湖北省十堰市2023届高三下学期4月调研考试数学试卷（含答案）

湖北省十堰市2023届高三下学期4月调研考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、复数的虚部为(   ).

A.2i B.-2i C.2 D.-2

2、若集合，，则(   ).

A. B. C. D.

3、的展开式中的系数是(   ).

A. B. C.-30 D.30

4、已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为(   ).

A. B. C. D.

5、已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为(   ).

A. B. C. D.

6、已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆.若圆的面积为，，则四面体ABCD体积的最大值为(   ).

A. B. C. D.

7、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则(   ).

A.-2024 B.2024 C.-1 D.1

8、若，，，则(   ).

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则(   ).

A.

B.

C.向量在向量上的投影向量为

D.向量在向量上的投影向量为

10、已知函数(，)图象的一个对称中心是，点在的图象上，则(   ).

A.

B.直线是图象的一条对称轴

C.在上单调递减

D.是奇函数

11、已知函数，则下列结论正确的有(   ).

A.为奇函数

B.为偶函数

C.，，当时，

D.，

12、椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有(   ).

A.曲线W关于直线对称

B.曲线W关于直线对称

C.曲线W上的点的横坐标的取值范围为

D.曲线W上的点的横坐标的取值范围为

三、填空题

13、已知向量，，若，则________.

14、若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________.

15、已知是双曲线E：上一点，，分别是双曲线E的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________.

16、甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则.对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________.

四、解答题

17、已知数列的前n项之积为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

18、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求面积的最大值；

(2)若，求的周长.

19、现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球.

(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.

(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为.证明：.

20、中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点.

(1)证明：.

(2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值.

21、已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A点在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点.当A为椭圆C的上顶点时，.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若，且，求k的取值范围.

22、已知函数.

(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；

(2)当时，求证在上只有一个零点，且.

参考答案

1、答案：D

解析：，则z的虚部为-2.

2、答案：C

解析：因为，，所以.

3、答案：A

解析：的展开式中的系数是.

4、答案：B

解析：由题可知解得.

5、答案：B

解析：由题可知，的面积为，则.当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为.

6、答案：B

解析：因为圆的面积为，所以圆的半径为1，，则球O的半径，则四面体ABCD体积的最大值为.

7、答案：C

解析：因为，所以

.

又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，

故.

8、答案：A

解析：令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，从而.

因为，所以，故.

9、答案：BD

解析：，A不正确，B正确.向量在向量上的投影向量为，C不正确.向量在向量上的投影向量为，D正确.

10、答案：ACD

解析：因为点在的图象上，所以.又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，，则，.又，所以，则，A正确.

，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.

当时，，单调递减，C正确.

，是奇函数，D正确.

11、答案：ABD

解析：因为的定义域为R，，，所以为奇函数，为偶函数，A，B正确.

令，则，易得，则单调递增.不妨令，则，则，C不正确.

令，则，故当时，，D正确.

12、答案：BD

解析：由，得.

因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确.

因为，所以曲线W关于直线对称，B正确.

由，得，解得或，C不正确，D正确.

13、答案：13

解析：因为，所以，解得，则.

14、答案：

解析：由，得，则圆C与两条坐标轴相切，故k的取值范围为.

15、答案：；

解析：根据对称性，不妨设P在双曲线E的右支上，则.因为，的周长为，所以，所以，.在中，

，则，的面积为.

16、答案：

解析：列出如下树形图，可知甲获胜的概率为.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意得，，.

所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，

则.

当时，由，得，

则，对也成立，故.

(2)由(1)可知，，

所以，即数列的前n项和.

18、答案：(1)面积的最大值为

(2)的周长为8

解析：(1)因为，，所以，

，

当且仅当时，等号成立，则.

故，即面积的最大值为.

(2)(解法一)因为，所以，

所以，

则，

则.

由，得，

故的周长为.

(解法二)由余弦定理，，，

得，即.

由，得，

整理得，

分解得，

解得，

故的周长为.

19、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)解：由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.

(2)证明：当时，X的取值可能是2，3，4，

且，，，

则.

当时，X的取值可能是0，1，2，

且，，，

则.

故.

20、答案：(1)证明见解析

(2)直线CE与平面所成角的正弦值为

解析：(1)证明：延长，并相交于点，因为，

所以，.

连接，，因为E为弧的中点，所以，为正三角形，

故.

因为平面，，所以平面.

又平面，所以.

因为，所以平面.

又平面，所以.

(2)解：以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，.

设平面的法向量为，

则令，得.

，

故直线CE与平面所成角的正弦值为.

21、答案：(1)椭圆C的方程为

(2)

解析：(1)由题可知，.

当A为椭圆C的上顶点时，，解得，

故椭圆C的方程为.

(2)依题意可设直线l的方程为，，，.

联立方程组消去x整理得，

则，.

直线AP的方程为，

令，得.

同理可得，

则.

因为，且，所以，，故.

22、答案：(1)a的取值范围为

(2)证明见解析

解析：(1)解：因为，所以.

由在R上单调递减，得，即在R上恒成立.

令，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

故，解得，即a的取值范围为.

(2)证明：由(1)可知，在上单调递减，且，，

故，.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

因为，，所以在上只有一个零点，

故在上只有一个零点.

因为，所以要证，需证，需证.

因为，所以需证.

令，，则.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.故.

从而，证毕.