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湖北省十堰市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试卷(含答案)
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这是一份湖北省十堰市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列1，-3，5，-7，9，⋯，则该数列的第100项为( )
A. 99B. -199C. -111D. 111
2. 已知直线l1:mx+2y-2=0与直线l2:5x+(m+3)y-5=0，若l1//l2，则m=( )
A. -5B. 2C. 2或-5D. 5
3. 如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF=3FP，设PA=a，PB=b，PC=c，则FE=
A. 12a-13b+12cB. 12a-14b+12c
C. 13a+14b+13cD. 23a-14b+23c
4. 在x，y轴上的截距分别为-3，3的直线l被圆C:x2+y2-4x-6y-3=0截得的弦长为( )
A. 14B. 32C. 214D. 42
5. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p=( )
A. 25B. 13C. 15D. 14
6. 过直线l:4x+3y+10=0上一点P向圆C:x2+y2-2x-4y-5=0作切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( )
A. 6B. 22C. 5D. 32
7. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点F2，若∠F1PF2=60∘，且|PF1|=32a，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 32C. 34D. 74
8. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格，若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第n格可能有an种情况，{an}的前n项和为Sn，则S8=( )
A. 56B. 68C. 87D. 95
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知双曲线C:y216-x28=1，则( )
A. C的一个顶点坐标为(4,0)B. C的实轴长为8
C. C的焦距为26D. C的离心率为62
10. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数.记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则( )
A. A与B相互独立B. A与D相互独立
C. B与C为互斥事件D. C与D为互斥事件
11. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为482，∠A1AB=∠A1AD，AA1=6，AB=AD=4，且∠DAB=π3，M，N，P分别为AB，CC1，C1D1的中点，则( )
A. MC与AP夹角的余弦值为23770B. MP//平面BDN
C. DN⊥A1CD. P到平面MNC的距离为43819
12. 若直线l与抛物线C:y2=2px有且仅有一个公共点P(x0,y0)，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y=px0+px.已知抛物线C:y2=4x上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2).过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q(x3,y3)，过抛物线C上异于A，B的一点D(x4,y4)的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则( )
A. 直线AB的方程为y3y=2x+2x3B. 点A，Q，B的横坐标成等差数列
C. |QA|⋅|BN|=|QB|⋅|QM|D. |MN|⋅|BN|=|QB|⋅|DN|
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制(在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局)，乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是 ．
14. 已知两圆C1:(x-23)2+(y-63)2=27与C2:x2+y2+23x-43y-3m=0外离，则整数m的一个取值可以是 ．
15. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，⋯构成的数列{an}的第n项，则a100= ．
16. 如图所示，在几何体ABCDEF中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=AD=2BC=4，AE//CF，AE=2CF=2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为 ，直线EF与平面BDF所成角的正弦值为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n(n+7)2．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130]．
(1)求语文成绩在[120,130]内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在[80,90)内的学生中有2名女生，其余为男生.现从语文成绩在[80,90)内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
19. (本小题12.0分)
已知圆C经过点A(0,2)，B(6,4)，且圆心在直线x-3y-4=0上．
(1)求圆C的方程;
(2)若平面上有两个点P(-6,0)，Q(6,0)，点M是圆C上的点且满足|MP|=2|MQ|，求点M的坐标．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60∘，PA=PD=10，PB=32，E，F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面DEF．
(2)求二面角A-PB-C的大小．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，MF1垂直于x轴，O为坐标原点，且AB//MO，|F1A|=2+22．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得∠OTP=∠OTQ.若存在，求出T点的坐标;若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(7,0)，渐近线方程为y=±32x.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了就数列的通项公式，求数列的项，属于基础题．
【解答】
解：该数列的通项公式为an=(-1)n+1(2n-1)，所以a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线的平行，属于基础题．
【解答】
解：若l1//l2，则m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0，所以m=2或m=-5．
当m=2时，l1，l2重合;当m=-5时，符合题意．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
【解答】
解：因为E是AC的中点，BF=3FP，
所以FE=FP+PE=-14PB+12(PA+PC)=12a-14b+12c
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了求直线的方程，求直线与圆的弦长，属于基础题．
【解答】
题意可知直线l的方程为x-3+y3=1，即x-y+3=0.因为圆C的圆心为(2,3)，半径为4，所以圆心
到直线l的距离d=|2-3+3|2=2，故直线l被圆C截得的弦长为242-(2)2=214．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式，还考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知1-(1-12)(1-23)(1-p)=78，解得p=14．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，难度一般．
【解答】
解：因为圆C的半径为10，所以|PQ|=|PC|2-10.当PC⊥l时，|PC|最小，因为圆C的圆心为(1,2)，所以|PC|min=|4×1+3×2+10|42+32=4，所以|PQ|的最小值为42-10=6．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了求椭圆的离心率，涉及椭圆几何性质，余弦定理，属于中档题．
【解答】
解：因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=12a.
