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江苏省无锡市宜兴外国语学校2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）(解析版)
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这是一份江苏省无锡市宜兴外国语学校2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）(解析版)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．±9
2．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×106 C．0.55×108 D．5.5×107
3．下列调查方式中适合的是（ ）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
4．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，则1+a＞b﹣1
6．在音乐比赛中，常采用一“打分类制”，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣4 D．4
9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）
11．分解因式：4ax2﹣a＝ ．
12．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝ 度．
14．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是 边形，其对角线条数是 ．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k的值为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使CE＝BD，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是 ．
17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
18．直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（1）计算：．
（2）化简：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）．
20．（1）解方程：x2﹣4x＝1；
（2）解不等式组，并写出x的所有整数解．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．
22．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
23．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
24．如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上；
（2）在图②中，作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
25．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
26．如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，对角线BD长为12．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．
①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；
②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？
27．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150°，则这个平行四边形的变形度是 ；
猜想证明：
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．
28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．±9
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
解：|﹣9|＝9．
故选：A．
2．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×106 C．0.55×108 D．5.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：5500万用科学记数法表示为5.5×107．
故选：D．
3．下列调查方式中适合的是（ ）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解：A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批节能灯全部用于实验；
B、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式；
C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，难度比较大，应该选取抽样调查的方式才合适；
D、调查全市中学生每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；
故选：C．
4．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
解：根据主视图和左视图都为三角形，俯视图是矩形，可得这个几何体为四棱锥，
故选：A．
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，则1+a＞b﹣1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解：A、两边都加c不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减c不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、c＝0时，ac2＝bc2，故C符合题意；
D、a＞b，则1+a＞b+1＞b﹣1，故D不符合题意；
故选：C．
6．在音乐比赛中，常采用一“打分类制”，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：B．
7．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝，
故选：B．
8．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣4 D．4
【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△AOB＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△AOB＝S△OBP＝4，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBE＝k，
∴k＝4
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HG⊥CD于E．证明△ADP∽△DHE，推出∠DHE＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CE⊥HF时，CE的值最小，想办法求出CG即可．
解：如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HG⊥CD于G．
