数学（陕西卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

2023年中考考前最后一卷【陕西卷】

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1．的相反数是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据相反数的求法求解即可．

【详解】解：任意一个实数a的相反数为-a由 − 的相反数是 ；故选A．

【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．

【详解】

A、与不是同类项，不可合并，此项错误

B、，此项错误

C、，此项错误

D、，此项正确

故选：D．

【点睛】

本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键．

3．如图，在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.

【详解】

解：∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠B=∠ACB=70°，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠B=70°，

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.

4.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．

【详解】

，

，

由折叠可得，

，

又，

，

又，

中，，

，

故选B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．

5．如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（    ）

A．100° B．110° C．125° D．135°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．

【详解】

，

是的角平分线

则在中，

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运用各定理与性质是解题关键．

6.点在函数的图像上，则代数式的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果；

【详解】

把代入函数解析式得：，

化简得到：，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．

7．如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.

【详解】

∵,

∴∠BOC=2∠BDC=40°，

∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，

故选：B.

【点睛】

此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.

8.已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果．

【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，

①当0<m<时，恒成立；

②当时，恒不成立；

③当时，使恒成立，

∴m，∴m，，

④当时，恒不成立；

综上可得：，故选：A．

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

9．分解因式：_________．

【答案】

【解析】

【分析】

原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：

=

=．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是____．

【答案】

【分析】科学记数法就是把绝对值大于1的数表示成的形式，其中n就等于原数的位数减1．

【详解】解：．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，牢记科学记数法的定义并准确求出中的n是做出本题的关键．

11.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．

【答案】875

【分析】

设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．

【详解】

解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．

观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，

∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），

∴a30＝302−30＋5＝875．

故答案是：875．

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．

12.如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 _____．

【答案】4

【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解．

【详解】解：过B作于D，如下图．

∵点B在反比例函数的图象上，

∴设．

∵的面积为6，

∴，

∴．

∵点C是AB的中点，

∴．

∵点C在反比例函数的图象上，

∴，

∴，

∴．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．

13.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．

【答案】6

【解析】

【分析】

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．

【详解】

解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，

过A作于H，则由

为BC的中点，

即的最小值为6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题（本大题共13个小题，共81分）

14．（5分）计算：

【答案】12

【解析】

【分析】

分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．

【详解】

解:原式

．

【点睛】

本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．

15.（5分）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【解析】

【分析】

先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把x的值代入求值．

【详解】

，

当时，原式．

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键．

16.（5分）解不等式组：

【答案】

【分析】

根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．

【详解】

解：，

由，得；

由，得；

∴原不等式组的解集为．

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．

17.（5分）已知：．．

求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，

【答案】见详解．

【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．

【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，

即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：

【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．

18.（5分）如图，，平分∠ABC交于点，点C在上且，连接．求证：四边形是菱形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．

【详解】

证明：∵，

∴∠ADB=∠DBC，

又BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠ABD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴△ABD为等腰三角形，

∴AB=AD，

又已知AB=BC，

∴AD=BC，

又，即ADBC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又AB=AD，

∴四边形ABCD为菱形．

【点睛】

本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．

19.（5分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．

（1）求大、小两种垃圾桶的单价；

（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？

【答案】（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880．

【分析】

（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可．

（2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可．

【详解】

（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，

由题意列方程得，

解得，

答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．

（2）．

答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是分析出题目中的等量关系．

20.（5分）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为．

（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；

（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式求出甲家庭选择到大理旅游的概率；（2）首先利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出答案．

【详解】

（1）∵甲家庭随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游，

∴甲家庭选择到大理旅游的概率为．

（2）根据题意列表如下：

由表可知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙两个家庭选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的同一个城市旅游的结果有3种，所以．

【点睛】

本题考查用列表法或树状图法求概率．需要注意的事项是：在用列表法或树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相同，并且各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏．

