重庆市第一中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2023年重庆一中高2024届高二下期期中考试

数学测试试题卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设命题：，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：命题：，为全称量词命题，

则为：，.

故选：C

2. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式，代入求值.

【详解】展开式的通项公式为，令，

得.

故选：B

3. 下图是根据某班学生体育测试成绩画出的频率分布直方图，由直方图得到的中位数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断出中位数落在哪一组，再设中位数为，列出方程，求解即可．

【详解】由图可知，第一组的频率为：，

前两组的频率为：，

前三组的频率为：，

所以中位数在内，设中位数为，

则，解得，

故选：D．

4. 某学校为举行校园艺术节活动，共有个节目，要求节目不排在最后且节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设另外三个节目为,分三步完成，根据乘法分步原理得解.

【详解】设另外三个节目为,先把节目捆绑，有种方法；

再把看作一个整体，和节目一起排列，有种方法；

前面四个节目排好产生5个空，但是节目不能排在最后，

所以节目A只能插入左边4个空里，有种方法.

根据乘法分步原理得共有种方法.

故选：C

5. 已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案.

【详解】设，则，，

故，

由于线段的中点坐标为，

故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，

故，即，

所以直线的斜率为.

故选：C

6. 已知函数有两个极值点， 则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求定义域，求导，构造，对进行分类讨论，分析函数的极值点，求出答案.

【详解】的定义域为，

，

令，由，即当时，恒成立，

故恒成立，

此时在上单调递增，不会有两个极值点，舍去；

当，即时，有两根，，

当时，不合要求，符合要求，

令得，，令得，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故只有一个极值点，不合题意；

当时，令得，令得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以只有一个极值点，不合题意，

当时，，，

令得，或，令得，，

故在，上单调递增，在上单调递减，

故为极大值点，为的极小值点，满足要求.

故实数的取值范围是.

故选：D

7. 已知，则的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.

【详解】，设，则.

于是，

令，则，

当，即，也即时，取到最小值.

故选：C

8. 已知随机变量的分布列服从，记，在上的最大值为，若正整数满足，则和的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】计算，设，求导得到函数单调性，计算，判断函数的单调性得解.

【详解】，

，

设，

当时，，故，

所以在上递增，所以，

，

当时，，

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A. 当时，

B. 若时，

C. 若，则

D. 当时，的最小值为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及列举法，即可求解．

【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；

对于B，令，，满足，但，故B错误；

对于C，令，，，满足，但，故C错误；

对于D，，

当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D正确．

故选：AD．

10. 下列说法中，正确命题有（    ）

A. 已知随机变量服从正态分布，，则

B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则 的值分别是和0.3

C. 8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法

D. 若样本数据的方差为2，则数据，，的方差为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；

对于C，利用分组分配的方法，列式求解；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.

【详解】对于A，因，且，于是得

，A不正确；

对于B，由得，依题意得，，即，B正确；

对于C，将8个完全相同的小球分为1，2，5或1，3，4两种分组，再放入三个空盒，有种方法， C正确；

对于D，依题意，，，，的方差为，D不正确．

故选：BC．

11. 已知某一物品的单件回收费为，根据以往回收经验可得，随机变量的分布列如图所示，其中结论正确的是（    ）

A.

B. 若该物品4件，其中2件单件回收费为2的概率为

C. 若该物品4件，单件回收费不为0件数为，则

D 当时，取得最小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据分布列的性质可以求出从而判断A选项，由二项分布的性质可以解决BC选项，根据方差公式可解决D选项.

【详解】A选项，根据分布列的性质，，解得，A选项正确；

B选项，由题意，，于是，B选项错误；

C选项，回收费用不是的概率为，由题意，，根据二项分布的期望公式，

D选项，由题意，，，根据方差的计算公式：，

由于，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，D选项正确.

故选：ACD

12. 小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说法正确的是（    ）

A. 小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条

B. 小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条

C. 小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为

D. 小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据组合公式和最短路径的几何特点即可求解.

【详解】由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

A：小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，正确；

B：小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；

C：小明到的最短路径走法有条，再从F处和小兵一起到科技博物馆的路径最短有3条，而小明到科技博物馆共有条，所以到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为，正确；

D：由C选项知：，事件的概率，所以，正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个袋子中装有大小和质地均相同的3个黑球和和2个白球，则从中摸出2个球恰好是1个黑球和1个白球的概率为________．

【答案】##

【解析】

【分析】分别求出从3个黑球和和2个白球摸出2个球的所有情况数和恰好是1个黑球和1个白球的情况数，根据古典概型计算概率即可．

【详解】从3个黑球和和2个白球摸出2个球，共有种情况，

摸出2个球恰好是1个黑球和1个白球，共有种情况，

所以从3个黑球和和2个白球摸出2个球，恰好是1个黑球和1个白球的概率为，

故答案为：．

14. 若随机变量，且，则的值是________．

【答案】##

【解析】

【分析】首先由二项分布的数学期望求出，再根据二项分布概率公式即可计算概率．

【详解】因为随机变量，且，

所以，解得，

所以，

故答案为：．

15. 有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的列联表：

其中均为大于的整数，则________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“和之间有关系”.附：

【答案】

【解析】

【分析】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值.

