解密13 直线与圆的方程（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密13  直线与圆的方程

考点一  直线方程

题组一  直线的倾斜角与斜率

例题1  已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则

A． B．

C．− D．

【答案】A

【解析】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，

∴.

故选A．

例题2  已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，.

故选A．

例题3  若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C．

题组二  直线的方程

例题3  数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．

∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．

故选D．

例题4  若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为

A．1 B．4

C．2 D．8

【答案】B

【解析】因为直线过点，所以因为直线在轴的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴、轴上的截距之和的最小值为，所以当时取最小值，最小值为，故选B．

☆技巧点拨☆

1．解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.

2．求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况.

考点二  直线的位置关系

题组一  垂直与平行的判定

例题1  已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为

A．─2     B．─3

C．─4     D．─5

【答案】D

【解析】∵，∴，故选D．

例题2  过点且与直线垂直的直线方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设要求的直线方程为，把点（2，1）代入可得4+3+m=0，解得m=-7．

可得要求的直线方程为.

故选B．

例题3  是直线与直线平行的

A．充分而不必要 B．必要而不充分

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】当m=4时，两直线方程分别为：4x+8y+3=0，2x+4y+3=0，满足直线平行；

当m=0时，直线方程分别为：，，两直线不平行；

当3m-4=0，即时，直线方程分别为，2x+y+3=0，两直线不平行；

由直线与直线平行，可知两直线斜率相等，

即，解得m=2或m=4；

当m=2时，两直线重合，故“”是“直线与直线平行”的充要条件．

故选C．

例题4  已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为

A．1     B．2

C．     D．

【答案】B

【解析】由题知，b＞0，且两条直线的斜率存在，因为直线与直线互相垂直，所以，≥2，当且仅当b=1时取等号.

故选B.

☆技巧点拨☆

由两直线平行或垂直求参数的值

在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.

例题5  当点到直线的距离最大时，的值为

A．     B．0

C．     D．1

【答案】C

【解析】直线过定点Q(2，1)，所以点到直线的距离最大时，PQ垂直该直线，即，故选C．

例题6  若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为

A．3    B．2 

C．3    D．4

【答案】A

【解析】依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，

则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，

设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，

根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，

根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.

考点三  圆的方程

题组一  直接求圆的方程

例题1  一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，

将，，三点代入，得，

解得，．

∴圆的标准方程为．

故选D．

【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程.

题组二  利用圆的几何性质求圆的方程

例题2 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是

A．     B．

C．     D．

【答案】C

【解析】圆的圆心坐标为，半径为，

过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，

又圆心到直线的距离为，

则所求圆的半径为，

设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，

则，且，解得（不符合题意，舍去 ），

故所求圆的方程为．

故选C．

例题3  在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________．

【答案】

【解析】根据题意，圆经过点，则圆心在线段AB的垂直平分线上，

又由点，则线段AB的垂直平分线方程为，

则有，解得，即圆心为，

圆的半径，

故圆的方程为．

☆技巧点拨☆

求圆的方程的两种方法

1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：

（1）圆的标准方程：当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2=r2．

（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．

考点四  直线与圆的位置关系

☆技巧点拨☆

1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．

2．圆关于点对称：

（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．

3．圆关于直线对称：

（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

题组一  与圆有关的对称问题

例题1  若圆C：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为______．

【答案】4

【解析】因为圆=关于直线=对称，所以圆心在直线=上，所以，即，

又圆的半径为，

当点(a,b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，

又点(a,b)与圆心的距离为=，

所以切线长的最小值为=.

故答案为4.

题组二  圆与圆的位置关系

例题1．已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆，化为，则圆心，

两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，

因为圆平分圆的圆周，所以圆心在相交弦上，

所以，解得或（舍去），故选：A

例题2 ．已知圆（）的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（       ）

A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

【答案】B

【解析】：因为圆（）的面积被直线平分，

所以圆的圆心在直线上，所以，解得，

所以圆的圆心为，半径为1，因为圆的圆心为，半径为5，

所以，所以圆与圆的位置关系是相交，故选：B.

例题3．设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】圆的圆心为原点，半径，依题意，圆的圆心在圆内，设半径为，如图，

因圆与圆内切，则，即，而点在线段AB上，

过O作于P，则，显然，当且仅当点与点P重合时取“=”，

于是得，

考点五  直线与圆的位置关系综合应用

☆技巧点拨☆

解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法

（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

例题1．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.

例题2 ．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ）

A．或2 B．或4 C． D．

【答案】A

【分析】：的圆心，半径，

因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.

例题3．已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.故选：C.

例题4 ．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可得，

则即，所以圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

因为圆上有且只有两个点到直线的距离等于，

所以，即，解得：，

所以实数的取值范围是，故选：A.

例题5．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【分析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.

例题6．已知点在圆上，点、，则（    ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

【答案】ACD

【分析】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

例题7．已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（    ）

A．的取值范围是 B．直线是圆在点处的切线

C．直线与圆相交 D．直线与圆相切

【答案】ABD

【分析】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为2，

观察图象可得，所以的取值范围是，A对，

∵，∴ 点在直线上，

又到直线的距离，又圆的半径为1，

∴直线是圆在点处的切线，B对，∵ 点在圆上，  ∴，

∴  到直线的距离，又圆的半径为2，

∴直线与圆相离，C错，圆的圆心为，半径为，

点到直线的距离，

∴直线与圆相切，D对，故选：ABD.

例题8．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），直线的参数方程（t为参数），且直线的倾斜角为.

（1）写出圆C和直线的普通方程，并证明直线与圆C相交；

（2）设点，直线与圆C交于A，B两点，求的值.

【答案】

（1）；；证明见解析；（2）.

【分析】（1）由，得，所以，

所以圆C的普通方程为；

由，得，

又因为直线的倾斜角为，所以，所以，即，

所以直线的普通方程为.

因为圆C的圆心到直线的距离为,

所以直线与圆C相交.

（2）由题意知直线的参数方程（t为参数），

代入圆C的方程，得，

易知，设A，B两点对应的参数为，则，，

所以的值均为负，所以.