∵DE⊥PE，DH⊥AC，
∴∠DEP＝∠DHA，
∵∠DPE＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDE，
∴，∠ADH＝∠PDE，
∴∠ADP＝∠HDE，
∴△ADP∽△DHE，
∴∠DHE＝∠DAP＝定值，
∴点E在射线HF上运动，
∴当CE⊥HF时，CE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝5，DH＝，
∴CH＝＝，
∴GH＝
∵∠CFE＝∠HFG，∠CEF＝∠HGF＝90°，CF＝HF，
∴△CEF≌△HGF（AAS），
∴CE＝HG＝，
∴CE的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）
11．分解因式：4ax2﹣a＝ a（2x﹣1）（2x+1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4ax2﹣a
＝a（4x2﹣1）
＝a（2x﹣1）（2x+1）．
故答案为：a（2x﹣1）（2x+1）．
12．如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
13．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝ 50 度．
【分析】连接OD，由∠BED的度数，推出∠BOD的度数，然后由邻补角的性质即可推出∠AOD的度数，最后根据圆周角定理即可推出∠ACD的度数．
解：连接OD，
∵∠BED＝40°，
∴∠BOD＝80°，
∵AB为直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠ACD＝50°．
故答案为50．
14．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是 十二 边形，其对角线条数是 54 ．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∴多边形的对角线的条数是：＝＝54，
故答案为：十二；54．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k的值为 ﹣5 ．
【分析】把（2，﹣3）代入反比例函数y＝得k的方程，即可得到k的值．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），
∴k﹣1＝2×（﹣3），
解得k＝﹣5，
故答案为﹣5．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使CE＝BD，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是 ．
【分析】取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，易证△FDG≌△FCE（SAS），即可得出FG＝EF，因为在△ADB中，FG为中位线，即FG＝AB．再利用勾股定理求得AB即可．
解：如图，取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，
∵点F为AD中点，
在Rt△ACD中，CF＝DF＝AF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ECF＝∠FDG，
∵CE＝BD，
∴DG＝CE，
在△FDG和△FCE中，
，
∴△FDG≌△FCE（SAS），
∴EF＝FG，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
由勾股定理得，
AB＝＝＝2，
在△ADB中，FG为中位线，
∴FG＝AB＝，
∴EF＝．
故答案为：．
17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 16 cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
【分析】（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．
（2）如图3中，连接EF交OC于H．想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，
∵OE＝OF＝1cm，
∴EF＝2cm，
∴AB＝CD＝2cm，
∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16（cm），
故答案为16．
（2）如图3中，连接EF交OC于H．
由题意CE＝CF＝×6＝（cm），
∵OE＝OF＝1cm，
∴CO垂直平分线段EF，
∵OC＝＝＝（cm），
∵•OE•EC＝•CO•EH，
∴EH＝＝（cm），
∴EF＝2EH＝（cm）
∵EF∥AB，
∴＝＝，
∴AB＝×＝（cm）．
故答案为．
18．直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 a≥或a＜﹣或a＝﹣1 ．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
故答案为：a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（1）计算：．
（2）化简：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，即可解答．
解：（1）
＝4×+1﹣2
＝2+1﹣2
＝1；
（2）（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）
＝a2+2ab+b2+2a2﹣ab﹣b2
＝3a2+ab．
20．（1）解方程：x2﹣4x＝1；
（2）解不等式组，并写出x的所有整数解．
【分析】（1）两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的解集为﹣2、﹣1、0、1．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D，又CE＝AF，可得DE＝BF，根据“SAS”即可得出△ADE≌△CBF；
（2）根据平行四边形的性质可得∠DCA＝∠CAB，根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠CAB，进而得出∠DCA＝∠EAC，可得AE＝EC，然后证明四边形AECF为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF为菱形．
解：（1）证明：在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D．
∵CE＝AF，
∴DC﹣CE＝AB﹣AF，即DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）四边形AECF是菱形．
在▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC恰好平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
∵AB∥DC，CE＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．
22．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
【分析】（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
解：（1）数据总数为：21÷21%＝100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4＝25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m＝40÷100×100＝40；
