高中数学高考解密04 函数的应用（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练(1)

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考点一 函数的零点
题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断
调研1 设是方程的解,且),则__________.
【答案】99
【解析】令,则函数在定义域上单调递减,则,因为,所以函数的零点在内,即.
☆技巧点拨☆
确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定.
题组二 函数零点个数的判断
调研2 函数的零点个数为
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】函数的零点个数也就是方程的解的个数.
当时，，而不可能有交点.而不能为0，当时，对取倒数，也就是求函数图象的交点个数.当和时，两个函数相等，结合两个函数图象（如下图），可知只能有2个交点.故原函数有2个零点，故选C.
☆技巧点拨☆
函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
题组三 函数零点的应用问题
调研3 函数，关于的方程有4个不相等实根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意画出函数的图象，如图.
令，原问题等价于关于的方程有两个根，每个值对应两个x值，故有两种情况：
；.
当属于情况①时，将代入得到，
此时方程的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；
当属于情况②时，
【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
☆技巧点拨☆
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
考点二 函数模型及其应用
题组一 二次函数模型的应用
调研1 如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1），；（2）时，.
【解析】（1）设平行于墙的边长为，则篱笆总长，即，
∴场地面积，.
（2），，
∴当且仅当时，.
综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为.
题组二 指数函数、对数函数模型的应用
调研2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时间后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡,放在75F的房间内,如果咖啡降到105F需要20分钟,问降温到95F需要多少分钟?(F为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:）
【解析】依题意,可令====，代入式子得:=,解得,
又把代入式子得=,则,
∴== ==
故降温到95F约需要25.9分钟.
调研3 声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,求人听觉的声强级范围;
(2)在一演唱会中,某女高音的声强级高出某男低音的声强级,请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍?
【解析】(1)由题知:,∴,
∴,
∴人听觉的声强级范围是.
(2)设该女高音的声强级为,声强为,
该男低音的声强级为,声强为,
由题知:,则,∴,
∴.
故该女高音的声强是该男低音声强的倍.
题组三 分段函数模型的应用
调研4 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：年月份第（，）天的单件销售价格（单位：元,第天的销售量（单位：件）为常数），且第天该商品的销售收入为元（销售收入销售价格销售量）.
（1）求m的值；
（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？
【答案】（1）；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．
【解析】（1）销售价格第天的销售量（单位：件）为常数），
当时，由，
解得．
（2）当时，
，
故当时，，
当时，，
故当时，，
因为，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．
☆技巧点拨☆
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
函数的零点
高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.
2018课标全国Ⅰ9
2018课标全国Ⅲ15
2017课标全国Ⅲ6
2017课标全国Ⅲ11
★★★★
函数模型及其应用
2019课标全国Ⅱ4
2020课标全国Ⅲ4
★★