湖北省十堰市2023届高三下学期4月调研考试数学试卷（含答案）

这是一份湖北省十堰市2023届高三下学期4月调研考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省十堰市2023届高三下学期4月调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、复数的虚部为(   ).A.2i B.-2i C.2 D.-22、若集合，，则(   ).A. B. C. D.3、的展开式中的系数是(   ).A. B. C.-30 D.304、已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为(   ).A. B. C. D.5、已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为(   ).A. B. C. D.6、已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆.若圆的面积为，，则四面体ABCD体积的最大值为(   ).A. B. C. D.7、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则(   ).A.-2024 B.2024 C.-1 D.18、若，，，则(   ).A. B. C. D.二、多项选择题9、《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则(   ).A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.向量在向量上的投影向量为10、已知函数(，)图象的一个对称中心是，点在的图象上，则(   ).A.B.直线是图象的一条对称轴C.在上单调递减D.是奇函数11、已知函数，则下列结论正确的有(   ).A.为奇函数B.为偶函数C.，，当时，D.，12、椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有(   ).A.曲线W关于直线对称B.曲线W关于直线对称C.曲线W上的点的横坐标的取值范围为D.曲线W上的点的横坐标的取值范围为三、填空题13、已知向量，，若，则________.14、若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________.15、已知是双曲线E：上一点，，分别是双曲线E的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________.16、甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则.对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________.四、解答题17、已知数列的前n项之积为，且，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.18、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求面积的最大值；(2)若，求的周长.19、现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球.(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为.证明：.20、中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点.(1)证明：.(2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值.21、已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A点在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点.当A为椭圆C的上顶点时，.(1)求椭圆C的方程；(2)若，且，求k的取值范围.22、已知函数.(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；(2)当时，求证在上只有一个零点，且.
参考答案1、答案：D解析：，则z的虚部为-2.2、答案：C解析：因为，，所以.3、答案：A解析：的展开式中的系数是.4、答案：B解析：由题可知解得.5、答案：B解析：由题可知，的面积为，则.当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为.6、答案：B解析：因为圆的面积为，所以圆的半径为1，，则球O的半径，则四面体ABCD体积的最大值为.7、答案：C解析：因为，所以.又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，故.8、答案：A解析：令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，从而.因为，所以，故.9、答案：BD解析：，A不正确，B正确.向量在向量上的投影向量为，C不正确.向量在向量上的投影向量为，D正确.10、答案：ACD解析：因为点在的图象上，所以.又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，，则，.又，所以，则，A正确.，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.当时，，单调递减，C正确.，是奇函数，D正确.11、答案：ABD解析：因为的定义域为R，，，所以为奇函数，为偶函数，A，B正确.令，则，易得，则单调递增.不妨令，则，则，C不正确.令，则，故当时，，D正确.12、答案：BD解析：由，得.因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确.因为，所以曲线W关于直线对称，B正确.由，得，解得或，C不正确，D正确.13、答案：13解析：因为，所以，解得，则.14、答案：解析：由，得，则圆C与两条坐标轴相切，故k的取值范围为.15、答案：；解析：根据对称性，不妨设P在双曲线E的右支上，则.因为，的周长为，所以，所以，.在中，，则，的面积为.16、答案：解析：列出如下树形图，可知甲获胜的概率为.17、答案：(1)(2)解析：(1)由题意得，，.所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则.当时，由，得，则，对也成立，故.(2)由(1)可知，，所以，即数列的前n项和.18、答案：(1)面积的最大值为(2)的周长为8解析：(1)因为，，所以，，当且仅当时，等号成立，则.故，即面积的最大值为.(2)(解法一)因为，所以，所以，则，则.由，得，故的周长为.(解法二)由余弦定理，，，得，即.由，得，整理得，分解得，解得，故的周长为.19、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)解：由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.(2)证明：当时，X的取值可能是2，3，4，且，，，则.当时，X的取值可能是0，1，2，且，，，则.故.20、答案：(1)证明见解析(2)直线CE与平面所成角的正弦值为解析：(1)证明：延长，并相交于点，因为，所以，.连接，，因为E为弧的中点，所以，为正三角形，故.因为平面，，所以平面.又平面，所以.因为，所以平面.又平面，所以.(2)解：以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则令，得.，故直线CE与平面所成角的正弦值为.21、答案：(1)椭圆C的方程为(2)解析：(1)由题可知，.当A为椭圆C的上顶点时，，解得，故椭圆C的方程为.(2)依题意可设直线l的方程为，，，.联立方程组消去x整理得，则，.直线AP的方程为，令，得.同理可得，则.因为，且，所以，，故.22、答案：(1)a的取值范围为(2)证明见解析解析：(1)解：因为，所以.由在R上单调递减，得，即在R上恒成立.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故，解得，即a的取值范围为.(2)证明：由(1)可知，在上单调递减，且，，故，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，，所以在上只有一个零点，故在上只有一个零点.因为，所以要证，需证，需证.因为，所以需证.令，，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故.从而，证毕.