“E”组对应的圆心角度数为：360°×＝14.4°；
（3）3000×（25%+）＝870（人）．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
23．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，（1分）
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；
（2）组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
或列树状图为：
∴这个两位数大于22的概率为．
24．如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上；
（2）在图②中，作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ；
（2）根据线段垂直平分线的性质和经过半径外端垂直于半径的直线是切线即可作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
解：（1）如图①，菱形MPNQ即为所求；
（2）如图②，⊙O即为所求．
25．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
【分析】（1）根据题意即可得出y与x的函数关系式；
（2）分0≤x≤5和5＜x≤15两种情况讨论，根据题意可得到w与x的关系式，再根据一次函数与二次函数的性质解答．
解：（1）270÷5＝54，（570﹣270）÷（15﹣5）＝30，
当5＜x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（x为正整数），根据题意得：
，解得，
∴y＝30x+120，
∴y与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）当0≤x≤5时，w＝（80﹣50）×54x＝1620x，
∵1620＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w最大＝1620×5＝8100；
当5＜x≤15时，w＝[80﹣50﹣2（x﹣5）]×（30x+120）＝﹣60x2+960x+4800，
对称轴，
∴x＝8时，＝8640．
∵8640＞8100，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
26．如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，对角线BD长为12．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．
①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；
②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？
【分析】（1）连接AC交BD于O，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠BCO＝∠BCD＝60°，OB＝OD＝BD＝6，在Rt△BOC中，由三角函数求出BC＝4，即可得出菱形ABCD的周长；
（2）①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则PM＝QM，由平行线求出BP＝DQ，根据题意得：AP＝t，DQ＝2t，则BP＝4﹣t，得出4﹣t＝2t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ＝90°，与平行线的性质得出∠AQD＝∠PAQ＝90°，则∠DAQ＝30°，由直角三角形的性质得出DQ＝AD＝2，即2t＝2，求出t的值即可；
若∠APQ＝90°，作AN⊥CD于N，则∠PAN＝90°，NQ＝AP＝t，由直角三角形的性质得出DN＝AD＝2，得出方程2t＝2+t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，证出∠BPQ＝90°，即∠APQ＝90°恒成立．得出当2≤t＜4时△APQ都为直角三角形；即可得出答案．
解：（1）连接AC交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠BCO＝∠BCD＝60°，OB＝OD＝BD＝6，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16；
（2）①当点Q在CD边上时，
设PQ交BD于M，则PM＝QM，
∵AB∥CD，
∴＝＝1，
∴BP＝DQ，
根据题意得：AP＝t，DQ＝2t，则BP＝4﹣t，
∴4﹣t＝2t，
解得：t＝；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ＝90°，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠AQD＝∠PAQ＝90°，
∴∠DAQ＝30°，
∴DQ＝AD＝2，
即2t＝2，
解得：t＝；
若∠APQ＝90°，如图3所示：
作AN⊥CD于N，则∠PAN＝90°，NQ＝AP＝t，
∴∠DAN＝30°，
∴DN＝AD＝2，
∵DQ＝DN+NQ，
∴2t＝2+t，
解得：t＝2；
当点Q在CB边上时，如图4所示：
根据题意得：AP＝t，BP＝4﹣t，CQ＝2t﹣4，
∴BQ＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t，
∴BP＝BQ，
作QH⊥BP于H，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ＝4﹣t，
∴BP＝BH，即H与P重合，
∴∠BPQ＝90°，
即∠APQ＝90°恒成立．
∴当2≤t＜4时△APQ都为直角三角形．
综上可得，当t＝或2≤t＜4时，△APQ恰好为直角三角形．
27．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150°，则这个平行四边形的变形度是 2 ；
猜想证明：
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性质得到∠A1B1E1＝∠A1D1B1，根据平行线的性质得到∠A1E1B1＝∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1E1B1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，证得∠A1B1C1＝45°，于是得到结论．
解：（1）∵平行四边形有一个内角是150°，
∴α＝30°，
∴＝＝2；
故答案为：2；
（2）＝，
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝；
（3）如图2，∵AB2＝AE•AD，
∴A1B12＝A1E1•A1D1，即＝，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，
由（2）知，＝；
可知＝＝，
∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．
28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用A坐标和A、B关于直线x＝1对称求得点B坐标，即能用交点式表示抛物线解析式，再化简为一般式．
（2）求点M坐标和直线AM解析式；利用旋转求点A1坐标，把A1横坐标代入直线AM解析式求得y的值与A1总坐标相等，即点A1在直线AM上，得证．