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs60∘，
所以4c2=94a2+14a2-2×3a2×a2×12=74a2，所以e=74．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查数列求和的应用，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，跳到第n+2格有两种可能，一种是从第n+1个格跳过来，有an+1种方式，另一种是从第n个格跳过来，有an种方式，所以an+2=an+an+1．
因为a1=1，a2=2，所以a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，a8=34，所以S8=87．
9.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属基础题．
【解答】
解：因为a2=16，b2=8，所以a=4，b=22，c=a2+b2=26.因为焦点在y轴上，所以C的顶点坐标为(0,±4)，实轴长为8，离心率为62，焦距为46.BD正确．
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了随机事件的关系，属于基础题．
【解答】
解：连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结
果如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，
(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).共36个．
依题意，P(A)=16，P(B)=16，事件C包括(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个，P(C)=536，
事件D包括(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，P(D)=636=16．
对于A，事件AB只有结果(3,5)，P(AB)=136=P(A)⋅P(B)，A与B相互独立，A正确;
对于B，事件AD只有结果(3,4)，P(AD)=136=P(A)⋅P(D)，A与D相互独立，B正确;
对于C，事件BC含有结果(3,5)，不是互斥事件，C不正确;
对于D，事件CD是不可能事件，即C与D是互斥事件，D正确．
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的问题，考查坐标运算与夹角、距离计算，计算量大．
【解答】
解：因为AB=AD=4，且∠DAB=π3，
所以四边形ABCD的面积为4×4×sinπ3=83．
因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为482，
所以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的高为48283=26．
因为∠A1AB=∠A1AD，所以A1在底面的投影在AC上．
设A1在底面的投影为O，则A1O=26，
因为AA1=6，所以OA=AA12-A1O2=62-(26)2=23．
因为AC=43=2OA，所以O为AC的中点．
以O为坐标原点，OA，OB，OA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(23,0,0)，C(-23,0,0)，B(0,2,0)，D(0,-2,0)，
M(3,1,0)，A1(0,0,26)，N(-33,0,6)，P(-33,-1,26)，
MN=(-43,-1,6)，AP=(-53,-1,26)，
A1C=(-23,0,-26)，MP=(-43,-2,26)，
DN=(-33,2,6)，MC=(-33,-1,0)，
DB=(0,4,0)，BN=(-33,-2,6).
因为cs=(-33)×(-53)+1207=23770，
所以MC与AP夹角的余弦值为23770，故A正确．
设平面BDN的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则BN⋅m=-33x1-2y1+6z1=0,DB⋅m=4y1=0,
令x1=2，则m=(2,0,3)．
因为MP⋅m=-43×2+0+26×3=26≠0，所以MP与平面BDN不平行，故B错误．
因为DN⋅A1C=(-33)×(-23)+0+6×(-26)=6≠0，所以DN与A1C不垂直，故C错误．
设平面MNC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅MN=-43x2-y2+6z2=0,n⋅MC=-33x2-y2=0,
令x2=2，得n=(2,-36,1)．
因为|MP⋅n||n|=|-43×2+(-2)×(-36)+26|57=43819，
所以P到平面MNC的距离为43819，故D正确．
12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，属难题．
【解答】
解：由题意知，抛物线C在点A，B处的切线方程分别为y1y=2x1+2x，y2y=2x2+2x．
因为直线l1，l2交于点Q(x3,y3)，所以y1y3=2x1+2x3，y2y3=2x2+2x3，
所以A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y3y=2x+2x3上，即直线AB的方程为y3y=2x+2x3，故A正确．
联立方程组y1y3=2x1+2x3,y2y3=2x2+2x3,得(y1-y2)y3=y12-y222．
因为y1≠y2，所以y3=y1+y22，所以x3=y1y24，2x3=y1y22≠x1+x2=y12+y224，故B错误．
因为抛物线C在点D(x4,y4)处的切线方程为y4y=2x4+2x，
联立方程组y4y=2x4+2x,y1y=2x1+2x,可得M(y1y44,y4+y12)，同理得N(y2y44,y4+y22).
