2022-2023学年人教版八年级期末复习 勾股定理

2022-2023学年人教版八年级期末复习 勾股定理

一、单选题

1．（2022八下·东川期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（2021·陕西模拟）在 中， ， ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 长为（　　） 

A． B．6 C． D．8

3．（2023八下·永定期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（　　）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米

4．若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为  （　　）

A．13 B．13或 C．13或5 D．15

5．（2019八上·江山期中）下列所给的各组线段，能组成直角三角形的是：(　　)  

A．3cm、4cm、5cm B．2cm、3cm、5cm

C．2cm、3cm、6cm D．3cm、5cm、6cm

6．（2021九上·西安期中）如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为（　　） 

A．6 B．12 C．10 D．20

7．（2023·宁波模拟）如图，在中，，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE、CD。若，，则CD的长为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4.8

8．（2021八下·锦州期末）如图，在 中， ， ， ，点D在边 上， ， ，垂足为点F，交 于点E，则 的长为（　　） 

A．2 B． C． D．

9．（2021·东河模拟）如图，在矩形 中， ，点E是边 上一动点，将 沿直线 对折，点A的落点为 ，当 为直角三角形时，线段 的长为（　　） 

A．3 B．4 C．6或3 D．3或4

10．（2017八下·东营期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（　　）

A．1 B． C．2-  D．2 ﹣2

二、填空题

11．（2022·曹县模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为 　     　．

12．（）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”如图所示，设勾a=6，弦c= 10，则小正方形ABCD的面积是　     　

13．（2023·东昌府模拟）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，…按此规律进行下去，则的直角边的长为　     　．

14．（2020九上·长春期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．将Rt ABC绕点A逆时针旋转得到Rt ，使点C '落在AB边上，连结 ，则 的长度为　     　． 

15．（2020·长沙模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　     　．

三、解答题

16．（2022八下·澄城期中）如图，已知在 中， 边上的高 求 边的长. 

17．（2021八下·新昌期末）如图，在中，，，，，是的中位线.求证：四边形是矩形.

18．（2023八下·永定期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

19．（2017八下·鄂托克旗期末）如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C=90°，求绿地ABCD的面积．

20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？

21．（2018八上·九台期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足 ，试判断△ABC的形状。

四、综合题

22．（2023·温州模拟）如图，在中，于点E，于点F.

（1）求证：.

（2）若，，，求的长.

23．（2020八下·云梦期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB∥OC，A（0，3），B（a，b），C（c，0），且a，c满足 .点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点Q从点O同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达点C时，点P随之停止运动.设运动时间为t（秒）.

（1）B，C两点的坐标为：B　          　，C　          　；  

（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？  

（3）D为线段AB的中点，求当t为何值时，△ADQ是等腰三角形？  

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：由折叠的性质知：，，

在中，，，

由勾股定理可得：．

故答案为：B．

 【分析】先求出EF和BE的长，再利用勾股定理求出BF的长即可。

2．【答案】A

【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：∵ ， ，

∴∠ABC=90°-30°=60°，

∵BD为∠ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD=30°，

∴∠A=∠ABD，

∴BD=AD=8，

∴CD= BD=4，

∴BC= = .

故答案为：A.

【分析】首先根据内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=30°，进而推出∠A=∠ABD，得到BD=AD=8，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系求出CD，然后利用勾股定理进行求解.

3．【答案】C

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：根据题意可得：，

如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为：米，

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理可求出AC的值，然后求出AC+BC的值即可.

4．【答案】B

【知识点】勾股定理

【解析】【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

【解答】当12是斜边时，第三边长=cm；
当12是直角边时，第三边长==13cm．
故第三边的长为：cm或13cm．
故选B．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解

5．【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、32+42=25=52，能构成直角三角形，符合题意；
B、22+32=13≠52=25，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、22+32=13≠62=36，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、32+52=34≠62=36，不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.

【分析】根据勾股定理逆定理，即较小两边的平方和等于最大边的平方，这个三角形就是直角三角形，据此逐项分析即可判断.

6．【答案】C

【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：由折叠和矩形的性质可知， ， ，

又∵ ，

∴ ≌ （AAS），

∴AF=CF，

设BF=x，则AF=CF= ，

在Rt△CBF中，由勾股定理，得：

，

解得： ，

∴；

故答案为：C.

