湖北省十堰市2022-2023学年高三数学下学期4月调研考试试题（Word版附答案）

十堰市2023年高三年级四月调研考试

数  学

本试卷共4页，22题，均为必考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数的虚部为（    ）．

A．2i     B．－2i     C．2     D．－2

2．若集合，，则（    ）．

A．   B．   C．    D．

3．的展开式中的系数是（    ）．

A．    B．     C．－30     D．30

4．已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ）．

A．    B．    C．    D．

5．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（    ）．

A．    B．    C．    D．

6．已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（    ）．

A．     B．    C．     D．

7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（    ）．

A．－2024    B．2024     C．－1     D．1

8．若，，，则（    ）．

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）．

A．

B．

C．向量在向量上的投影向量为

D．向量在向量上的投影向量为

10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（    ）．

A．      B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递减    D．是奇函数

11．已知函数，则下列结论正确的有（    ）．

A．为奇函数

B．为偶函数

C．，当时，

D．，

12．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（    ）．

A．曲线W关于直线对称

B．曲线W关于直线对称

C．曲线W上的点的横坐标的取值范围为

D．曲线W上的点的横坐标的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则________．

14．若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________．

15．已知是双曲线E：上一点，，分别是双曲线E的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________．（本题第一空3分，第二空2分）

16．甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则．对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知数列的前n项之积为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求面积的最大值；

（2）若，求的周长．

19．（12分）

现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．

（1）求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

（2）已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．

20．（12分）

中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点．

（1）证明：．

（2）若，求直线CE与平面所成角的正弦值．

21．（12分）

已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若，且，求k的取值范围．

22．（12分）

已知函数．

（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；

（2）当时，求证在上只有一个零点，且．

十堰市2023年高三年级四月调研考试

数学参考答案

1．D  ，则z的虚部为－2．

2．C  因为，，所以．

3．A  的展开式中的系数是．

4．B  由题可知解得．

5．B  由题可知，的面积为，则．当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．

6．B  因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，，则球O的半径，则四面体ABCD体积的最大值为．

7．C  因为，所以

．又，所以是首项为1，公比为－1的等比数列，故．

8．A  令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，从而．

因为，所以，故．

9．BD  ，A不正确，B正确．向量在向量上的投影向量为，C不正确．向量在向量上的投影向量为，D正确．

10．ACD  因为点在的图象上，所以．又，所以．因为图象的一个对称中心是，所以，则．又，所以，则，A正确．，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．当时，，单调递减，C正确．

，是奇函数，D正确．

11．ABD  因为的定义域为R，，，所以为奇函数，为偶函数，A，B正确．令，则，易得，则单调递增．不妨令，则，则，C不正确．令，则，故当时，，D正确．

12．BD  由，得．

因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确．因为，所以曲线W关于直线对称，B正确．由，得，解得或，C不正确，D正确．

13．13  因为，所以，解得，则．

14．  由，得，则圆C与两条坐标轴相切，故k的取值范围为．

15．；  根据对称性，不妨设P在双曲线E的右支上，则．因为，的周长为，所以，所以，．在中，

，则，的面积为．

16．  列出如下树形图，可知甲获胜的概率为．

17．解：（1）由题意得，，．

所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则．

当时，由，得，则，对也成立，故．

（2）由（1）可知，，

所以，即数列的前n项和．

18．解：（1）因为，，所以，

，当且仅当时，等号成立，则．

故，即面积的最大值为．

（2）（解法一）因为，所以，

所以，

则，

则．

由，得，

故的周长为．

（解法二）由余弦定理，，，得，即．

由，得，

整理得，

分解得，

解得，

故的周长为．

19．（1）解：由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

（2）证明：当时，X的取值可能是2，3，4，

且，，，

则．

当时，X的取值可能是0，1，2，

且，，，

则．

故．

20．（1）证明：延长，并相交于点，因为，

所以，．

连接，，因为E为弧的中点，所以，为正三角形，

故．

因为平面，，所以平面．

又平面，所以．

因为，所以平面．

又平面，所以．

（2）解：以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

则，，．

设平面的法向量为，则令，得．

，

故直线CE与平面所成角的正弦值为．

21．解：（1）由题可知，．

当A为椭圆C的上顶点时，，解得，

故椭圆C的方程为．

（2）依题意可设直线l的方程为，，，．

联立方程组消去x整理得，

则，．

直线AP的方程为，

令，得．

同理可得，

则．

因为，且，所以，，故．

22．（1）解：因为，所以．

由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．

令，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

故，解得，即a的取值范围为．

（2）证明：由（1）可知，在上单调递减，且，，故，．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

因为，，所以在上只有一个零点，故在上只有一个零点．

因为，所以要证，需证，需证．

因为，所以需证．

令，，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．

从而，证毕．