因为Q(y1y24,y1+y22)，所以QA=y1-y24(y1,2)，QM=y4-y24(y1,2)，
QB=y2-y14(y2,2)，BN=y4-y24(y2,2)，所以|QA|=|y1-y2y4-y2||QM|，|QB|=|y2-y1y4-y2||BN|，
所以|QA||QB|=|QM||BN|，即|QA|⋅|BN|=|QB|⋅|QM|，故C正确．
因为l1，l2，l3具有等价性，所以同理可得|ND||NM|=|BN||QB|，即|MN|⋅|BN|=|QB|⋅|DN|，故D正确．
13.【答案】2027
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制(无平局)，甲每局比赛获胜的概率都为23，所以最后甲获胜的概率P=23×23+23×13×23+13×23×23=2027．
14.【答案】-4(或-3或-2)(只需从-4，-3，-2中写一个答案即可)
【解析】
【分析】
本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题．
【解答】
解：因为圆C1的圆心为(23,63)，圆C2的圆心为(-3,23)，
所以两圆圆心的距离为(23+3)2+(63-23)2=53．
因为圆C1的半径为33，
圆C2的半径为15+3m，所以15+3m+33<53,15+3m>0,
所以-5
15.【答案】5050
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推公式，等差数列前n项和公式，属基础题．
【解答】
解：因为数列{an}的递推公式为an+1-an=n+1，a1=1，
所以(a100-a99)+(a99-a98)+⋯+(a2-a1)=100+99+⋯+2，
所以a100-a1=100+99+⋯+2，
故a100=100+99+⋯+2+1=100×(100+1)2=5050．
16.【答案】810521
41421
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量求点到直线距离，直线与面所成的角，属于中档题．
【解答】
解：以A为原点，AB，AD，AE的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(0,0,2)，F(4,2,1)．
DE=(0,-4,2)，DF=(4,-2,1)，BD=(-4,4,0)，BF=(0,2,1)，EF=(4,2,-1)．
因为cs以点E到直线DF的距离为|DE|sin=25×42121=810521．
记平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BD=-4x+4y=0,n⋅BF=2y+z=0,令x=1，得n=(1,1,-2)．
因为cs=n⋅EF|n||EF|=86×21=41421，所以直线EF与平面BDF所成角的正弦值为41421．
17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=1×82=4．
当n≥2时，Sn-1=(n-1)(n+6)2，
所以an=Sn-Sn-1=n(n+7)2-(n-1)(n+6)2=n+3，
因为n=1也满足，所以通项公式为an=n+3．
(2)因为bn=1anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3-1n+4，
所以Tn=(14-15)+(15-16)+⋯+(1n+3-1n+4)=14-1n+4=n4n+16．
【解析】本题考查了通项公式、前n项和公式、“裂项相消法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】本题考查频率分布直方图，古典概型，属基础题．
【解析】解：(1)由频率分布直方图，知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得a=0.005，
语文成绩在[120,130]内的学生人数为0.005×10×100=5．
(2)由频率分有直方图，知语文成绩不低于112分的概率为
120-11210×0.02×10+0.005×10=0.21．
(3)由频率分布直方图，知语文成绩在[80,90)内的学生有0.005×10×100=5人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c，
样本空间为{AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为610=35．
19.【答案】解：(1)因为圆心在直线x-3y-4=0上，所以可设圆心C(3a+4,a)．
因为圆C经过点A(0,2)，B(6,4)，所以|CA|=|CB|，
即(3a+4)2+(a-2)2=(3a+4-6)2+(a-4)2，解得a=0，所以圆心C为(4,0)，
因为半径r=|CA|=(4-0)2+(0-2)2=25，所以圆C的方程为(x-4)2+y2=20．
(2)设M(x,y)，则(x-4)2+y2=20，
由|MP|=2|MQ|，可得(x+6)2+y2=4[(x-6)2+y2]，
化简得(x-10)2+y2=64．
联立方程组，{(x-4)2+y2=20,(x-10)2+y2=64,解得{x=103,y=±4113
即点M的坐标为(103,4113)或(103,-4113).
