2022-2023学年福建省泉州市晋江市安海片区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市晋江市安海片区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，是关于，的二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知是方程的一个解，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  关于的不等式组恰好有个整数解，则满足(    )

A.  B.  C.  D.

9.  相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”来了的客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有三分之一的客人走了，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了”剩下的人一听，是我们该走啊又有剩下的五分之三的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们”于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道开始来了几位客人吗？(    )

A. 位 B. 位 C. 位 D. 位

10.  设不大于的最大整数为，如已知，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  “的倍与的和大于”用不等式表示：______ ．

12.  已知方程，若用含的代数式表示，则 ______ ．

13.  若是关于的方程的解，则的值为______ ．

14.  已知，则 ______ ．

15.  三元一次方程组的解是______．

16.  某班有名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和化学小组的有______ 人

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
解方程组：

19.  本小题分
解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
若方程组和方程组有相同的解，求，的值．

21.  本小题分
设有四个数，其中每三个数的和分别是、、、求这四个数．

22.  本小题分
小明在某商店购买商品，共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如表：

求商品，的标价；
若商品，的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？

23.  本小题分
解关于的不等式．

24.  本小题分
若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“和谐代数式”例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为；在时有最小值，最小值为，此时最值和均在含端点这个范围内，则称代数式是的“和谐代数式”．
若关于的代数式，当时，取得的最大值为______ ；最小值为______ ；代数式 ______ 填“是”或“不是”的“和谐代数式”；
以下关于的代数式，是的“和谐代数式”的是______ ；
；；；
若关于的代数式是的“和谐代数式”，求的最大值和最小值．

25.  本小题分
如图，已知数轴上的点，对应的数分别是和，点是数轴上一动点．
若点到点，的距离相等，求点对应的数；
若点从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得点到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动，经过秒相遇；若点从点出发向点运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据解一元一次方程的一般步骤：移项、系数化为即可．
本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是掌握解方程的一般步骤．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是代数式，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、方程左边不是整式，故C不符合题意；
D、是二元一次方程，故D符合题意；
故选：．
根据二元一次方程的定义求解即可．
本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：．
分别解出各个不等式的解集即可判断出答案．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为，故B正确．
故选：．
加减消元法解二元一次方程组即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法，准确计算．
 

5.【答案】 

【解析】解：是方程的一个解，
满足方程，
，即，
解得．
故选：．
把方程的解代入方程，把关于和的方程转化为关于的方程，然后解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
 

7.【答案】 

【解析】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤等于两，
，
互换其中一只，恰好一样重，
，即，
联立方程组得，
，
故选：．
五只雀、六只燕，共重斤等于两，设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程．
本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有个整数解，
不等式组的整数解为、、，
，解得，
故选：．
先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有个整数解，得出关于的不等式求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设开始来了位客人，
根据题意得，
解得，
开始来了位客人，
故选：．
设开始来了位客人，则第一次离开人，第二次离开人，可列方程，解方程求出的值即可．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第一次离开的人数及第二次离开的人数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
由题意可得：，
解得：，
故选：．
根据得出不等式组，即可解答．
本题考查了不等式组的定义，利用得出不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：．
故答案为：．
根据题意得出大于，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
移项，得．
故答案为：．
要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的解，
，
解得：．
故答案为：．
直接把的值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，即，
得，，
．
故答案为：．
根据绝对值与平方式的非负性分别求出，的值即可得出答案．
本题考查了非负性的性质，代数式求值，掌握非负性求出，的值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
得：，
整理得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
方程组三个方程左右两边相加求出的值，进而求出，，的值即可．
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

16.【答案】 

【解析】解，设同时参加数学和化学小组的有人，
，
，
故答案为人．
本题可设同时参加数学和化学小组的人数为人，则可知等量关系为：参加数学、物理、化学的人数和同时参加两个小组的人数全班总人数，得到对应的参加数学和化学小组的人数．
本题考查了一元一次方程的应用，通过找到等量关系，列出一元一次方程，并求出解来解决实际应用问题．
 

17.【答案】解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成，得． 

【解析】去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

18.【答案】解：
得：   
得：

把代入得
 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
这个不等式组的解集是：，
把解集在数轴上表示为：
． 

