高中数学高考解密13 函数图像及性质（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练

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核心考点一 函数及其表示
1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.
(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.
2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.
1．【2016新课标2文10】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
2．【2020北京】函数的定义域是___________．
【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果．由题意得，．故答案为
3．【2017新课标3文16理15】设函数，则满足的的取值范围是_________．
【解析】①时，，得，所以；
②时，恒成立，所以；
③时，恒成立，所以．
综上所述，的取值范围是．
1.函数f(x)＝eq \r(1－4x2)＋ln(3x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
【解析】要使函数f(x)＝eq \r(1－4x2)＋ln(3x－1)有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－4x2≥0，,3x－1＞0，))解得eq \f(1,3)＜x≤eq \f(1,2).
∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).故选B.
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝eq \f(1,2)×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2}
【解析】令t＝2x，t∈(1，4)，则f(t)＝eq \f(1,2)t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－eq \f(1,2)≤f(t)＜eq \f(3,2)，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.故选B.
3.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x＞0，,ax＋1，x≤0，))若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为( )
A.[－2，1] B.[－3，3]
C.[－2，2] D.[－2，3]
【解析】∵f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x＞0，,ax＋1，x≤0，))f(－1)＝3，
∴f(－1)＝a－1＋1＝3，则a＝eq \f(1,2)，故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x＞0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋1，x≤0，))
由f(x)≤5，∴当x＞0时，2x－1≤5，解得0＜x≤3，
当x≤0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋1≤5，－2≤x≤0.
综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].故选D.
核心考点二 函数的图象及应用
函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性：
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
1．【2019全国Ⅰ文理】函数在的图像大致为( )
A．B．
C．D．
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，，可知应为D选项中的图象．故选D．
2．【2018新课标3文7】下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是( )
A．B．C．D．
【解析】解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．
解法二：由题意知，对称轴上的点即在函数的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B．
3．【2020北京】已知函数，则不等式的解集是( )
A．B．
C．D．
【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或．所以不等式的解集为．故选D．
1．【2019新课标3理7】函数在的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
2.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4，))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1] B.[1，4]
C.[4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.
3．【2016新课标2理12】已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( )
（A）0 （B） （C） （D）
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C．
核心考点三 函数的性质及应用
函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x).
②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数.
②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x＋a)＝－f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或f（x＋a）＝\f(1,f（x）)))，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.
1．【2020新课标2理9】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【解析】的定义域为，关于坐标原点对称，
又，为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知在上单调递减，D正确．故选D．
2．【2020新高考全国8】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或，
解得或，所以的取值范围是，故选D．
3．【2020新课标1理12】若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则为增函数，因为，
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有，排除C，
当时，，此时，有，排除D．故选B．
4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x＜0时，f(x)＝2x－1，则f(lg220)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.－eq \f(1,5) D.－eq \f(1,4)
【解析】依题知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.
又2＜lg25＜3，则－1＜2－lg25＜0，所以f(lg220)＝f(2＋lg25)＝f(lg25－2)＝－f(2－lg25)
＝－(22－lg25－1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)－1))＝eq \f(1,5).故选B
1．【2017新课标1理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A．B． C． D．
【解析】因为为奇函数，所以，于是等价于，又在单调递减，所以，所以．故选D．
2．【2018新课标2文12理11】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )．
A． B．0 C．2 D．50
【解析】解法一 ∵是定义域为的奇函数，．
且．∵，∴，
∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，，
，
∴，
故选C．
解法二 由题意可设，作出的部分图象如图所示．
由图可知，的一个周期为4，所以，
所以，故选C．
3．【2020新课标2文11理12】若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】方法1（同构函数）：由得，令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．故选A．
方法2（特值排除法）：取，，满足，但，故排除B，，故排除C，D，终上所述，选A。
4.【多选题】已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，
f(x)＝lg2(x＋1)，下列命题正确的是( )
A.f(2 019)＋f(－2 020)＝0
B.函数f(x)在定义域上是周期为2的函数
C.直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点
D.函数f(x)的值域为(－1，1)
【解析】根据题意，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝lg2(x＋1)，又由f(x)为奇函数，则f(x)的部分图象如图.对于A，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x).当x∈[0，1)时，f(x)＝lg2(x＋1)，则f(0)＝lg21＝0，f(1)＝－f(0)＝0，
又f(2 019)＝f(1)＝0，f(2 020)＝f(0)＝0，f(x)为奇函数，所以f(－2 020)＝－f(2 020)＝0，故f(2 019)＋f(－2 020)＝0，故A正确；对于B，由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝－lg2eq \f(4,3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝－lg2eq \f(5,3)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))，即周期不是2，B错误；对于C，如图，直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点，其坐标为(0，0)，C错误；对于D，函数f(x)的值域为(－1，1)，D正确.故选AD.核心考点
读高考设问知考法
命题解读
函数及其表示
【2016新课标2文10】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；
2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；
3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
【2020北京】函数的定义域是___________．
【2017新课标3文16理15】设函数，则满足的的取值范围是_________．
函数的图象及应用
【2019全国Ⅰ】函数在的图像大致为( )
【2019新课标3理7】在的图像大致为( )
【2018新课标3文7】下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是( )
【2020北京】已知，则的解集是( )
函数的性质与应用
【2020新课标2理9】设，则（ ）
【2020新高考全国8】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
【2017新课标1理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
【2018新课标2文12理11】已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )．
【2020新课标1理12】若，则（ ）
【2020新课标2文11理12】若，则（ ）