【解析】本题考查了求圆的方程，圆与圆交点，属于中档题．
20.【答案】本题主要考查空间面面关系与二面角的求法，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
【解析】(1)证明：取AD的中点G，连接PG，BG，BD．
因为PA=PD，所以PG⊥AD
在△ABD中，AB=AD=2，∠DAB=60∘，
所以△ABD为等边三角形，所以BG⊥AD．
因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PBG
因为E，F分别是BC，PC的中点，所以PB//EF，
又DE//GB，所以平面PBG//平面DEF，所以AD⊥平面DEF．
因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面DEF
(2)解：由(1)知AD⊥平面PBG.因为PA=PD=10，PB=32，
所以可求得四棱锥P-ABCD的高为6．
以G为坐标原点，GA，GB的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则P(0,-3,6)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(-2,3,0)．
AP=(-1,-3,6)，BP=(0,-23,6)，BC=(-2,0,0)．
记平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则n⋅AP=-x1-3y1+6z1=0,n⋅BP=-23y1+6z1=0,令y1=2，得n=(6,2,2)．
记平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则m⋅BC=-2x2=0,m⋅BP=-23y2+6z2=0,令y2=2，得m=(0,2,2)．
因为cs=n⋅m|n||m|=623×6=22，且二面角A-PB-C为钝角，
所以二面角A-PB-C为34π．
21.【答案】解：(1)由题意可知点M的坐标为(-c,b2a)，
因为AB//MO，所以kMO=kAB，即-b2ac=-ba，得b=c．
因为a2=b2+c2，所以a=2c.
因为|F1A|=2+22=a+c，所以a=22，b=2，
故椭圆C的标准方程为x28+y24=1．
(2)假设x轴上存在点T(t,0)，使得∠OTP=∠OTQ，则kTP+kTQ=0．
设直线l的方程为x=my+2(m≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立方程组x=my+2,x28+y24=1,消去x整理得(m2+2)y2+4my-4=0，
则y1+y2=-4mm2+2，y1y2=-4m2+2，
kTP+kTQ=y1x1-t+y2x2-t=y1my1+2-t+y2my2+2-t=2my1y2+(2-t)(y1+y2)(my1+2-t)(my2+2-t)=0，
即2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0．
由-8mm2+2-4m(2-t)m2+2=0(m≠0)，解得t=4，
故存在T(4,0)，使得∠OTP=∠OTQ．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，属难题．
22.【答案】(1)解：由题意知c=7，
因为双曲线C的渐近线方程为y=±32x，所以ba=32，
因为a2=c2-b2，所以a=2，b=3，
故双曲线C的标准方程为x24-y23=1;
(2)证明：设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组y=kx+m,x24-y23=1,化简得(3-4k2)x2-8kmx-(4m2+12)=0，
则Δ=(8km)2+4(4m2+12)(3-4k2)>0，即m2-4k2+3>0，且x1+x2=8km3-4k2x1x2=-4m2-123-4k2
因为DE⋅DF=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
所以(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=(k2+1)⋅-4m2-123-4k2+(km-2)⋅8km3-4k2+m2+4=0，
化简得m2+16km+28k2=(m+2k)(m+14k)=0，
所以m=-2k或m=-14k，且均满足m2-4k2+3>0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾，
当m=-14k时，直线l的方程为y=k(x-14)，过定点M(14,0)，
②当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE;y=x-2，
联立方程组y=x-2,x24-y23=1,得x=2(舍去)或x=14，此时直线l也过定点M(14,0)，
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H(8,0)，使|GH|为定值6．
【解析】本题考查了求双曲线的标准方程，双曲线中定点定制问题，属于拔高题．
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列1，-3，5，-7，9，⋯，则该数列的第100项为( )
A. 99B. -199C. -111D. 111
2. 已知直线l1:mx+2y-2=0与直线l2:5x+(m+3)y-5=0，若l1//l2，则m=( )
A. -5B. 2C. 2或-5D. 5
3. 如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF=3FP，设PA=a，PB=b，PC=c，则FE=
A. 12a-13b+12cB. 12a-14b+12c
C. 13a+14b+13cD. 23a-14b+23c
4. 在x，y轴上的截距分别为-3，3的直线l被圆C:x2+y2-4x-6y-3=0截得的弦长为( )
A. 14B. 32C. 214D. 42
5. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p=( )
A. 25B. 13C. 15D. 14
6. 过直线l:4x+3y+10=0上一点P向圆C:x2+y2-2x-4y-5=0作切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( )
A. 6B. 22C. 5D. 32
7. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，从一个焦点F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射后经过另一个焦点F2，若∠F1PF2=60∘，且|PF1|=32a，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 32C. 34D. 74
8. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格，若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第n格可能有an种情况，{an}的前n项和为Sn，则S8=( )
A. 56B. 68C. 87D. 95
