浙江大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

2022学年第二学期浙大附中期中考试

高二数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.设复数满足，则在复平面内对应的点在第几象限.（    ）

A.一 B.二 C.三 D.四

3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

4.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（    ）

A.4 B.3 C. D.

5.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ）

A.1 B. C. D.

6.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行。甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（    ）

A.96种 B.60种 C.36种 D.24种

7.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点，若，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，，其中，，，则（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（    ）

A.若，，则 B.若，，，则

C.若，，，则 D.若，，，则

10.已知圆，点是圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A.圆关于直线对称 B.直线被圆所截得的弦长为

C.的最大值为  D.的最小值为

11.已知函数，则（    ）

A.的极小值为2  B.有两个零点

C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线确的有

12.已知数列满足，，，为数列的前项和，则下数说法正确的有（    ）

A.为偶数时， B.

C.  D.的最大值为20

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.展开式中的常数项为______.

14.已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱的底面直径为8，则该圆柱的体积为______.

15.已知等差数列的前项和为，，，则的取值范围为______.

16.若对任意正实数，都有，则实数的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知，记，函数

（1）写出的解析式，并求出的最小值.

（2）若函数在上是单调函数，求的取值范围.

18.（12分）已知函数，.

（1）求函数的最小值和最小正周期；

（2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.

19.（12分）在①，②，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.

已知数列的前项和是，数列的前项和是，______，

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

20.（12分）如图：已知所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若为线段上的点，且与平面的夹角为45°，求平面与平面夹角的余弦值.

21.（12分）已知，平面内一动点满足.

（1）求点运动轨迹的轨迹方程；

（2）已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由.

22.（12分）已知函数.

（1）当时，求在上的值域；

（2）若有两个零点，，且，证明：且.

2022学年第二学期浙大附中期中考试

高二数学答案

13.    14.    15.    16.

17.解：（1）作出函数和的图象，如图，

∴所以的最小值为.

（2），∴

18.解：（1），∴的最小值为，最小正周期为.

（2）∵.即，

∵，，∴，∴.

∵与共线.∴.由正弦定理.得，①

∵.由余弦定理.得，②

解方程组①②，得

19.解：（1）选①，，可得，即，

当时，，又，

两式相减可得，即有，

则数列是首项和公比均为3的等比数列，所以；

选②，可得，解得，

当时，，又，

两式相减可得，则，

即为，，……，，

所以，即，，

（2）证明：若选①，可得，

设，

，

上面两式相减可得

，所以，

若选②，可得，

则.

20.解：（1）证明：在菱形中，因为，所以为正三角形，

又因为为的中点，所以，

因为平面平面，为平面与平面的交线，

所以平面，又因为平面，所以.

（2）因为，为的中点，所以，

又因为，，所以平面，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，

设，则，，，

，，，，，

设，其中，则，

因为为平面的法向量，

所以，得，

即是的中点，所以.

设为平面的法向量，则 

令，得，取，

设为平面的法向量，则得出

令，得，，取，

设平面与平面夹角为，则.

21.解：（1）设，则，

所以点轨迹方程为：；

（2）显然直线不垂直于轴，故设，，，

代入并整理得：，

，

∴

整理得：，若，此时过，不合题意；

若，即符合题意，故直线的斜率为.

22.解：（1）当时，，则.

当时，，当时，.

故，

因为，，

所以，

故在上的值域为.

（2）证明：因为有两个零点，，所以解得.

又，不妨令，则，所以.

要证，只需证.

由（1）可知，，，则.

因为当时，在上单调递减，

所以要证，只需证.

因为，所以等价于.

令函数，，

则.

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，即在上单调递减，所以.

故，则.