解密02 函数的应用（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密02  函数的应用

内容索引

核心考点1 函数零点

核心考点2函数模型应用

核心考点一   函数的零点

☆技巧点拨☆

函数零点个数的判断方法

（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

例题1方程的实数根叫做函数的“新驻点”.如果函数的“新驻点”为，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设，，则的根为的“新驻点”，

若且，即的零点为的“新驻点”，

∴，即单调递增，

，，根据零点存在性定理知：的零点在内，

∴的“新驻点”范围是，即的取值范围为.

故选：B

例题2．已知命题：函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数．若为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】若命题：函数在内恰有一个零点为真命题，

由零点存在定理可知，解得：；

若命题：函数在上是减函数为真命题，

则，解得；因为为真命题，所以为真命题，为真命题，为假命题，

所以，可得，所以实数的取值范围是．故选：C.

例题3．已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（    ）

A．2 B．3 C．5 D．8

【答案】D

【分析】由题设，分段函数的图象如下：

若不等式有且，要使上恰有1个整数解，

由图及函数性质知：或或，

∴对应解集端点的最值分别为或或，而，

∴或或，故a的最大值是8.故选：D

例题4．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上

的零点个数为

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.

当x∈时，g(x)＝xcos (πx)；当x∈时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

例题5．已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B【分析】函数，其中，且，

因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，

所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，

且有，解得.综上可知，实数的取值范围是.故选：B.

☆技巧点拨☆

高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．

1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：

①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．

2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．

3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系

要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：

①求出零点，直接比较大小；

②确定零点所在区间；

③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.

核心考点二   函数的模型应用

☆技巧点拨☆

解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：

（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.

例题1 已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（    ）

A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）

【答案】D

【分析】模式A：，模式B：，其中p为初始电量.

A模式用了m小时，电量为，

m小时后B模式用了小时，

∴

，令，∴，

∴，          

因为，，

∴，∴

故选：D

例题2．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，室内某污染物的浓度为安全范围.已知一公共场所使用含有该污染物的喷剂，处于良好的通风环境下时，该污染物浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，若竣工1周后该污染物浓度为，3周后室内该污染物浓度为，则要达到安全使用标准，该建筑物室内至少需要通风放置的时间为（    ）（参考数据：，，）

A．8周 B．9周 C．10周 D．11周

【答案】C

【分析】依题意，

，

.，，，，

由于，所以

依题意，

，所以，，所以，至少要周.故选：C

例题3洞庭湖是我国的第二大淡水湖，俗称八百里洞庭，洞庭湖盛产鳙鱼（俗称胖头鱼），记鳙鱼在湖中的游速为，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为，已知鳙鱼的游速与成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为，若鳙鱼的速度提高到，那么它的耗氧量的单位数增加了（    ）

A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．8倍

【答案】B

【分析】依题意得，设，代入数据得，

于是，故，由，可得解得：，所以耗氧量为原来的4倍.故选：B.

例题4．基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型；描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（    ）

A．3.5天 B．2.6天 C．1.8天 D．1.2天

【答案】C

【分析】因为，，，

所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，，所以，所以，所以天.故选：C.

例题5．（2021·江苏·高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】解：画出函数的图象如下图，

由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，

则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，

由图知，当或时，有且仅有两个交点，

要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．

故答案为：．