2023年陕西省西安市雁塔区高新二中中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市雁塔区高新二中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，，点，，在同一直线上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在矩形中，对角线，交于点，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的平分线，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，为的直径，点、、在上，且，，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线过点，，当时，与其对应的函数值，下列结论：


当时，随的增大而增大
关于的方程两根满足
其中，正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  计算：______．

10.  已知有理数、在数轴上表示如图，比较与大小为 ______ ．

11.  我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图如图图是小明同学根据弦图思路设计图案在正方形中，以点为圆心，为半径作弧，再以为直径作半圆交弧于点连结并延长至点，使得，过作于点，延长交于点若，则四边形的面积为______ ．
 

12.  如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，若，则的值为______ ．

13.  如图，正方形边长为，为对角线上的一个动点，过作的垂线并截取，连结，周长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

14.  解方程：．

四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解不等式组：并求此不等式组的整数解．

17.  本小题分
如图，点是内的一点，请用尺规作图法，在内做一条弦，使得点为弦的中点不写作法，保留作图痕迹

18.  本小题分
如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，，求证：．

19.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，，，．
请在图中画出，使它和关于原点对称，点，，的对应点分别为，，；
直接写出点，，的坐标．

20.  本小题分
脱贫攻坚，让贫困群众更有幸福感，在党和政府的帮扶下，小刚家的网络商店简称网店将顾县豆腐干，莲桥米粉等优质土特产迅速销往全国，小刚家网店中顾县豆腐干和莲桥米粉这两种商品的相关信息如下表：

已知今年前五个月，小刚家网店销售上表中规格的顾县豆腐干和连桥米粉共，获得利润万元，求这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干和莲桥米粉各多少袋．

21.  本小题分
甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的张卡片上分别标上数字、、、，将这张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
甲随机抽取卡片次，其中次抽取标有数字的卡片，求这次中抽取标有数字的卡片的频率；
甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

22.  本小题分
国家“十四五规划”减少化石能源的消耗，减少碳排放作为今后的重要任务之一，各地响应国家号召都在大力发展风电．某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量．如图风电机组主要由塔杆和叶片组成，图是由图画出的平面图．假设站在处测得塔杆顶端的仰角是，沿方向水平前进米到达坡底处，在山顶处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端、、在同一直线上的仰角是，已知叶片的长度为米塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，坡高为米，，，求塔杆的长．参考数据：，，，

23.  本小题分
某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的初赛成绩初赛成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；写出一条理由即可
若该校八年级有名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．

24.  本小题分
如图，为的直径，点在上，过点作切线交的延长线于点，过点作交切线于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
在平面直角坐标系内，点为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点，抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线．
求抛物线的表达式；
是否在抛物线上存在点，在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
发现
如图，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数______ 填“变”或“不变”；若，则 ______ 爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？

研究
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究，如图，若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上请根据小明的思路在图中完成作图要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色水笔加黑加粗后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
应用
如图，，平面内一点满足，则面积的最大值为______ ．
如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心．
______ ；
连接，若正方形的边长为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
点，，在同一直线上，
，
．
故选：．
利用，，进而求出的度数，利用平角的定义可知，即可求出的度数．
本题考查了角的概念，做题关键是要掌握平角的定义
 

3.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
首先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法即可．
题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握计算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
有一组邻边相等的矩形是正方形，
对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
不等式的解集是，
故选：．
根据函数图象可以发现当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的上方，从而可以写出不等式的解集．
本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，，
，
是的平分线，
，，
，
故选：．
由勾股定理求出，，，得出，由等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理可求出答案．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握常见辅助线的添法是解题的关键．
连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而可求出的度数，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出即可．
【解答】
解：如图，连接，．

，
．
，
．
．
．
，
．
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：抛物线过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值，
，
，解得：，
，
，
故正确；
，，
，
由得：
，

故正确；
由得：，，
，
对称轴是，
由得：，
，
，
，
由得：，
抛物线的图象开口向上，
抛物线的对称轴，
当时，随的增大而增大；
故正确；
关于的方程，
，，
由得：，，
，
故正确；
故选：．
抛物线过点，，表示出，，当时，与其对应的函数值，表示出，从而判断；，根据，即可求出；表示出对称轴，判断，即可求出当时，随的增大而增大；利用公式法表示出，，两者相减即可判断．
本题考查二次函数系数的取值范围，对称轴，一元二次方程的解，解题的关键是表示出，，之间的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接合并同类二次根式即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
 

10.【答案】 

【解析】解：由数轴上、两点的位置可知，，，，
则．
故答案为：．
根据距离的定义可直接比较出及的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
本题考查的是有理数的大小比较，根据数轴上、两点的位置确定出是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：以为直径作半圆交弧于点，
，
，
，，
≌，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
同理可证≌，
，，
，，
四边形是正方形，
以点为圆心，为半径作弧，，
，
设，则，，
，
，
，
解得，
四边形的面积为，
故答案为：．
证明≌可得，，再证≌得，，≌有，，故DE，，由垂径定理得，设，用勾股定理列方程求出的值，从而可得答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是证明，．
 