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知双曲线C:y216-x28=1，则( )
A. C的一个顶点坐标为(4,0)B. C的实轴长为8
C. C的焦距为26D. C的离心率为62
10. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数.记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则( )
A. A与B相互独立B. A与D相互独立
C. B与C为互斥事件D. C与D为互斥事件
11. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为482，∠A1AB=∠A1AD，AA1=6，AB=AD=4，且∠DAB=π3，M，N，P分别为AB，CC1，C1D1的中点，则( )
A. MC与AP夹角的余弦值为23770B. MP//平面BDN
C. DN⊥A1CD. P到平面MNC的距离为43819
12. 若直线l与抛物线C:y2=2px有且仅有一个公共点P(x0,y0)，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为y0y=px0+px.已知抛物线C:y2=4x上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2).过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点Q(x3,y3)，过抛物线C上异于A，B的一点D(x4,y4)的切线l3分别与l1，l2交于点M，N，则( )
A. 直线AB的方程为y3y=2x+2x3B. 点A，Q，B的横坐标成等差数列
C. |QA|⋅|BN|=|QB|⋅|QM|D. |MN|⋅|BN|=|QB|⋅|DN|
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制(在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局)，乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是 ．
14. 已知两圆C1:(x-23)2+(y-63)2=27与C2:x2+y2+23x-43y-3m=0外离，则整数m的一个取值可以是 ．
15. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，⋯构成的数列{an}的第n项，则a100= ．
16. 如图所示，在几何体ABCDEF中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=AD=2BC=4，AE//CF，AE=2CF=2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为 ，直线EF与平面BDF所成角的正弦值为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n(n+7)2．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. (本小题12.0分)
某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130]．
(1)求语文成绩在[120,130]内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在[80,90)内的学生中有2名女生，其余为男生.现从语文成绩在[80,90)内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
19. (本小题12.0分)
已知圆C经过点A(0,2)，B(6,4)，且圆心在直线x-3y-4=0上．
(1)求圆C的方程;
(2)若平面上有两个点P(-6,0)，Q(6,0)，点M是圆C上的点且满足|MP|=2|MQ|，求点M的坐标．
20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60∘，PA=PD=10，PB=32，E，F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面PAD⊥平面DEF．
(2)求二面角A-PB-C的大小．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，MF1垂直于x轴，O为坐标原点，且AB//MO，|F1A|=2+22．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得∠OTP=∠OTQ.若存在，求出T点的坐标;若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为(7,0)，渐近线方程为y=±32x.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于点G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了就数列的通项公式，求数列的项，属于基础题．
【解答】
解：该数列的通项公式为an=(-1)n+1(2n-1)，所以a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线的平行，属于基础题．
【解答】
解：若l1//l2，则m(m+3)-2×5=m2+3m-10=(m-2)(m+5)=0，所以m=2或m=-5．
当m=2时，l1，l2重合;当m=-5时，符合题意．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
【解答】
解：因为E是AC的中点，BF=3FP，
所以FE=FP+PE=-14PB+12(PA+PC)=12a-14b+12c
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了求直线的方程，求直线与圆的弦长，属于基础题．
【解答】
题意可知直线l的方程为x-3+y3=1，即x-y+3=0.因为圆C的圆心为(2,3)，半径为4，所以圆心
到直线l的距离d=|2-3+3|2=2，故直线l被圆C截得的弦长为242-(2)2=214．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式，还考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知1-(1-12)(1-23)(1-p)=78，解得p=14．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，难度一般．
【解答】
解：因为圆C的半径为10，所以|PQ|=|PC|2-10.当PC⊥l时，|PC|最小，因为圆C的圆心为(1,2)，所以|PC|min=|4×1+3×2+10|42+32=4，所以|PQ|的最小值为42-10=6．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了求椭圆的离心率，涉及椭圆几何性质，余弦定理，属于中档题．
【解答】
解：因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=12a.
