2023年陕西省西安市雁塔区高新二中中考数学三模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区高新二中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，▱的对角线和相交于点，下列说法正确的是(    )

A. 若，则▱是菱形
B. 若，则▱是菱形
C. 若，则▱是菱形
D. 若，则▱是菱形

5.  如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知一次函数的图象沿轴翻折后经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知三角形为直角三角形，，为圆切线，为切点，，则和面积之比为(    )
 

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8.  在平面直角坐标系中，抛物线的顶点一定不在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  因式分解：______．

10.  如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数为          度．
 

11.  由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形阴影部分则图中的长应是______ ．

12.  已知，两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则的值是______．

13.  如图，在等腰三角形中，已知，，若的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
已知，如图所示，，求作边上的高保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
四边形中，，，于点，求证：．

19.  本小题分
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共其中桥梁长度比隧道长度的倍少求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．

20.  本小题分
在一个不透明的纸箱里装有标号分别为，，的乒乓球除标号数字外完全相同，将纸箱内的乒乓球充分摇匀后，从中随机摸出一个乒乓球，记下标号后放回并摇匀，将此过程记为一次随机摸球．
若某人进行次随机摸球，标号为“”的乒乓球出现了次，则他这次随机摸球中摸出标号为“”的乒乓球的频率为______ ；
小米和小蓝用这三个乒乓球做摸球游戏，小米先进行一次随机摸球，再由小蓝进行一次随机摸球，若两人摸出的乒乓球标号同为奇数或同为偶数，则小米获胜；否则小蓝获胜请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏是否公平，并说明理由．

21.  本小题分
小玲和小亮很想知道法门寺合十舍利塔的高度，于是，他们带着测量工具来到合十舍利塔进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，小玲沿的延长线继续后退到点，用测倾器测得舍利塔的顶端的仰角为，此时，测得米，测量器的高度米已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于求合十舍利塔的高度．
 

22.  本小题分
A、两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，暑假期间两家超市进行促销活动，促销方式如下：
超市：所有商品按照原价打折；
超市：一次购物不超过元的按原价，超过元后超过部分的价格打折．
设商品原价为元，购物金额为元，分别就两家超市的促销方式写出关于的函数表达式；
促销期间，若小刚一次购物的商品原价为元，他去哪家超市购物更省钱？说明理由．

23.  本小题分
为了了解落实国家“双减”政策情况，某学校随机调查了部分学生在家完成作业的时间，按时间长短划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：

根据以上信息，解答以下问题：
表中的 ______ ，扇形统计图中 ______ ， ______ ．
被调查学生完成作业时长的中位数落在______ 等级．
若该校有名学生，请估计全校在家完成作业时间为小时及以下的学生有多少人？

24.  本小题分
如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连接已知．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

25.  本小题分
已知抛物线：经过点，点抛物线与关于轴对称，点在上的对应点为．
求抛物线的表达式；
抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题提出
如图，为正方形内一点，连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接若，，当线段取最大值时，求的度数和正方形的面积；
问题解决
如图，是某小区内设计的居民活动中心示意图，已知是正方形的中心，是正方形外一点，连接，且按照设计要求，四边形内部为成人活动室，阴影部分是儿童游乐场，设的长为，阴影部分的面积为
求与之间的函数关系式；
按设计要求，儿童游乐场阴影部分的面积为，求的长为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的意义，即可求解．
本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，的绝对值是，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：为的外角，且，，
，即，
，
，
．
故选：．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．
本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
▱是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，，
，
，
▱是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
▱是菱形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，，
，
，
，
，
故选项B、C正确；
，
，故选项D正确；
故选：．
根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；从而可得到答案．
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，得点关于轴对称的点的坐标是，
将其代入一次函数，得．
解得．
故选：．
首先求得点关于轴对称的点的坐标，然后将其代入直线方程求得的值即可．
考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象，利用对称的性质求得点关于轴对称的点的坐标是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质，等腰三角形以及相似三角形的性质，连接切线，以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
根据切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质进行计算即可．
【解答】
解：如图，连接，过点作于，
是的切线，为半径，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
当时，，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；
当时，，此时顶点在第二象限，故选项B不符合题意；
当时，，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；
当时，，故顶点不可能在第四象限，故选项D符合题意；
故选：．
先将抛物线解析式化为顶点式，然后可以写出顶点坐标，然后利用分类讨论的方法可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
求出正六边形的中心角和正五边形的中心角，即可得出的度数．
本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．
【解答】
解：如图，连接，

