甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

兰州一中2022-2023-2学期期中考试试题

高二数学

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题）

一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．在空间直角坐标系O-xyz中，点关于xoz平面对称的点的坐标为（    ）

A．       B．       C．        D．

2．在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（    ）

A．   B．   C．   D．

3．已知，则之间的大小关系为（    ）

A．       B．     C．        D．

4．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

5．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．       C．    D．

6．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ）

A．        B．        C． D．

8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，有漏选得3分，有错选得0分）

9．下列求导运算正确的有（    ）

A． B． C． D．

10．设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（    ）

A．，，一定能构成空间的一个基底

B．若，，则

C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使

D．存在有序实数对，使得

11．关于函数，则下面四个命题中正确的是（   ）

A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增

C．函数没有最小值 D．函数的极小值为

12．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ________.

14．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为__________ .

15．已知函数，若，则实数的取值范围是_________.

四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）

如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.

(1)求正四棱锥的体积；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．（12分）

已知函数．

(1)求函数的极值及相应的的值；

(2)过点做曲线y =的切线，求切线方程．

19．（12分）

四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；

(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

20．（12分）如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．

(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；

(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？

21．（12分）

在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，是的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．

22．（12分）

已知函数有两个极值点.

(1)求实数的取值范围；

(2)，求实数 的取值范围.

兰州一中2022-2023-2学期期中考试高二数学参考答案

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

二、多项选择题（共20分,全部选对得5分，有漏选得3分，有错选得0分）

三、填空题：（每小题5分，共20分）

13．       14．      15．       16．

四．简答题

17．【详解】（1）设，则是的中点，连接，由于是的中点，所以，，由于平面，所以平面，所以.

（2）依题意可知两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

，，设平面的法向量为，

则，故可设，设直线与平面所成角为，

则.

18．【详解】（1）定义域为，

令，解得或

∴时，有极大值，时，有极小值－8．

（2）设切点为，斜率为，∴切线方程为，又∵过点∴∴∴或∴切点为或，切线方程为或

19．【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,

在中，

因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，

则点A、B、D、P的坐标分别是，

E是PB的中点，则，于是，.

设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因为，,设平面PAD的法向量，则，令，则，所以，又，则点E到平面PAD的距离.

20．(1)，定义域为；

(2)当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是

【详解】（1）在中，

因为，所以，

设圆柱的底面半径为r，则，即，

所以，定义域为

（2）由（1）得，，

，令，则，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是

21．【详解】（1）证明：连接，，，是等边三角形，又是的中点，，平面，平面，，又，平面，平面，又平面，平面平面．

（2）解：平面，为与平面所成的角，即，

又平面，所以，是边长为的等边三角形，，

，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令可得，平面，故为平面的一个法向量，，显然二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．

22．【详解】（1）由可得，因为函数有两个极值点，故是即的两个正根，则，即，即实数的取值范围为.

（2）由（1）可知，，

，由于，故，设，故在上单调递增，故由可得，即实数的取值范围为.