数学（上海卷）2023年中考考前最后一卷（参考答案）

2023年中考考前最后一卷【上海卷】

7.答案：1

8.答案：3

9.答案：

10. 且k≠0．

11.

12. 20%．

13.135

14.三

15. ﹣+．

16. ．

17. 20°．

18. 或

19．计算：．

【解答】解：

＝﹣2+2+

＝﹣2+2+5

＝5．

20．解不等式组：．

【解答】解：

解不等式①得：x≥﹣1，

解不等式②得：x＜3．

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．

21．如图，直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB＝2．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y＝上，说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，

∴A（，0），B（0，b），

∴OA＝，OB＝b，

∵AB2＝OA2+OB2，

∴（2）2＝（）2+b2，解得b＝4（负数舍去），

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）由（1）可知OA＝2，OB＝4，

作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，

∵正方形ABCD，

∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠DAF．

在△ADF和△BAO中，

，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴AF＝BO＝4，DF＝AO＝2，

∴点D的坐标为（6，2），

∵6×2＝12，

∴点D在双曲线y＝上．

22．问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°．

乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．

任务要求：

（1）请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图2，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段NG的影长．）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【解答】解：（1）在Rt△DEF中，∠EFD＝53°，DF＝900cm，

∴ED＝DF•tan53°≈900×＝1200（cm）＝12（m），

∴学校旗杆的高度约为12m；

（2）连接OM，

由题意得：

∠NHG＝∠EFD＝53°，

在Rt△NGH中，GH＝156cm，

∴NG＝GH•tan53°≈156×＝208（cm），

∴NH＝＝＝260（cm），

∵KG＝200cm，

∴NK＝NG﹣GK＝8（cm），

设景观灯灯罩的半径为rcm，

∵太阳光线NH与⊙O相切于点M，

∴∠OMN＝90°，

∴∠OMN＝∠NGH＝90°，

∵∠N＝∠N，

∴△NMO∽△NGH，

∴＝，

∴＝，

∴r＝12，

∴景观灯灯罩的半径为12cm．

23．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．

（1）求证：；

（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．

【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，

∴＝，

∵∠ADB＝∠BEC，

∴△DAB∽△EBC，

∴∠DAB＝∠EBC，＝，

∴AD∥EB，

∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，

∴△ADF∽△EBF，

∴＝，

∴；

（2）∵BE2＝BF•BD，

∴＝，

∵∠DBE＝∠EBF，

∴△BFE∽△BED，

∴∠BEF＝∠BDE，

∵∠DAF＝∠AEB，

∴∠DAF＝∠BDE，

∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，

∴△ADF≌△DBE（ASA），

∴DF＝BE．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；

（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得：，

所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．

当x＝0时，y＝﹣3．

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴点D的坐标为（1，﹣4）．

∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），

∴BC＝，DC＝，BD＝．

∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．

∴∠BCD＝90°．

∴tan∠CBD＝．

（3）∵tan∠ACO＝，

∴∠ACO＝∠CBD．

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°．

∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．

即：∠ACB＝∠DBO．

∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．

（i）当时，

∴．

∴BP＝6．

∴P（﹣3，0）．

（ii）当时，

∴．

∴BP＝．

∴P（﹣，0）．

综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．

25．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．

（1）求CE的长；

（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．

①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；

②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．

【解答】解：（1）∵AE∥CD，

∴＝，

∵BC＝DC，

∴BE＝AE，

设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，

∵∠ACB＝90°，

∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，

∴，即；

（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，

∴∠ACQ＝∠P，

又∵AE∥CD，

∴∠ACQ＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠P，

∴△ACE∽△PCA，

∴AC2＝CE•CP，即，

∴；

②设CP＝t，则，

∵∠ACB＝90°，

∴，

∵AE∥CD，

∴，

即＝＝，

∴，

若两圆外切，那么，

此时方程无实数解；

若两圆内切，那么，

∴15t2﹣40t+16＝0，

解之得，

又∵t＞，

∴．