21.（6分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．

【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意可知：

AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，

∴AD＝CD，

∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD，

∴≈0.40，

∴CD＝2，

∴AD＝CD＝2，

BD＝7﹣2＝5，

∴AC＝2≈2.83，

BC≈5.41，

∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．

答：新建管道的总长度约为8.2km．

22.（7分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．

（1）求直线l1的解析式；

（2）求四边形PAOC的面积．

【解析】

（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，

∴2×（-1）+4=a，即a=2，

则P的坐标为（-1，2），

设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），

那么，

解得．

∴l1的解析式为：y=-x+1．

（2）∵直线l1与y轴相交于点C，

∴C的坐标为（0，1），

又∵直线l2与x轴相交于点A，

∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，

而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，

∴S四边形PAOC=．

23.（7分）在“停课不停学”期间，某中学要求学生合理安排学习和生活，主动做一些力所能及的家务劳动，并建议同学们加强体育锻炼，坚持做“仰卧起坐”等运动项目．开学后，七年级甲、乙两班班主任想了解学生做“仰卧起坐”的情况，他们分别在各自班中随机抽取了5名女生和5名男生，测试了这些学生一分钟所做“仰卧起坐”的个数，测试结果统计如表：

甲班

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）测得的甲班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的中位数落在哪个组？

（2）求测得的乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数；

（3）请估计这两个班中哪个班的学生“仰卧起坐”做得更好一些？并说明理由．

【解析】解：（1）∵甲班共有10名学生，处于中间位置的是第5，

∴测得的甲班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的中位数落在C组；

（2）乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数是：（22+30×7+35×4+37+41）＝33（个）；

（3）甲班的平均数是：（27×3+32×3+37×4+42×4）＝35.5（个），

乙班的平均数是：（22+30×6+35×4+37+41）＝33（个），

∵35.5＞33，

∴甲班的学生“仰卧起坐”的整体情况更好一些．

24.（8分）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；

（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．

【详解】

（1），

，

，

，

，

，

是直径，

，

，

是的切线；

（2），

，

，

设，则，

，，

在中，，

即，

解得（舍去），

．

【点睛】

本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．

25.（8分）已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；

【答案】（1）；（2）；

【分析】

（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；

（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；

【详解】

解：（1）将点，代入得：，

解得，

则抛物线的解析式为；

（2）由题意得：点的坐标为，

对于二次函数，

当时，，即，

设直线的解析式为，

将点，代入得：，解得，

则直线的解析式为，

，

，，

，

，即，

解得或（与不符，舍去），

故当时，；

【点睛】

本题考查了二次函数与全等三角形的性质、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．

26.（10分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点.

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是            ，位置关系是               ；

（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，.判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，.若正方形的边长为1，求的面积.

图①       图②       图③

【解析】 （1）∵点P、Q分别是BC、BO的中点，因此.又∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，，即，.

（2）判定△PQB的形状，可以从它的边或角入手.因为P是CE的中点，我们可以考虑连接,并延长交BC于点F.易证，，得到，从而得到△是等腰直角三角形，即可判定△PQB是等腰三角形.

（3）将绕点按逆时针方向旋转得到△，利用勾股定理求出.

延长交边于点，连接，.得到四边形是矩形，再证明为等腰直角三角形，即可求出的面积.

【答案】（1），；

（2）的形状是等腰直角三角形.理由如下：连接并延长交于点，

由正方形的性质及旋转可得，∠，

是等腰直角三角形，，.∴，.

又∵点是的中点，∴.∴.∴，.

∴，∴.∴为等腰直角三角形.

∴，.∴也为等腰直角三角形.

又∵点为的中点，∴，且.∴的形状是等腰直角三角形.

答图②

（3）延长交边于点，连接，.

∵四边形是正方形，是对角线，∴.由旋转得，四边形是矩形，

∴，.∴为等腰直角三角形.

∵点是的中点，∴，，.

∴.∴，.

∴.∴.∴为等腰直角三角形.

∵是的中点，∴，.

∵，∴，，∴.

∴.

答图③