（3）设点P（s，t）在旋转前对应点E，分别过点E、P作x轴垂线EG、PH，构造△BEG≌△PBH，由对应边相等推得点E坐标为（5+t，5﹣s），代回原抛物线解析式得到s与t的关系式．点D即s＝0时，求得t＝﹣10，点M即5+t＝1，5﹣s＝﹣4求得M1（9，﹣4），即MM1∥x轴．把四边形PM1MD分成△M1MD和△PM1D求面积和，其中△M1MD面积固定；PH与M1D交于点Q，则△PM1D面积等于PQ与点M1横坐标的积的一半．把前面所求s与t的关系书代入PQ的式子，即得到四边形PM1MD面积与t的二次函数关系，求得顶点式且顶点横坐标在可取值范围内，即求得P的坐标和面积最大值．
解：（1）∵原抛物线与x轴的交点为A（﹣3，0）和B
∴点A、B关于对称轴：直线x＝1对称
∴点B坐标（5，0）
∴原抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣5）＝x2﹣x﹣
（2）证明：∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣4
∴M（1，﹣4）
设直线AM解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣3
∵点A绕点B逆时针方向旋转90°得点A1
∴A1B＝AB＝5﹣（﹣3）＝8，∠ABA1＝90°
∴A1B⊥x轴，即xA1＝xB＝5
∴A1（5，﹣8）
当x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣5﹣3＝﹣8
∴点A1在直线AM上
∴A，M，A1三点在同一直线上
（3）设原抛物线上的点E经旋转后为新抛物线上的点P，P在抛物线上DM1之间，如图1，
连接BE、BP、DM1，过点E作EG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，交DM1于点Q
∴∠EBP＝∠EGB＝∠BHP＝90°，BE＝BP
∴∠EBG+∠HBP＝∠EBG+∠GEB＝90°
∴∠HBP＝∠GEB
在△BEG与△PBH中
∴△BEG≌△PBH（AAS）
∴EG＝BH，BG＝PH
设P（s，t）（s≥0，t＜0）
∴BG＝PH＝﹣t，EG＝BH＝|s﹣5|
∴xE＝5﹣（﹣t）＝5+t
当s≤5时，EG＝BH＝5﹣s，点E在x轴上方
∴yE＝5﹣s
当s＞5时，EG＝BH＝s﹣5，点E在x轴下方
∴yE＝﹣（s﹣5）＝5﹣s
∴点E（5+t，5﹣s）在原抛物线上
∴（5+t）2﹣（5+t）﹣＝5﹣s
整理得：s＝﹣t2﹣2t+5
当s＝0时，﹣t2﹣2t+5＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣10
∴D（0，﹣10）
∵M（1，﹣4）即
解得： 即点M1（9，﹣4）
∴MM1∥x轴，MM1＝8，0≤s≤9，﹣10≤t≤﹣4
∴直线DM1解析式为y＝x﹣10
∴Q（s，s﹣10）
∴PQ＝s﹣10﹣t＝（﹣t2﹣2t+5）﹣10﹣t＝﹣t2﹣t﹣
∴S四边形PM1MD＝S△M1MD+S△PM1D＝M1M•（yM﹣yD）+PQ•（xM1﹣xD）＝×8×6+（﹣t2﹣t﹣）＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+7）2+
∴当t＝﹣7时，Smax＝
∴s＝﹣t2﹣2t+5＝﹣×49﹣2×（﹣7）+5＝
∴点P坐标为（，﹣7）使四边形PM1MD的面积最大，最大值为．
2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．±9
2．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×106 C．0.55×108 D．5.5×107
3．下列调查方式中适合的是（ ）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
4．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，则1+a＞b﹣1
6．在音乐比赛中，常采用一“打分类制”，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣4 D．4
9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）
11．分解因式：4ax2﹣a＝ ．
12．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝ 度．
14．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是 边形，其对角线条数是 ．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k的值为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使CE＝BD，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是 ．
17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
18．直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（1）计算：．
（2）化简：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）．
20．（1）解方程：x2﹣4x＝1；
（2）解不等式组，并写出x的所有整数解．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．
22．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
23．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
24．如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上；
（2）在图②中，作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
25．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
26．如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，对角线BD长为12．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．
①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；
②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？
27．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150°，则这个平行四边形的变形度是 ；
猜想证明：
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．
28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．±9
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
解：|﹣9|＝9．
故选：A．
2．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（ ）
A．55×106 B．5.5×106 C．0.55×108 D．5.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：5500万用科学记数法表示为5.5×107．
故选：D．
3．下列调查方式中适合的是（ ）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解：A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批节能灯全部用于实验；
B、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式；
