2023届湖北省十堰市高三下学期四月调研考试数学试题含解析

2023届湖北省十堰市高三下学期四月调研考试数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用复数得乘除法运算求出复数z，再根据虚部得定义即可得解.

【详解】解：，

所以复数的虚部为-2.

故选：A.

2．若集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解.

【详解】因为，

，

所以．

故选：C.

3．的展开式中的系数是（    ）．

A． B． C．－30 D．30

【答案】A

【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.

【详解】因为的展开式的通项公式，

令，可得的系数是．

故选：A.

4．已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.

【详解】由题可知解得．

故选：B.

5．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.

【详解】

由题可知，的面积为，则．

则有,准线方程为，，

Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，

所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．

故选：B

6．已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由圆的面积为π，得圆的半径为1，从而求得球O的半径，

从而可得出四面体ABCD体积的最大值.

【详解】因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，，

则球O的半径，

则四面体ABCD体积的最大值为．

故选：B.

7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（    ）．

A．-2024 B．2024 C．-1 D．1

【答案】C

【分析】根据，证得数列是首项为1，公比为-1的等比数列，通过运算从而可以求出结果.

【详解】因为，

当时，所以

．

又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，

则，

故．

故选：C.

8．若，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意得，构造函数，利用求导，讨论得知当时，单调递减；当时，单调递增．故，计算可比较大小,从而可得出结论.

【详解】令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故，

可得，当且仅当时，等号成立，

从而．

因为，所以，故．

故选：A.

二、多选题

9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）．

A．

B．

C．向量在向量上的投影向量为

D．向量在向量上的投影向量为

【答案】BD

【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.

【详解】因为

，故A不正确，B正确．

如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，

故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，

由题意易得故，C不正确． ，D正确．

故选：BD

10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（    ）．

A． B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递减 D．是奇函数

【答案】ACD

【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.

【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．

因为图象的一个对称中心是，所以，则．

又，所以，则，A正确．

，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．

当时，，单调递减，C正确．

，是奇函数，D正确．

故选：ACD.

11．已知函数，则下列结论正确的有（    ）．

A．为奇函数

B．为偶函数

C．，当时，

D．，

【答案】ABD

【分析】对于A、B：根据奇偶性的定义分析判断；对于C：构建，利用导数判断单调性，分析判断；对于D：构建，利用导数求原函数的最值，分析判断.

【详解】对于A、B：因为的定义域为R，

且，，

所以为奇函数，为偶函数，

故A，B正确；

对于B：构建，则，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，故

即在上恒成立，则在上单调递增，

不妨令，则，即，

整理得，且，

则，C不正确；

对于D：构建，则，

当且仅当，即时等号成立，

故在上单调递增，则，D正确．

故选：ABD.

12．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（    ）．

A．曲线W关于直线对称

B．曲线W关于直线对称

C．曲线W上的点的横坐标的取值范围为

D．曲线W上的点的横坐标的取值范围为

【答案】BD

【分析】由特殊值结合对称性判断A；设点在曲线W上，证明点在曲线W上，从而判断B；，解不等式判断CD.

【详解】由，得．

对于A：因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确．

对于B：设点在曲线W上，则，

，

所以点在曲线W上，所以曲线W关于直线对称，B正确．

对于CD：由，得，解得或，C不正确，D正确．

故选：BD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则________．

【答案】13

【分析】由解出的值，利用模的坐标公式求.

【详解】已知向量，，

因为，所以，解得，

则，．

故答案为：13

14．若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________．

【答案】

【分析】联立方程，结合判别式分析运算.

【详解】联立方程，消去y得，

由题意可得：，

故k的取值范围为．

故答案为：.

四、双空题

15．已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________．

【答案】         

【分析】设设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及的周长可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】在双曲线中，，，则，

根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．

因为，的周长为，所以，

所以，．

在中，，

则，

所以，的面积为．

故答案为：；.

五、填空题

16．甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则．对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________．

【答案】

【分析】列出如下树形图，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.

【详解】列出如下树形图，可知甲获胜的概率为．

故答案为：.

六、解答题

17．已知数列的前n项之积为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，有，由等差数列的定义和通项公式可得；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可求解.

【详解】（1）由题意得，，．

所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，

则．

当时，由，得，则，对也成立，

故．

（2）由（1）可知，，

，

所以数列的前n项和为

.

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求面积的最大值；

(2)若，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由同角的三角函数关系可得，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式计算即可求解；

（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，即可求解.

【详解】（1）因为，，所以，

，当且仅当时，等号成立，则．

故，即面积的最大值为．

（2）由余弦定理，，，

得，即．

由，得，

整理得，

分解得，

解得，

故的周长为．

19．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．

(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据超几何分布，即可求解；

（2）当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.

【详解】（1）由题可知，

甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

（2）当时，X的取值可能是2，3，4，

且，，，

则．

当时，X的取值可能是0，1，2，

且，，，

则．

故．

20．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点．

(1)证明：．

(2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）延长，并相交于点，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值作答.

【详解】（1）延长，并相交于点，因为，则，，

连接，，因为E为弧的中点，则，为正三角形，于是，

因为平面，，则有平面，

又平面，于是，而，

平面，因此平面，又平面，

所以．

（2）以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设平面的法向量为，则，令，得，

令直线CE与平面所成角为，则，

直线CE与平面所成角的正弦值为．

21．已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若，且，求k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，利用两点求斜率公式求得，即可求解；

（2）根据题意设l的方程为()，，,联立方程组，利用韦达定理表示、，进而可得直线AP的方程，求出，同理可得，对化简计算，结合即可求解.

【详解】（1）由题可知，．

当A为椭圆C的上顶点时，，解得，

故椭圆C的方程为．

（2）依题意可设直线l的方程为，，，．

联立方程组消去x整理得，

则，．

直线AP的方程为，令，得．

同理可得，

则

.

因为，且，

所以，，又，

故．

22．已知函数．

(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；

(2)当时，求证在上只有一个零点，且．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；

（2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.

【详解】（1）因为，所以．

由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．

令，则．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故，解得，

即a的取值范围为．

（2）由（1）可知，在上单调递减，且，，

故，使得．

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

因为，，所以在上只有一个零点，

故函数在上只有一个零点．

因为，所以要证，即证，即证．

因为，得，

所以，故需证即可．

令，，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

故．即，

原不等式即证.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.