【详解】由题意知：,

则，

解得：或（舍去），

因为：且，，

综上得：，，

所以：.

故答案为：6.

16. 某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为.现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】利用互斥事件的和事件的概率加法公式和独立事件的积事件的概率乘法公式即可求解.

【详解】依题意，.

故答案为：.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合和非空集合

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，求出时集合B，再求；

（2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m的取值范围．

【小问1详解】

不等式解得，则有，

当时，，.

【小问2详解】

因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，

则有，由于等号不能同时成立，故，

所以实数的取值范围.

18. 根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下：

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，请用相关系数说明相关关系的强弱；（，则认为与线性相关性很强）

（2）建立关于的回归方程，并预测我国2025年的新生儿数量.

参考公式及数据：.

【答案】（1）答案见解析；   

（2），472.7万人.

【解析】

【分析】（1）求出相关系数即得解；

（2）利用最小二乘法求出关于的回归方程，再预测我国2025年的新生儿数量.

【小问1详解】

，

，故与线性相关性很强..

从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

【小问2详解】

，

.

故，

所以，

所以关于的回归方程为，

将2025年对应的年份编号代入回归方程得

所以我国2025年的新生儿数量约为472.7万人.

19. 已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的定义和渐近线方程即可求得双曲线的标准方程.

（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理表示出弦长，即可得出答案.

【小问1详解】

由条件知，，

故.

即双曲线标准方程为.

【小问2详解】

设，到直线的距离为，

联立得，

由，解得，

又，故，

而又由，

故弦长，，

又，

解得，，

又，故.

20. 已知正项数列满足：；为数列为的前项和，，对任意的自然数，恒有.

（1）求数列的通项公式及其前项和；

（2）证明：数列是等差数列，并求其通项公式.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，

【解析】

【分析】（1）由题目条件可得，即可得是以为首项，公比为3的等比数列，代入公式即可求得通项公式和前项和；

（2）由利用等差中项性质即可得，即可得数列是，公差的等差数列，所以.

【小问1详解】

由题意可知，，且

即可得，即

 所以是首项为，公比为3的等比数列，

所以，即数列的通项公式为

由等比数列前项和公式可得;

【小问2详解】

在中,令得，，又

由得：    

两式相减得：

即 

当时，由①可得：

   可得对任意的都成立，

   故是等差数列，首项是，公差是

  从而，

所以数列的通项公式为

21. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：， ，，， ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．

（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的方差；

（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；

（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在 两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．

【答案】（1）1.5    （2）分布列见解析，   

（3）6

【解析】

【分析】（1）由题可知，抽到一级口罩的频率为0.25，且，根据二项分布的方差公式，计算结课；

（2）根据题意知，可能的值有，计算对应概率，写出分布列和期望即可；

（3）设甲乙抢购成功的订单总量为，由题可知，可能为，计算出对应概率，求出，结合，化简，最后用导数找出最大值，求解即可．

【小问1详解】

（1）由题知，抽到一级口罩的频率为，则，

故．

【小问2详解】

按分层抽样抽取8个口罩，则其中一级、二级口罩个数分别为，，

故可能的取值为0，1，2，

，，，

的分布列为

．

【小问3详解】

设甲乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0，1，2,

，

，

，

所以

，

因为，所以，

令，设，

则，

因为，

所以当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故当，即时，取最大值，

所以，所以取最大值时，正整数．

22. 已知函数.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若，当时，判断函数的零点个数.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）只有1个零点.

【解析】

【分析】（1）求出，再对分和两种情况讨论得解；

（2）求出，再对分三种情况讨论，得到每一种情况下，在上都只有1个零点，综合即得解.

【小问1详解】

，因为

故当时，在上恒成立,所以函数的增区间为；

当时，令得，令得，

综上当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为.

【小问2详解】

，定义域为.

令，

当时，,故在上单调递增，

又

故当时， 恒成立，

当时， 恒成立，且

综上，在上单调递增，

又，故在上只有1个零点

当时，在上单调递增，

令，则在上恒成立

所以在上单调递增，故，故

所以存在唯一，使得，即

当时，，故,

当时，，故

当时，，故,

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

因为

所以当时，在上只有1个零点，

当时，在上单调递增

因为

所以存在唯一，使得，即

当时，，故

当时，，故

当时，，故，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

因为

所以当时，恰有1个零点，

当时，

，令，解得：

所以

令，则

所以在上单调递增，  故

所以

故当时，无零点

当时，在上只有1个零点

综上，当时，函数在上只有1个零点

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的零点问题，常用的方法是：（1）方程法，直接解方程得解；（2）图象法，直接画出函数的图象分析得解；（3）方程+图象法，令得到，再画出函数的图象分析得解.