正六边形的中心角为，
正五边形的中心角为，
．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是求出的长，属于中考常考题型．
根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．
【解答】
解：地毯面积被平均分成了份，
每一份的边长为，
，

在中，根据勾股定理可得，
又根据剪裁可知，
．  

12.【答案】 

【解析】解：设点的坐标，点的坐标为，
点与点关于轴对称，
，
解得，
故答案为：．
根据题意，设出点和点的坐标，再根据点与点关于轴对称，即可求得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于轴、轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，于点，连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
切于点，，
，
，
，
当的值最小时，的值最小，
当点与点重合时，的值最小，此时，
最小，
故答案为：．
作于点，于点，连接、，先由，得，再根据勾股定理求得，由求得，由可知，当的值最小时，的值最小，所以当点与点重合时，的值最小，根据勾股定理求出此时的值即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式


． 

【解析】先利用负整数指数幂的意义、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法．
本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】利用基本作图，过点作的垂线即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为．
由题意列方程组得：．
解得：
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为和． 

【解析】设港珠澳大桥隧道长度为，桥梁长度为由桥梁和隧道全长共，得桥梁长度比隧道长度的倍少，得，然后列出方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

20.【答案】 

【解析】解：他这次随机摸球中摸出标号为“”的乒乓球的频率为；
故答案为：；

列表如下：

共有种等可能的情况，其中两人摸出的乒乓球标号同为奇数或同为偶数有种，
则小米获胜的概率是，小蓝获胜的概率是，
，
这个游戏是不公平的．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，根据概率公式求出小米获胜和小蓝获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确列出所有可能是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，设于点，
根据题意可知：米，米，米，，，

，
设米，
米，米，
根据题意可知：，，
∽，
，
，
，
米，
米
答：合十舍利塔的高度为米． 

【解析】根据题意可得米，米，米，，，米，证明∽，对应边成比例求出的值，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

22.【答案】根据题意得，，，
，．
甲超市更省钱，理由如下，
，
，
．
，
故甲超市更省钱． 

【解析】根据题意列出函数关系式即可求解；
将，代入中解析式，继而比较即可求解．
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：调查的学生人数为人，
，
，
，
故答案为：，，；
被调查学生完成作业时长的中位数落在等级．
故答案为：；
人．
答：估计全校在家完成作业时间为小时及以下的学生有人．
根据等级的人数和百分比求出总人数，可得的值，再根据百分比的定义求出，的值；
根据中位数的定义，可得结论；
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查扇形统计图，频率分布表等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
在中，，
，
，
则为圆的切线；
，，
，
在中，，
，
，
，
为圆的切线；
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为，即可证是的切线；
根据切线长定理可求，即可得的半径．
本题考查了切线的性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，点，
，
解得：．
抛物线的表达式为；
抛物线的对称轴上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，
抛物线与关于轴对称，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
点与点关于轴对称，
．
设直线的解析式为直线，
，
解得：，
直线的解析式为直线．
是以为直角边的直角三角形，
或，
当时，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
；
当时，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
．
综上，抛物线的对称轴上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法解答即可；
利用关于轴对称的点的坐标的特征求得抛物线的表达式和对称轴以及点是坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，利用互相垂直的两直线的性质分别求得直线与的解析式，令，求得对应的值即可求得点坐标．
本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，直角三角形的性质，互相垂直的两直线的性质，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图中，

由旋转的性质可知，，，，
是等边三角形，
，
，
，，共线时，的值最大，此时．
如图中，过点作交的延长线于点．

在中，，，，
，，
，
正方形的面积为．

如图中，过点作交的延长线于点，于点．

四边形是正方形，是中心，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；

当时，，
解得，
当儿童游乐场阴影部分的面积为，的长为． 

【解析】判断出，，共线时，的值最大，此时如图中，过点作交的延长线于点解直角三角形求出的值即可；
图中，过点作交的延长线于点，于点由四边形是正方形，是中心，推出，，，证明≌，推出，证明≌，推出，，四边形是正方形，再利用勾股定理即可解决问题；
利用中共线时，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．