【分析】由折叠和矩形的性质可知：∠D′=∠D=∠B=90°，AD′=CB=4，由对顶角的性质可得∠AFD′=∠CFB，证明△AD′F≌△CBF，得到AF=CF，设BF=x，则AF=CF=8-x，在Rt△CBF中，由勾股定理求出x，然后根据S△AFC=S△ABC-S△FBC进行计算.

7．【答案】C

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴CD=BD=AB，DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8，
，
∴CD=×10=5.
故答案为：C
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得CD=BD=AB，利用三角形的中位线定理可求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长，从而可求出CD的长.

8．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：连接DE，如图，

∵

∴AE垂直平分BD，

∴

在 和 中，

∵

∴

∴

在Rt 中，

∴

设 则

在Rt 中，

∵

∴

解得， ，

故答案为：B．

【分析】证明AE为BD的垂直平分线，从而得到∠ADE=∠ABE=90°，设BE=x，则CE=4-x，在直角三角形CDE中，根据勾股定理求出答案即可。

9．【答案】C

【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠C=90°，AB=6，AD=8

∴

当 为直角三角形时，有两种情况：

①当点 在矩形内部时，如图1所示，

由折叠的性质得， ，

设 ，则 ，

∴

在Rt 中，

∴

解得，x=3

∴AE=3；

②当点 落在边BC上时，如图2所示，

此时四边形 是正方形，

∴AE=AB=6

故答案为：C．

【分析】先利用勾股定理求出BD=10，再分类讨论，结合图形，计算求解即可。

10．【答案】C

【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形

【解析】【解答】解： ∵菱形ABCD中∠B=45°，AE为BC边上的高.

∴由折叠性质可得△ABB′为等腰直角三角形.

 又∵AB=2

∴AB=AB′=2.

∴BB′=2.B′E= BE

∴B′C= BB′-BC=2-2.

同理可得△FCB′为等腰直角三角形.

∴B′C2=B′F2+CF2.

∴B′F=2-.

故选C.

【分析】已知在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，根据勾股定理求得BB′=2   ，再由BC=2可得B′C= BB′-BC=2 -2，根据已知条件易得△FCB′为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得B′F=2- ，故选C.

11．【答案】

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AD＝6，

∴，

AB＝10， AC⊥BC，

在中，

故答案为：

【分析】先利用勾股定理求出AC的长，所以OC=4，再利用勾股定理求出OB的长，即可得到。

12．【答案】4

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】 ∵勾a=6，弦c= 10，
∴股==8，
∴小正方形的边长=8-6=2，
∴小正方形ABCD的面积=22=4.
【分析】利用勾股定理求出股，再求出小正方形的边长，从而求出小正方形的面积.

13．【答案】

【知识点】勾股定理；解直角三角形

【解析】【解答】解：由题意得：

在中，，；

在中，，；

在中，，；

在中，，；

……

在中，，，

当时，，，

故答案为：．

【分析】通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论．

14．【答案】4

【知识点】勾股定理；旋转的性质

【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴ ．

又由旋转的性质知，AC′=AC=6，B′C′=BC=8

∴BC′= AB-AC′=4

∵B′C′⊥AB，

∴在Rt△BB′C′中， ．

故答案为: ．

【分析】利用旋转的性质可得：B'C‘=BC，AC=AC'，再利用勾股定理求解即可。

15．【答案】3或6

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：当 为直角三角形时，有两种情况：

①当点 落在矩形内部时，如答图1所示．

连结 ，

在 中， ， ，

，

沿 折叠，使点 落在点 处，

，

当 为直角三角形时，只能得到 ，

点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，如图，

， ，

，

设 ，则 ， ，

在 中，

，

，

解得 ，

；

②当点 落在 边上时，如答图2所示．

此时 为正方形，

．

综上所述， 的长为3或6．

故答案为：3或6．

【分析】当 为直角三角形时，有两种情况：①当点 落在矩形内部时，如答图1所示．连结 ，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而当 为直角三角形时，只能得到 ，所以点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，则 ， ，可计算出 ，设 ，则 ， ，然后在 中运用勾股定理可计算出 ．②当点 落在 边上时，如答图2所示．此时四边形 为正方形．

16．【答案】解：如图，∵AD⊥BC，

∴BD2=122-82，CD2=102-82，

∴BD= ，CD=6，

∴BC=6+ .