C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，难度比较大，应该选取抽样调查的方式才合适；
D、调查全市中学生每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽样调查即可；
故选：C．
4．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．四棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
解：根据主视图和左视图都为三角形，俯视图是矩形，可得这个几何体为四棱锥，
故选：A．
5．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，则1+a＞b﹣1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解：A、两边都加c不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减c不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、c＝0时，ac2＝bc2，故C符合题意；
D、a＞b，则1+a＞b+1＞b﹣1，故D不符合题意；
故选：C．
6．在音乐比赛中，常采用一“打分类制”，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于10人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：B．
7．如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，sin∠BAC＝＝，
故选：B．
8．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，若图中S△OBP＝4，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣4 D．4
【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△AOB＝S△OBP＝4，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：如图：∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△AOB＝S△OBP＝4，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBE＝k，
∴k＝4
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f（x，y）＝；比如f（﹣4，）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的左边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的下边．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HG⊥CD于E．证明△ADP∽△DHE，推出∠DHE＝∠DAP＝定值，推出点G在射线HF上运动，推出当CE⊥HF时，CE的值最小，想办法求出CG即可．
解：如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HG⊥CD于G．
∵DE⊥PE，DH⊥AC，
∴∠DEP＝∠DHA，
∵∠DPE＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDE，
∴，∠ADH＝∠PDE，
∴∠ADP＝∠HDE，
∴△ADP∽△DHE，
∴∠DHE＝∠DAP＝定值，
∴点E在射线HF上运动，
∴当CE⊥HF时，CE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝5，DH＝，
∴CH＝＝，
∴GH＝
∵∠CFE＝∠HFG，∠CEF＝∠HGF＝90°，CF＝HF，
∴△CEF≌△HGF（AAS），
∴CE＝HG＝，
∴CE的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，共10空，每题3分，共24分）
11．分解因式：4ax2﹣a＝ a（2x﹣1）（2x+1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
解：4ax2﹣a
＝a（4x2﹣1）
＝a（2x﹣1）（2x+1）．
故答案为：a（2x﹣1）（2x+1）．
12．如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
13．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝ 50 度．
【分析】连接OD，由∠BED的度数，推出∠BOD的度数，然后由邻补角的性质即可推出∠AOD的度数，最后根据圆周角定理即可推出∠ACD的度数．
解：连接OD，
∵∠BED＝40°，
∴∠BOD＝80°，
∵AB为直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠ACD＝50°．
故答案为50．
14．若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形是 十二 边形，其对角线条数是 54 ．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解．
解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∴多边形的对角线的条数是：＝＝54，
故答案为：十二；54．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k的值为 ﹣5 ．
【分析】把（2，﹣3）代入反比例函数y＝得k的方程，即可得到k的值．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），
∴k﹣1＝2×（﹣3），
解得k＝﹣5，
故答案为﹣5．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D在BC上，延长BC至点E，使CE＝BD，F是AD的中点，连接EF，则EF的长是 ．
【分析】取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，易证△FDG≌△FCE（SAS），即可得出FG＝EF，因为在△ADB中，FG为中位线，即FG＝AB．再利用勾股定理求得AB即可．
解：如图，取BD中点G，使DG＝GB，连接FG，FC，
∵点F为AD中点，
在Rt△ACD中，CF＝DF＝AF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ECF＝∠FDG，
∵CE＝BD，
∴DG＝CE，
在△FDG和△FCE中，
，
∴△FDG≌△FCE（SAS），
∴EF＝FG，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，
由勾股定理得，
AB＝＝＝2，
在△ADB中，FG为中位线，
∴FG＝AB＝，
∴EF＝．
故答案为：．
17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 16 cm．
（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
【分析】（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．
（2）如图3中，连接EF交OC于H．想办法求出EF，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：（1）当E，F两点的距离最大时，E，O，F共线，此时四边形ABCD是矩形，