12.【答案】 

【解析】解：轴，
轴，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
由反比例函数系数的几何意义得到，进而得到，根据反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过作交于，连结、，

，，
，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
当时，取得最小值此时，
周长的最小值，
故答案为：．
过作交于，连结、，证四边形为矩形，得，据此知，再求出，当时，取得最小值，此时，从而得出答案．
本题主要考查轴对称最短路线问题及矩形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
 

14.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
则原方程的解是． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

15.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得；
解不等式得；
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的整数解为：，，，，． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出的整数解即可．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

17.【答案】解：如图，线段即为所求．
 

【解析】作射线，过点作交于点，，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理等知识，解题关键是学会利用垂径定理解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质可知，结合条件可证明≌，故可得出．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
 

19.【答案】解：如图，就是所要求画的三角形；

，，． 

【解析】利用关于原点对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点即可得到．
本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

20.【答案】解：设这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干袋，莲桥米粉袋，
根据题意得：，
解得：．
答：这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干袋，莲桥米粉袋． 

【解析】设这前五个月小刚家网店销售这种规格的顾县豆腐干袋，莲桥米粉袋，根据“今年前五个月，小刚家网店销售上表中规格的顾县豆腐干和连桥米粉共，获得利润万元即元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

21.【答案】解：共有张卡片，分别标由数字、、、，
这次中抽取标有数字的卡片的频率是；

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中取出的两张卡片数字之和为的倍数的有种，取出的两张卡片数字之和不为的倍数的有种，
则取出的两张卡片数字之和为的倍数的概率是，取出的两张卡片数字之和不为的倍数的概率是，
，
这个游戏规则对双方是不公平． 

【解析】直接利用频率计算公式求解即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求出各自获胜的概率，最后进行比较即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：过点作于点．

设米，则米，
，，
四边形是矩形，
米，
米，
米，
米，
，
，
答：塔杆的长为米． 

【解析】过点作于点根据，解方程即可．
本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】     

【解析】解：七年级的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
中位数．
根据条形统计图可知八年级成绩的众数为．
八年级的优秀率是，
故答案为：，，；
根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、．
故七年级的学生初赛成绩更好．
人，
答：估计八年级进入复赛的学生为人．
根据中位数定义、众数的定义即可求出、的值；
根据优秀率进行评价即可；
用乘以满分的百分比即可求解．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
 

24.【答案】证明：连接，如图所示：
为的直径，
．
是的切线，
，
，
，是的半径，
，
，
，
，
；
解：在中，，，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，为中点，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质与圆周角定理易证，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，即可得出结论；
先求出，，，证明∽，得出，求出，由三角形中位线定理得出，即可得出结果．
本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的性质、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可设抛物线的表达式为，
将点代入得，解得，
则抛物线的表达式为，
把抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，此时得到的点的坐标为，
则抛物线的表达式为，
故抛物线的表达式为；
如图，以点、、、为顶点的平行四边形以为边，

，且，
，且轴，
设点，则点，
，
当时，解得，
，此时点；
当时，解得，
，此时点；
综上所述，点的坐标为或 

【解析】 根据顶点坐标可得抛物线的顶点式，再将点的坐标代入即可得；
根据平移的性质可得出点平移后的坐标，从而可得出抛物线的表达式；再根据平行四边形的性质可得，再根据点和点的纵坐标，求出的值，从而可得一个关于的绝对值等式，求解即可．
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象与性质、图象的平移、平行四边形的性质等知识点，较难的是题，利用平行四边形的性质得出是解题关键．
 

26.【答案】不变       

【解析】解：【发现】根据圆周角性质，的度数不变，
，
，
故答案为：不变，；

【研究】补全图形如图所示，


【应用】如图，

记的外接圆的圆心为，连接，，
，
，
，
，
过点作于，
，
在中，设的半径为，则，
根据勾股定理得，，
舍去负数，
，，
点到的最大距离为，
，
故答案为：；

，
，
，
点是的内心，
，分别是和的角平分线，
，，
；
在和中，
，
≌．
，
故答案为：，；

如图，
作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点，连接，，
则四边形是的圆内接四边形，
，
，
，
连接，与相交于点此时，是的最小值，
过点作于，，交的延长线于，
则四边形是正方形，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
【发现】根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出；
【研究】先作出的垂直平分线，再以垂足为圆心，的一半为半径确定出圆心，即可得出结论；
【应用】先确定出的外接圆的半径，再判断出点到的最大距离为，即可得出结论；
先确定出，再判断出，，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
先作出的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出最小时，点的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是解本题的关键．