第5章 生活中的轴对称 北师大版数学七年级下册综合素质评价(含答案) 试卷
展开北师大版数学七年级下册第五章 生活中的轴对称 综合素质评价
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下面所给的图形是轴对称图形的是( )
2．【2022·高州校级月考】若等腰三角形中一个角为100°，则它的底角的度数为( )
A．40° B．80° C．40°或80° D．50°
3．如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l成轴对称，且∠A＝45°，∠C′＝35°，则∠B的度数是( )
A．100° B．120° C．45° D．35°
4．【2022·佛山顺德区期中】如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为( )
A．1 B． C．2 D．3
5．【2022·广州南沙区校级月考】某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址( )
A．仅有一处 B．有四处
C．有七处 D．有无数处
6．小明和哥哥并排站在镜子前，小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示，那么哥哥球衣上的号码实际是( )
A．25 B．52
C．55 D．22
7．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为( )
A．65°
B．60°
C．50°
D．45°
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．48° B．36° C．30° D．24°
9．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于( )
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有________条对称轴．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E，F为AD上的两点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是________．
13．【2022·深圳龙岗区】如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数为________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交边BC于点D，如果BD＝2，AC＝7，那么△ADC的面积等于________．
15．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．如图，点A，B在直线l同侧，请你在直线l上找出一点P，使得PA＋PB的值最小，画出图形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE.求∠CDE的度数．
18．【2022·乐清月考】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．【2022·清远清城区校级月考】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，试说明：PM＝PN.
20．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．
21．【2022·高州校级月考】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC交AB于点M，点N.
(1)若AB＝12 cm，求△MCN的周长；
(2)若∠ACB＝118°，求∠MCN的度数．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如图，在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，点O为垂足．
(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？
(2)图中有哪些相等的线段？
(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段，并说明它们的大小关系．
23．在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，BD平分∠ABC.
(1)如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是__________；
(2)问题解决：如图2，试说明：AD＝CD；
(3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，试说明：BD＋AD＝BC.
答案
一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．A 6．A
7．A 8．A
9．B 点拨：因为△DEF是由△DEA沿DE折叠而来的，所以AD＝FD.
因为D是边AB的中点，
所以AD＝BD.
所以BD＝FD.
所以∠B＝∠BFD.
因为∠B＝65°，
所以∠BFD＝65°，
所以∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝180°－65°－65°＝50°.
10．D 点拨：如图，分别作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF周长的最小值．
连接AC.
因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝∠BCD＝50°，
所以∠BAC＋∠DAC＝130°，
即∠DAB＝130°.
所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.
易得∠EAA′＝∠A′，∠FAA″＝∠A″，
所以∠EAA′＋∠FAA″＝50°.
所以∠EAF＝∠DAB－(∠EAA′＋∠FAA″)＝130°－50°＝80°.
二、11．2 12．6 13．90°
14．7 点拨：过点D作DE⊥AC于点E.
因为AD平分∠BAC，
所以DE＝BD＝2.
所以S△ADC＝AC·DE＝×7×2＝7.
15．5
三、16．解：如图所示．
17．解：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以AD平分∠BAC.
所以∠CAD＝∠BAD＝40°.
因为AD＝AE，
所以∠ADE＝(180°－∠CAD)＝70°.
因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°.
所以∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°.
18．解：因为∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
所以∠CAE＝108°－30°＝78°.
由对称性知∠EAF＝∠CAF，
所以∠EAF＝∠CAE＝39°.
四、19．解：因为BD为∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
所以△ABD≌△CBD(ASA)，
所以∠ADB＝∠CDB，
所以DB为∠ADC的平分线．
因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
所以PM＝PN.
20．解：画图如下．(答案不唯一)
21．解：(1)因为DM，EN分别垂直平分AC和BC交AB于点M，点N，所以AM＝CM，BN＝CN.
因为AB＝12 cm，
所以△MCN的周长是CM＋MN＋CN
＝AM＋MN＋BN
＝AB
＝12 cm.
(2)因为∠ACB＝118°，
所以∠A＋∠B＝180°－∠ACB＝62°.
因为DM，EN分别垂直平分AC和BC交AB于点M，点N，
所以AM＝CM，BN＝CN，
所以∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
所以∠ACM＋∠BCN＝∠A＋∠B＝62°.
所以∠MCN＝∠ACB－(∠ACM＋∠BCN)＝118°－62°＝56°.
五、22．解：(1)四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是AC所在直线和BD所在
直线．
(2)相等的线段有：AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD.
(3)如图，分别过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F.
因为AB＝AD，BO＝DO，AO＝AO，
所以△ABO≌△ADO，
所以∠BAO＝∠DAO.
所以AO平分∠BAD.
又因为OE⊥AD，OF⊥AB，
所以OE＝OF.
23．解：(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等
(2)如图1，分别过点D作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC点于F.
因为BD平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥BF，
所以DE＝DF，∠DEA＝∠DFC＝90°.
因为∠BAD＋∠BCD＝α＋180°－α＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，
所以∠EAD＝∠BCD.
在△DEA和△DFC中，
所以△DEA≌△DFC(AAS)，
所以AD＝CD.
(3)如图2，在BC上截取BK＝BD，连接DK.
因为△ABC是等腰三角形，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠C＝40°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBK＝∠ABC＝20°.
因为BD＝BK，
所以∠BKD＝∠BDK＝80°，
所以∠A＋∠BKD＝180°，
由(2)的结论得AD＝DK.
因为∠BKD＝180°－∠DKC＝180°－(180°－∠KDC－∠C)＝∠KDC＋∠C＝80°，
所以∠KDC＝∠C＝40°.
过点K作KE⊥CD于点E，
易证△KDE≌△KCE，
所以DK＝CK，
所以AD＝DK＝CK，
所以BD＋AD＝BK＋CK＝BC.