∵OE＝OF＝1cm，
∴EF＝2cm，
∴AB＝CD＝2cm，
∴此时四边形ABCD的周长为2+2+6+6＝16（cm），
故答案为16．
（2）如图3中，连接EF交OC于H．
由题意CE＝CF＝×6＝（cm），
∵OE＝OF＝1cm，
∴CO垂直平分线段EF，
∵OC＝＝＝（cm），
∵•OE•EC＝•CO•EH，
∴EH＝＝（cm），
∴EF＝2EH＝（cm）
∵EF∥AB，
∴＝＝，
∴AB＝×＝（cm）．
故答案为．
18．直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 a≥或a＜﹣或a＝﹣1 ．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
故答案为：a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（1）计算：．
（2）化简：（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，即可解答．
解：（1）
＝4×+1﹣2
＝2+1﹣2
＝1；
（2）（a+b）2+（a﹣b）（2a+b）
＝a2+2ab+b2+2a2﹣ab﹣b2
＝3a2+ab．
20．（1）解方程：x2﹣4x＝1；
（2）解不等式组，并写出x的所有整数解．
【分析】（1）两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣4＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的解集为﹣2、﹣1、0、1．
21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且满足CE＝AF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AC，若AC恰好平分∠EAF，试判断四边形AECF为何种特殊的四边形？并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D，又CE＝AF，可得DE＝BF，根据“SAS”即可得出△ADE≌△CBF；
（2）根据平行四边形的性质可得∠DCA＝∠CAB，根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠CAB，进而得出∠DCA＝∠EAC，可得AE＝EC，然后证明四边形AECF为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AECF为菱形．
解：（1）证明：在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，∠B＝∠D．
∵CE＝AF，
∴DC﹣CE＝AB﹣AF，即DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）四边形AECF是菱形．
在▱ABCD中，AB∥DC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC恰好平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
∵AB∥DC，CE＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．
22．某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；
（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．
【分析】（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；
（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；
（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．
解：（1）数据总数为：21÷21%＝100，
第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4＝25，
频数分布直方图补充如下：
（2）m＝40÷100×100＝40；
“E”组对应的圆心角度数为：360°×＝14.4°；
（3）3000×（25%+）＝870（人）．
即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．
23．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，（1分）
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；
（2）组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
或列树状图为：
∴这个两位数大于22的概率为．
24．如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上；
（2）在图②中，作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ；
（2）根据线段垂直平分线的性质和经过半径外端垂直于半径的直线是切线即可作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．
解：（1）如图①，菱形MPNQ即为所求；
（2）如图②，⊙O即为所求．
25．某企业接到一批防护服生产任务，按要求15天完成，已知这批防护服的出厂价为每件80元，为按时完成任务，该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制．该企业第x天生产的防护服数量为y件，y与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件服装的成本比前一天增加2元，设第x天创造的利润为w元，直接利用（1）的结论，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）
【分析】（1）根据题意即可得出y与x的函数关系式；
（2）分0≤x≤5和5＜x≤15两种情况讨论，根据题意可得到w与x的关系式，再根据一次函数与二次函数的性质解答．
解：（1）270÷5＝54，（570﹣270）÷（15﹣5）＝30，
当5＜x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（x为正整数），根据题意得：
，解得，
∴y＝30x+120，
∴y与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）当0≤x≤5时，w＝（80﹣50）×54x＝1620x，
∵1620＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w最大＝1620×5＝8100；
当5＜x≤15时，w＝[80﹣50﹣2（x﹣5）]×（30x+120）＝﹣60x2+960x+4800，
对称轴，
∴x＝8时，＝8640．
∵8640＞8100，
∴第8天时利润最大，最大利润是8640元．
26．如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，对角线BD长为12．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（s）．
①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；
②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？
【分析】（1）连接AC交BD于O，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠BCO＝∠BCD＝60°，OB＝OD＝BD＝6，在Rt△BOC中，由三角函数求出BC＝4，即可得出菱形ABCD的周长；
