解密06 解三角形（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密06  正、余弦定理及解三角形

考点一  利用正、余弦定理解三角形

题组一  利用正、余弦定理解三角形

☆技巧点拨☆

利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．

若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”；

若想“角”往“边”化，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等．

例题1  1．在中，已知，则角的大小为（     ）

A． B． C． D．

1．A

【分析】因为，

由正弦定理，可得，

又由余弦定理得，

因为，可得.

故选：A.

例题2．在中，角、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（    ）

A．9 B．12 C．18 D．20

【分析】由题意知，

根据正弦定理，可得，

因为，所以，

即，则，

当且仅当时等号成立，即的最小值为18．

故选：C．

例题3．在中，角的对边分别是，若，，则（    ）

A． B． C． D．

由余弦定理得：，

，，又，，

，．故选：A．

例题4．从①，②的面积，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

已知的内角，，所对的边分别是，，，若，且________．

（1）求；

（2）若角的平分线与交于点， ，求，．

（1）条件选择见解析，

（2）

【分析】解：若选①，

，

又，， ，

若选②：，

，，

又，，，

，．

若选③：，

，

由正弦定理得，，

，．

（2）是角的平分线，，，

即，，

由（1）知，，解得．

题组二  与不等式有关的问题

例题2．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足.

（1）求角；

（2）若，求的取值范围．

因为，

由余弦定理得c(a－b)＝a2－b2，

所以a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，

即a2＝b2＋c2－bc.

因为a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以cos A＝，则A＝.

（2）由正弦定理得＝＝2，

所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin(A＋B)

＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝3sin B＋cos B

＝2sin(B＋)．因为B∈，所以B＋∈(，π)．所以sin(B＋)∈(，1]，

则b＋c∈(，2]．

例题2．在锐角 中， 角 的对边分别为，已知 ．

（1）求证：．

（2）若，求的取值范围．

解：因为，由正弦定理得，

因为=，

所以，则或，

即或（舍去），故.

（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，

所以，由正弦定理可得：，则，所以.

例题3．若函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：f（x）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x∈R都有f（x）≤f（）=2成立．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若锐角△ABC的内角B满足f（B）=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长l的取值范围

（1）由题意可得：T==π，解得：ω=2，

∵对任意的x∈R都有成立，

∴时，f（x）有最大值2，可得：A=2，

∵，k∈Z，

又∵0≤φ＜π，

∴，

∴．

（2）f（B）=1，∴，而，故，

∴，∵△ABC是锐角三角形，

∴，，∴，

∴△ABC中，由正弦定理可得，

∴，∴，∴．

题组三  三角形形状的判断

☆技巧点拨☆

判断三角形的形状有以下几种思路：

（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；

（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．

提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.

例题1．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（   ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定

【分析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，

即，由余弦定理得：，整理得，

则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，

所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C

例题2  ．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

在中，由结合余弦定理得：，整理得：

，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，

即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D

例题3 ．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形

∵a2＋b2－c2＝ab，

∴，又，

∴，由2cosAsinB＝sinC，得

∴，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C

例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形

因为，

所以，所以，

根据正弦定理可得，即，

所以，因为，所以，所以，由得，

得，得，得，

得，因为为三角形的内角，所以，，所以为顶角为的等腰三角形.

故选：D

考点二  解三角形与其他知识综合应用

例题1．已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（    ）

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心

【答案】A

【分析】在中，令线段的中点为，由正弦定理，

得，由，

得

即，而，

则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，

即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，

动点的轨迹一定经过的重心．故选：A.

例题2 ．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为，

所以，即.

因为O为△ABC的重心，且，

所以△ABC为等边三角形.

因为，

所以.因为，所以△ABC外接圆的半径为.故选：B

例题3 ．已知在中，内角A，，的对边分别为，，，满足.

（1）求；

（2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值.

【答案】

（1）；

（2）.

【分析】，

由正弦定理得，，

即，

，，，．

（2）因为，，∴△ABC是等边三角形，

在中，由余弦定理知，

，

而，

，

四边形的面积，

，，，当即时，取得最大值，为，

故四边形面积的最大值为．

例题4 ．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．

（1）若，求的面积；

（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）不成立，理由见解析.

由，得，

因为，即．

又因为，所以．

在中，由正弦定理，

所以，．

所以

.

（2）假设，

由余弦定理，，即，

所以，因为，所以，

解得：或－2（舍），此时．

不满足，所以假设不成立.