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs60∘，
所以4c2=94a2+14a2-2×3a2×a2×12=74a2，所以e=74．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查数列求和的应用，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，跳到第n+2格有两种可能，一种是从第n+1个格跳过来，有an+1种方式，另一种是从第n个格跳过来，有an种方式，所以an+2=an+an+1．
因为a1=1，a2=2，所以a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，a8=34，所以S8=87．
9.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属基础题．
【解答】
解：因为a2=16，b2=8，所以a=4，b=22，c=a2+b2=26.因为焦点在y轴上，所以C的顶点坐标为(0,±4)，实轴长为8，离心率为62，焦距为46.BD正确．
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了随机事件的关系，属于基础题．
【解答】
解：连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结
果如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，
(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，
(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).共36个．
依题意，P(A)=16，P(B)=16，事件C包括(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个，P(C)=536，
事件D包括(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，P(D)=636=16．
对于A，事件AB只有结果(3,5)，P(AB)=136=P(A)⋅P(B)，A与B相互独立，A正确;
对于B，事件AD只有结果(3,4)，P(AD)=136=P(A)⋅P(D)，A与D相互独立，B正确;
对于C，事件BC含有结果(3,5)，不是互斥事件，C不正确;
对于D，事件CD是不可能事件，即C与D是互斥事件，D正确．
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的问题，考查坐标运算与夹角、距离计算，计算量大．
【解答】
解：因为AB=AD=4，且∠DAB=π3，
所以四边形ABCD的面积为4×4×sinπ3=83．
因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为482，
所以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的高为48283=26．
因为∠A1AB=∠A1AD，所以A1在底面的投影在AC上．
设A1在底面的投影为O，则A1O=26，
因为AA1=6，所以OA=AA12-A1O2=62-(26)2=23．
因为AC=43=2OA，所以O为AC的中点．
以O为坐标原点，OA，OB，OA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(23,0,0)，C(-23,0,0)，B(0,2,0)，D(0,-2,0)，
M(3,1,0)，A1(0,0,26)，N(-33,0,6)，P(-33,-1,26)，
MN=(-43,-1,6)，AP=(-53,-1,26)，
A1C=(-23,0,-26)，MP=(-43,-2,26)，
DN=(-33,2,6)，MC=(-33,-1,0)，
DB=(0,4,0)，BN=(-33,-2,6).
因为cs
所以MC与AP夹角的余弦值为23770，故A正确．
设平面BDN的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则BN⋅m=-33x1-2y1+6z1=0,DB⋅m=4y1=0,
令x1=2，则m=(2,0,3)．
因为MP⋅m=-43×2+0+26×3=26≠0，所以MP与平面BDN不平行，故B错误．
因为DN⋅A1C=(-33)×(-23)+0+6×(-26)=6≠0，所以DN与A1C不垂直，故C错误．
设平面MNC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅MN=-43x2-y2+6z2=0,n⋅MC=-33x2-y2=0,
令x2=2，得n=(2,-36,1)．
因为|MP⋅n||n|=|-43×2+(-2)×(-36)+26|57=43819，
所以P到平面MNC的距离为43819，故D正确．
12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，属难题．
【解答】
解：由题意知，抛物线C在点A，B处的切线方程分别为y1y=2x1+2x，y2y=2x2+2x．
因为直线l1，l2交于点Q(x3,y3)，所以y1y3=2x1+2x3，y2y3=2x2+2x3，
所以A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y3y=2x+2x3上，即直线AB的方程为y3y=2x+2x3，故A正确．
联立方程组y1y3=2x1+2x3,y2y3=2x2+2x3,得(y1-y2)y3=y12-y222．
因为y1≠y2，所以y3=y1+y22，所以x3=y1y24，2x3=y1y22≠x1+x2=y12+y224，故B错误．
因为抛物线C在点D(x4,y4)处的切线方程为y4y=2x4+2x，
联立方程组y4y=2x4+2x,y1y=2x1+2x,可得M(y1y44,y4+y12)，同理得N(y2y44,y4+y22).