（2）①当点Q在CD边上时，设PQ交BD于M，则PM＝QM，由平行线求出BP＝DQ，根据题意得：AP＝t，DQ＝2t，则BP＝4﹣t，得出4﹣t＝2t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ＝90°，与平行线的性质得出∠AQD＝∠PAQ＝90°，则∠DAQ＝30°，由直角三角形的性质得出DQ＝AD＝2，即2t＝2，求出t的值即可；
若∠APQ＝90°，作AN⊥CD于N，则∠PAN＝90°，NQ＝AP＝t，由直角三角形的性质得出DN＝AD＝2，得出方程2t＝2+t，解方程即可；
当点Q在CB边上时，证出∠BPQ＝90°，即∠APQ＝90°恒成立．得出当2≤t＜4时△APQ都为直角三角形；即可得出答案．
解：（1）连接AC交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠BCO＝∠BCD＝60°，OB＝OD＝BD＝6，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16；
（2）①当点Q在CD边上时，
设PQ交BD于M，则PM＝QM，
∵AB∥CD，
∴＝＝1，
∴BP＝DQ，
根据题意得：AP＝t，DQ＝2t，则BP＝4﹣t，
∴4﹣t＝2t，
解得：t＝；
当点Q在CB边上时，不存在；
②当点Q在CD边上时，若∠PAQ＝90°，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠AQD＝∠PAQ＝90°，
∴∠DAQ＝30°，
∴DQ＝AD＝2，
即2t＝2，
解得：t＝；
若∠APQ＝90°，如图3所示：
作AN⊥CD于N，则∠PAN＝90°，NQ＝AP＝t，
∴∠DAN＝30°，
∴DN＝AD＝2，
∵DQ＝DN+NQ，
∴2t＝2+t，
解得：t＝2；
当点Q在CB边上时，如图4所示：
根据题意得：AP＝t，BP＝4﹣t，CQ＝2t﹣4，
∴BQ＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t，
∴BP＝BQ，
作QH⊥BP于H，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ＝4﹣t，
∴BP＝BH，即H与P重合，
∴∠BPQ＝90°，
即∠APQ＝90°恒成立．
∴当2≤t＜4时△APQ都为直角三角形．
综上可得，当t＝或2≤t＜4时，△APQ恰好为直角三角形．
27．阅读理解：
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是150°，则这个平行四边形的变形度是 2 ；
猜想证明：
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），平行四边形A1B1C1D1的面积为（m＞0），试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到α＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性质得到∠A1B1E1＝∠A1D1B1，根据平行线的性质得到∠A1E1B1＝∠C1B1E1，求得∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1E1B1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，证得∠A1B1C1＝45°，于是得到结论．
解：（1）∵平行四边形有一个内角是150°，
∴α＝30°，
∴＝＝2；
故答案为：2；
（2）＝，
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝；
（3）如图2，∵AB2＝AE•AD，
∴A1B12＝A1E1•A1D1，即＝，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，
由（2）知，＝；
可知＝＝，
∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．
28．如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用A坐标和A、B关于直线x＝1对称求得点B坐标，即能用交点式表示抛物线解析式，再化简为一般式．
（2）求点M坐标和直线AM解析式；利用旋转求点A1坐标，把A1横坐标代入直线AM解析式求得y的值与A1总坐标相等，即点A1在直线AM上，得证．
（3）设点P（s，t）在旋转前对应点E，分别过点E、P作x轴垂线EG、PH，构造△BEG≌△PBH，由对应边相等推得点E坐标为（5+t，5﹣s），代回原抛物线解析式得到s与t的关系式．点D即s＝0时，求得t＝﹣10，点M即5+t＝1，5﹣s＝﹣4求得M1（9，﹣4），即MM1∥x轴．把四边形PM1MD分成△M1MD和△PM1D求面积和，其中△M1MD面积固定；PH与M1D交于点Q，则△PM1D面积等于PQ与点M1横坐标的积的一半．把前面所求s与t的关系书代入PQ的式子，即得到四边形PM1MD面积与t的二次函数关系，求得顶点式且顶点横坐标在可取值范围内，即求得P的坐标和面积最大值．
解：（1）∵原抛物线与x轴的交点为A（﹣3，0）和B
∴点A、B关于对称轴：直线x＝1对称
∴点B坐标（5，0）
∴原抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣5）＝x2﹣x﹣
（2）证明：∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣4
∴M（1，﹣4）
设直线AM解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣3
∵点A绕点B逆时针方向旋转90°得点A1
∴A1B＝AB＝5﹣（﹣3）＝8，∠ABA1＝90°
∴A1B⊥x轴，即xA1＝xB＝5
∴A1（5，﹣8）
当x＝5时，y＝﹣x﹣3＝﹣5﹣3＝﹣8
∴点A1在直线AM上
∴A，M，A1三点在同一直线上
（3）设原抛物线上的点E经旋转后为新抛物线上的点P，P在抛物线上DM1之间，如图1，
连接BE、BP、DM1，过点E作EG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，交DM1于点Q
∴∠EBP＝∠EGB＝∠BHP＝90°，BE＝BP
∴∠EBG+∠HBP＝∠EBG+∠GEB＝90°
∴∠HBP＝∠GEB
在△BEG与△PBH中
∴△BEG≌△PBH（AAS）
∴EG＝BH，BG＝PH
设P（s，t）（s≥0，t＜0）
∴BG＝PH＝﹣t，EG＝BH＝|s﹣5|
∴xE＝5﹣（﹣t）＝5+t
当s≤5时，EG＝BH＝5﹣s，点E在x轴上方
∴yE＝5﹣s
当s＞5时，EG＝BH＝s﹣5，点E在x轴下方
∴yE＝﹣（s﹣5）＝5﹣s
∴点E（5+t，5﹣s）在原抛物线上
∴（5+t）2﹣（5+t）﹣＝5﹣s
整理得：s＝﹣t2﹣2t+5
当s＝0时，﹣t2﹣2t+5＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣10
∴D（0，﹣10）
∵M（1，﹣4）即
解得： 即点M1（9，﹣4）
∴MM1∥x轴，MM1＝8，0≤s≤9，﹣10≤t≤﹣4
∴直线DM1解析式为y＝x﹣10
∴Q（s，s﹣10）
∴PQ＝s﹣10﹣t＝（﹣t2﹣2t+5）﹣10﹣t＝﹣t2﹣t﹣
∴S四边形PM1MD＝S△M1MD+S△PM1D＝M1M•（yM﹣yD）+PQ•（xM1﹣xD）＝×8×6+（﹣t2﹣t﹣）＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+7）2+
∴当t＝﹣7时，Smax＝
∴s＝﹣t2﹣2t+5＝﹣×49﹣2×（﹣7）+5＝
∴点P坐标为（，﹣7）使四边形PM1MD的面积最大，最大值为．
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