【知识点】勾股定理；线段的计算

【解析】【分析】根据勾股定理可得BD2=122-82，CD2=102-82，求出BD、CD，然后根据BC=BD+CD进行计算.

17．【答案】证明：∵是的中位线，

∴，.

∵，∴.

∴四边形是平行四边形.

∵，，，

∴.

∴是直角三角形，且.

∴四边形是矩形.

【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理

【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF=BC，结合已知可得EF=BD，然后根据一组对边平行且相等的四边形时平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，计算可得AB2+BC2=AC2，根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC是直角三角形，且∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.

18．【答案】解：由题意知，且米，米，

设米，则米，

在中：，

即，

解得，

故树高为米.

答：树高为9米.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】由题意知AD+DB=BC+CA，且CA=12米，BC=6米，设BD=x，则AD=(18-x)，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理可求出x的值，进而可得CD的值.

19．【答案】解：连接BD．如图所示：∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，∴BD= = =25（米）；在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，242+72=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD = AB•AD+ BC•CD= ×24×7+ ×15×20=84+150=234（平方米）；即绿地ABCD的面积为234平方米

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．

20．【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，

根据勾股定理得：x2+( )2=(x+1)2，

解得：x=12（尺），

芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），

答：水池深12尺，芦苇长13尺

【知识点】勾股定理

【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，从而得出答案。

21．【答案】解：a2c2-b2c2-a4+b4=0

c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0

（a2-b2）（c2-a2-b2）=0

a2-b2=0或c2=a2+b2

∴a=b或c2=a2+b2

【知识点】因式分解﹣运用公式法；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；分组分解法因式分解

【解析】【分析】将已知的等式分解因式可得a，b，c之间的关系，即可判断△ABC的形状。

22．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴.

（2）解：在中，

∵，，

∴.   

在中，

∵，，

∴，

∴.

【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAE=∠BCE，根据垂直的概念可得∠CEB=∠AFD=90°，利用AAS证明△ADF≌△CBE，据此可得结论；
（2）根据三角函数的概念可得AF的值，由勾股定理求出CF的值，然后根据AC=AF+CF进行计算.

23．【答案】（1）（10，3）；（14，0）

（2）解：设运动时间为t（秒），由题意可知： 

，

又∵AB∥OC

∴当BP=CQ时，四边形PQCB是平行四边形

此时

解之得

∴当t=4时，四边形PQCB是平行四边形

（3）解：∵D为线段AB的中点 

∴AD=5

分两种情况：①若AD为腰时，如图1：当DA=DQ=5时，△ADQ是等腰三角形

过点D作DE⊥OC

由题意可知D（5，3）

在Rt△DQE中，

∴OQ=5-4=1，即2t=1

∴

如图3：当AQ=AD=5时，△ADQ是等腰三角形

在Rt△AOQ中，OQ= 4，即2t=4

∴

如图4：当DA=DQ时，△ADQ是等腰三角形

过点D作DE⊥OC

在Rt△DQE中，

∴OQ=5+4=9，即2t=9

∴

②若AD为底边，如图2：当QA=QD时，△ADQ是等腰三角形

过点Q作QE⊥AB，

∵AB∥OC，∠AOC=90°，QE⊥AB

∴∠AOC=∠OQE=∠QEA=90°

∴四边形OQEA是矩形

∴OQ=AE=

即 ，

∴

综上：当t为 或2或 或 时，△ADQ是等腰三角形

【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定

【解析】【解答】解：（1）∵ .

∴ ，

解得a=10，

∴c=14，

∵AB∥OC，A（0，3），

∴b=3，

即B（10，3），C（14，0）；

故答案为：（10，3），（14，0）

【分析】（1）根据点的坐标特点和二次根式的性质得出a，b，c的值进而得出答案；（2）由题意得： ， ，根据平行四边形的判定可得 再解方程即可；（3）分别以AD为腰或AD为底边时情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论