因为Q(y1y24,y1+y22)，所以QA=y1-y24(y1,2)，QM=y4-y24(y1,2)，
QB=y2-y14(y2,2)，BN=y4-y24(y2,2)，所以|QA|=|y1-y2y4-y2||QM|，|QB|=|y2-y1y4-y2||BN|，
所以|QA||QB|=|QM||BN|，即|QA|⋅|BN|=|QB|⋅|QM|，故C正确．
因为l1，l2，l3具有等价性，所以同理可得|ND||NM|=|BN||QB|，即|MN|⋅|BN|=|QB|⋅|DN|，故D正确．
13.【答案】2027
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
解：因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制(无平局)，甲每局比赛获胜的概率都为23，所以最后甲获胜的概率P=23×23+23×13×23+13×23×23=2027．
14.【答案】-4(或-3或-2)(只需从-4，-3，-2中写一个答案即可)
【解析】
【分析】
本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题．
【解答】
解：因为圆C1的圆心为(23,63)，圆C2的圆心为(-3,23)，
所以两圆圆心的距离为(23+3)2+(63-23)2=53．
因为圆C1的半径为33，
圆C2的半径为15+3m，所以15+3m+33<53,15+3m>0,
所以-5
15.【答案】5050
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推公式，等差数列前n项和公式，属基础题．
【解答】
解：因为数列{an}的递推公式为an+1-an=n+1，a1=1，
所以(a100-a99)+(a99-a98)+⋯+(a2-a1)=100+99+⋯+2，
所以a100-a1=100+99+⋯+2，
故a100=100+99+⋯+2+1=100×(100+1)2=5050．
16.【答案】810521
41421
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量求点到直线距离，直线与面所成的角，属于中档题．
【解答】
解：以A为原点，AB，AD，AE的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(0,0,2)，F(4,2,1)．
DE=(0,-4,2)，DF=(4,-2,1)，BD=(-4,4,0)，BF=(0,2,1)，EF=(4,2,-1)．
因为cs
记平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BD=-4x+4y=0,n⋅BF=2y+z=0,令x=1，得n=(1,1,-2)．
因为cs
17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=1×82=4．
当n≥2时，Sn-1=(n-1)(n+6)2，
所以an=Sn-Sn-1=n(n+7)2-(n-1)(n+6)2=n+3，
因为n=1也满足，所以通项公式为an=n+3．
(2)因为bn=1anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3-1n+4，
所以Tn=(14-15)+(15-16)+⋯+(1n+3-1n+4)=14-1n+4=n4n+16．
【解析】本题考查了通项公式、前n项和公式、“裂项相消法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】本题考查频率分布直方图，古典概型，属基础题．
【解析】解：(1)由频率分布直方图，知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得a=0.005，
语文成绩在[120,130]内的学生人数为0.005×10×100=5．
(2)由频率分有直方图，知语文成绩不低于112分的概率为
120-11210×0.02×10+0.005×10=0.21．
(3)由频率分布直方图，知语文成绩在[80,90)内的学生有0.005×10×100=5人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c，
样本空间为{AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc}，其中抽到1名男生和1名女生的情况有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为610=35．
19.【答案】解：(1)因为圆心在直线x-3y-4=0上，所以可设圆心C(3a+4,a)．
因为圆C经过点A(0,2)，B(6,4)，所以|CA|=|CB|，
即(3a+4)2+(a-2)2=(3a+4-6)2+(a-4)2，解得a=0，所以圆心C为(4,0)，
因为半径r=|CA|=(4-0)2+(0-2)2=25，所以圆C的方程为(x-4)2+y2=20．
(2)设M(x,y)，则(x-4)2+y2=20，
由|MP|=2|MQ|，可得(x+6)2+y2=4[(x-6)2+y2]，
化简得(x-10)2+y2=64．
联立方程组，{(x-4)2+y2=20,(x-10)2+y2=64,解得{x=103,y=±4113
即点M的坐标为(103,4113)或(103,-4113).
