从A到B这个过程中，m1做加速度不断减小的加速运动，故A错误；

B．由于竖直杆对m1不做功，因此m1、m2组成的系统只有重力做功，绳子的拉力属于内力，即m1、m2组成的系统机械能守恒，故B正确；

C．m1到达B点时，根据沿绳方向速度相等可知，两者速度满足，即，故C正确；

D．根据机械能守恒定律

联合C的速度关联公式，解得，故D正确。

故选BCD。

三、解答题

11．如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)重物落地后，小球线速度的大小v；

(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；

(3)重物下落的高度h。

【答案】(1)；(2)；(3)

【详解】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为

(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有

结合(1)可解得杆对球的作用力大小为

(3)设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知

而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有，联立各式解得

12．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。

（1）求C的质量；

（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；

（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。

【答案】（1）；（2）6.5mg；（3）

【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知，解得

（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知，解得

CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知，解得F=6.5mg

（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知

令，对上式求导数可得

当时解得，即

此时

于是有

解得

此时C的最大动能为

13．质量均为m＝1kg的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为θ＝37°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为h＝1m，如图所示。若斜面足够长，B与斜面、细绳与滑轮间的摩擦不计，从静止开始放手让它们运动。（g取10m/s2）求：

(1)物体A着地时的速度大小；

(2)若物体A着地瞬间物体B与细绳之间的连接断开，则从此时刻起物体B又回到斜面的底端所需的时间。

【答案】(1)2m/s；(2)1s

【详解】(1)设物体A着地前瞬间的速度为v，据动能定理mgh－mghsinθ＝（m＋m）v2

解得v＝2m/s

(2)设物体B在斜面上运动的加速度为a，有ma＝mgsinθ

所以a＝6m/s2

方向沿斜面向下设物体B回到斜面底端的速度为vB，由机械能守恒定律有mv＝mghsinθ＋mv2

所以vB＝4m/s

取沿斜面向下的方向为正方向，知v＝-2m/s

则有vB＝v＋at

解得t＝1s

14．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上．用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为M（M＞2m），细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度（B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g）。求：

（1）释放物体C之前弹簧的压缩量；

（2）物体B的最大速度vm。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）释放物体C之前，细线恰好伸直，绳子拉力为零，弹簧处于压缩状态，设弹簧的压缩量为x，物体B受重力与弹簧弹力作用而静止，处于平衡状态，由平衡条件及胡克定律得

解得

（2）当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，弹簧处于伸长状态，设弹簧的伸长量为，对物体A，由平衡条件及胡克定律得

因此物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离为

设斜面倾角为α，当物体B达最大速度时，以三个物体和弹簧作为研究对象，所受合外力为零，由平衡条件得

A、B、C、弹簧组成的系统机械能守恒，因初始状态弹簧的压缩量与物体B达最大速度时弹簧的伸长量相等，所以在整个过程中弹性势能变化量为零，根据机械能守恒定律有

解得

15．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．求A获得最大速度．

【答案】

【详解】C刚离开地面时，对C有：kx2=mg，此时B有最大速度，即aB=aC=0，

对B有：T﹣kx2﹣mg=0，对A有：4mgsinα﹣T=0，

以上方程联立可解得：sinα=，则斜面倾角α=30°；

开始时系统静止，且线上无拉力，对B有：kx1=mg，

解得：x1=x2=，

则从释放至A刚离开地面过程中，弹性势能变化量为零；

此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：

4mg（x1+x2）sinα=mg（x1+x2）+（4m+m）vAm2，

解得：vAm=2g，

【点睛】C球刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，求出斜面的倾角；

A、B、C组成的系统机械能守恒，初始位置弹簧处于压缩状态，当B具有最大速度时，弹簧处于伸长状态，根据受力知，压缩量与伸长量相等．在整个过程中弹性势能变化为零，根据系统机械能守恒求出B的最大速度，A的最大速度与B相等．