【解析】根据不等式的基本性质，分别解不等式，并在数轴上确定不等式的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的基本步骤是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：将和组成方程组得，，
解得，，
将分别代入和得，，
解得． 

【解析】将和组成方程组求出、的值，再将分别代入和求出、的值．
本题考查了二元一次方程组的解，将、的值代入，转化为关于、的方程组是解题的关键．
 

21.【答案】解：每三个数之和分别为、、、，它一共加了个数，
这四个数每个数都加了次，
设这四个数的和为，依题意有：
，
解得，
四个数的和为，而其中三个数的和为、、、，
则有，，，，
这四个数分别为、、、． 

【解析】由于四个数，其中每三个数的和分别是、、、，那么得到这四个数每个数都加了次，这样就有则为这四个数的和，然后利用这个和分别减去已知数据即可求解．
此题主要考查了一元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确把握题目的数量关系列出等式解决问题．
 

22.【答案】解：由表中数据可知，小明以折扣价购买商品、是第三次购物．
设商品的标价为元，商品的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：商品的标价为元，商品的标价为元；
设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得：，
解得：，
答：商店是打折出售这两种商品的． 

【解析】设商品的标价元，商品的标价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
设商店是打折出售这两种商品的，由打折之后购买个商品和个商品共花费元，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

23.【答案】解：，
，
，
当时，；
当时，． 

【解析】根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．解一元一次不等式的基本步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

24.【答案】    不是   

【解析】解：，
，
，
的最大为最小值为，
 显然的取值范围不在得范围之内，故它不是和谐代数式．
中时，：时，．
，
 显然不在范围内，故不是和谐代数式．
中，时有最大值为，时有最小值为，
．
 显然刚好在范围内，故是和谐代数式．
中，时有最小值，或时有最大值．
．
 显然不在范围内，故不是和谐代数式．
在中，
  当时，时有最大值为，时有最小值为，
  所以，
  当时，时有最大值为，时，有最小值，
  所以，
 当时，或时有最大值为，时，有最小值，
  所以，
  而当时，，但是每增加，增加，此时的范围就不在变化的范围之 内．也就不一定为的“和谐代数式”了．
综上所述对于代数式是的“和谐代数式”，问题的解答，正确答案为．
  ，
，
，
  当时，时，有最大值为，
                    或时有最小值为，
所以可得不等式组，解得，，
所以．
时，时，
有最小值为，
或时的有最大值为，
所以可得不等式组，解得，，，且，
所以无解，
综上可得，
所以的最大值为，最小值为．
方法一：根据绝对值的几何意义，我们可以设数轴上有一点所对应的数为，那么可以看作数轴上这一点到这个数所对应的点的距离，当时，显然时它们的距离最大，时候它们距离最小，进而求出最大值和最小值，求出最大值和最小值之后也就求出了的取值范围，根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
   方法二：因为，所以，进而求出的范围为，然后再根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
观察为可以看成一次函数我们直接代入和即可得到它的取值范围；显然可以看成对称轴为轴的二次函数，代入时代数式有最大值，代入时代数式有最小值；可以看成一个分段函数，分为和两段范围讨论这个代数式的最大值和最小值；最后根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
关键要讨论出的最大值和最小值，并且用含的代数式表示出来．
当，时，有，所以，所以时，的最大值为，或时的最小值为；所以可得不等式组．
当，时，有，所以，所以时，的最小值为，或时的最大值为；所以可得不等式组．
分别解两个不等式组即可得到答案．
本题考查了代数式取值范围，难度较大，比较考查学生的综合分析能力，同时也考查了一元一次不等式组的解集问题．
 

25.【答案】解：点、对应的数分别是和，
设点对应的数为，则，，
，
，
解得：，
点对应的数为；
存在，理由如下，
由题意可知，设运动时间为秒，
对应的数为，
则，，
当时，解得，
当时，解得，
答：当或时，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍；
设点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒，
根据题意得，
解得
答：点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒． 

【解析】设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数；
表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可；
设点的运动速度单位长度秒，点的运动速度单位长度秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案．
本题考查数轴上的点表示的数及两点间的距离、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识，根据题中描述找到等量关系式是解题的关键．