【解析】本题考查了求圆的方程，圆与圆交点，属于中档题．
20.【答案】本题主要考查空间面面关系与二面角的求法，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
【解析】(1)证明：取AD的中点G，连接PG，BG，BD．
因为PA=PD，所以PG⊥AD
在△ABD中，AB=AD=2，∠DAB=60∘，
所以△ABD为等边三角形，所以BG⊥AD．
因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PBG
因为E，F分别是BC，PC的中点，所以PB//EF，
又DE//GB，所以平面PBG//平面DEF，所以AD⊥平面DEF．
因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面DEF
(2)解：由(1)知AD⊥平面PBG.因为PA=PD=10，PB=32，
所以可求得四棱锥P-ABCD的高为6．
以G为坐标原点，GA，GB的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则P(0,-3,6)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(-2,3,0)．
AP=(-1,-3,6)，BP=(0,-23,6)，BC=(-2,0,0)．
记平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则n⋅AP=-x1-3y1+6z1=0,n⋅BP=-23y1+6z1=0,令y1=2，得n=(6,2,2)．
记平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则m⋅BC=-2x2=0,m⋅BP=-23y2+6z2=0,令y2=2，得m=(0,2,2)．
因为cs
所以二面角A-PB-C为34π．
21.【答案】解：(1)由题意可知点M的坐标为(-c,b2a)，
因为AB//MO，所以kMO=kAB，即-b2ac=-ba，得b=c．
因为a2=b2+c2，所以a=2c.
因为|F1A|=2+22=a+c，所以a=22，b=2，
故椭圆C的标准方程为x28+y24=1．
(2)假设x轴上存在点T(t,0)，使得∠OTP=∠OTQ，则kTP+kTQ=0．
设直线l的方程为x=my+2(m≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立方程组x=my+2,x28+y24=1,消去x整理得(m2+2)y2+4my-4=0，
则y1+y2=-4mm2+2，y1y2=-4m2+2，
kTP+kTQ=y1x1-t+y2x2-t=y1my1+2-t+y2my2+2-t=2my1y2+(2-t)(y1+y2)(my1+2-t)(my2+2-t)=0，
即2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0．
由-8mm2+2-4m(2-t)m2+2=0(m≠0)，解得t=4，
故存在T(4,0)，使得∠OTP=∠OTQ．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，属难题．
22.【答案】(1)解：由题意知c=7，
因为双曲线C的渐近线方程为y=±32x，所以ba=32，
因为a2=c2-b2，所以a=2，b=3，
故双曲线C的标准方程为x24-y23=1;
(2)证明：设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组y=kx+m,x24-y23=1,化简得(3-4k2)x2-8kmx-(4m2+12)=0，
则Δ=(8km)2+4(4m2+12)(3-4k2)>0，即m2-4k2+3>0，且x1+x2=8km3-4k2x1x2=-4m2-123-4k2
因为DE⋅DF=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
所以(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=(k2+1)⋅-4m2-123-4k2+(km-2)⋅8km3-4k2+m2+4=0，
化简得m2+16km+28k2=(m+2k)(m+14k)=0，
所以m=-2k或m=-14k，且均满足m2-4k2+3>0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾，
当m=-14k时，直线l的方程为y=k(x-14)，过定点M(14,0)，
②当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE;y=x-2，
联立方程组y=x-2,x24-y23=1,得x=2(舍去)或x=14，此时直线l也过定点M(14,0)，
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H(8,0)，使|GH|为定值6．
【解析】本题考查了求双曲线的标准方程，双曲线中定点定制问题，属于拔高题．
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