江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校创新班2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校创新班九年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知二次根式有意义，则满足条件的的最大值是______．
2. 初三班名同学练习定点投篮，每人各投次，进球数统计如表：

这名同学进球数的中位数是______．

3. 一个圆锥的主视图是边长为的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于______．
4. 已知以及，且，则的值为______．
5. 若所在平面内一点到上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为______ ．
6. 已知，则代数式的值为______．
7. 如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交线段与，连接，则图中阴影部分的面积为______结果保留
    

8. 要使关于的方程的解为负数，则的取值范围是______．
9. 抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列判断中：；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的序号有______．
   
   
    

10. 如图，，，，，，则______．
    
    
     

11. 对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在______象限．
12. 如图，含的直角三角板其中的三个顶点均在反比例函数的图象上，且斜边经过原点，则直角三角板的面积为______．
    
     

13. 平面直角坐标系中，交轴正负半轴于点、，点为外轴正半轴上一点，为第三象限内上一点，交延长线于点，已知，，，则的值为______．

14. 方程的整数解的组数为______．

二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15. 计算：；
    化简求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表图根据图表信息，解答下列问题：
    频率分布表

填空：______，______，______，______；
将频数分布直方图补充完整；
阅读时间不低于小时的人中，有名男生、名女生．现从这名学生中选取两名同学进行读书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．

17. 某公司生产一种纪念品，去年月份以前，每天的产量与销售量均为箱，进入月份后，每天的产量保持不变，市场需求量却不断增加．如图是月前后一段时期库存量箱与生产时间月份之间的函数图象．
    该厂______月份开始出现供不应求的现象；月份的平均日销售量为______箱？
    为满足市场需求，该厂打算在投资不超过万元的情况下，购买台新设备，使扩大生产规模后的日总产量不低于月份的平均日销售量．现有、两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：

请设计一种购买设备的方案，使日总产量最大．
在的条件下市场日平均需求量与月相同，若安装设备需三天即月日新设备开始生产，指出何时开始该厂会有库存？

18. 【已有经验】
    我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：
    
    【迁移经验】
    如图，已知点和直线，用两种不同的方法完成尺规作图：求作，使过点，且与直线相切．每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法
    【问题解决】
    如图，在中，，，．
    已知经过点，且与直线相切．若圆心在的内部，则半径的取值范围为______．
    点是边上一点，，请直接写出边上使得为直角时点的个数及相应的的取值范围．

19. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形如图，连接，，若，．
      试探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
      把与剪去，将绕点顺时针旋转得，边交于点如图，设旋转角为，当为等腰三角形时，求的度数；
     若将沿方向平移得到如图，与交于点，与交于点，当时，求平移的距离．

20. 已知抛物线：
    无论为何值，抛物线总是经过一个定点，该定点的坐标为______．
    无论为何值，该抛物线的顶点总在一条固定的直线上运动，求出该直线的解析式．
    当时，恒成立，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：二次根式有意义


满足条件的的最大值是．
故答案为：．
二次根式有意义，则被开方数大于等于，从而得关于的不等式，解得范围，则可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式意义的条件，是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：一共个数据，其中位数为第个数据，
由表中数据知这组数据的中位数为个，
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握中位数的定义．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
所以这个圆锥的侧面积
故答案为：．
根据主视图得到圆锥的母线长为，底面圆的半径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

4.【答案】
 

【解析】
故答案为：．
第个方程两边同除以后，得到与第一个方程相同的方程，所以，可看成一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可求得的值．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是会把两个数看成一个一元二次方程的根．
 

5.【答案】或
 

【解析】解：若所在平面内一点到上的点的最大距离为，最小距离为，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是；
故答案为：或．
点可能在圆内，也可能在圆外；当点在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识．
 

6.【答案】
 

【解析】解：把代入，则




．
故答案为：．
此题需先把代入要求的式子，再进行整理化简，即可求出结果．
此题考查的是整式的混合运算，要注意乘法公式和整式混和运算的综合应用，关键是把的值代入后要能进行化简．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，作于，则四边形是矩形．

在中，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
故答案为．
如图，连接，作于，则四边形是矩形．利用勾股定理求出，即可发现四边形是正方形，由此即可解决问题．
本题考查矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、扇形的面积公式．勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
 

8.【答案】且
 

【解析】解：去分母得：
即
解得
根据题意得：
解得：
，
，，
即，
，
故答案是：且．
首先解方程求得方程的解，根据方程的解是负数，即可得到一个关于的不等式，从而求得的范围．
本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，故错误．
抛物线与轴有两个交点，
，故正确．
抛物线与轴的一个交点是，对称轴是，
抛物线与轴的另一个交点是，
，故正确．
点在抛物线上，对称轴为，
也在抛物线上，
，且，都在对称轴的左侧，
，故错误．
抛物线对称轴为，且经过，
，，
，，
，
正确．
故正确的判断是．
故答案为．
根据二次函数的图像可知：，，，据此判断即可；
根据抛物线与轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；
由图象可知抛物线与轴的一个交点是，对称轴为，进而确定另一个交点，然后判断即可；
结合二次函数对称轴确定其增减性判断即可；
根据对称轴为可得，进而可得，，．
本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作交于，连接．

，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
方法二：将绕点顺时针旋转得到．

则，，
，，
，
，
．
故答案为：．
方法一：如图，过点作交于，连接证明≌，，利用勾股定理求出即可．
方法二：将绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得出，，由勾股定理可得出答案．
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

11.【答案】第三
 

【解析】解：把，代入解析式可得：，
解得：，
所以可得：，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限．
故答案为：第三象限．
把代入解析式，根据，得出关于的不等式，得出的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
此题考查抛物线与轴的交点，关键是得出的取值范围，利用二次函数的性质解答．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
含的直角三角板其中，，
，，
，
为等边三角形，
点，在反比例函数的图象上，
点，关于直线对称，
设点，则点，
，
，
化简得：，
．
故答案为：．
连接，由题意，可得为等边三角形，即点，关于直线对称，设点，则点，根据，可得，即，所以．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，解题的关键是得出点，关于直线对称．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设交于点，连接，延长、交于点，
是直径，
，
，
由圆的对称性可得，，，
，
，
≌，
，
由得，，
，
，
，
由∽，
，
设，，，则，，
，
，
在中，，
，，
，，则，
在中，，，
，
故答案为：．
要求的值，可以先求、即可，通过作辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角形的性质求出相应的边长即可．
考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合应用知识能力是本题的鲜明特点．
 

14.【答案】
 

【解析】解：方程变形得：，
与是偶数，
必须是偶数，
设，
则原方程变为：，
，
它的整数解为，
则当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
原方程的整数解为：，，，，共组．
故答案为：．
首先将原方程变形为：，即可得必须是偶数，然后设，可得新方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：，由必须是偶数，然后设，从而得新方程．
 

15.【答案】解：原式

；
原式



，
当时，
原式．
 

【解析】先计算负整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与法则．
 

16.【答案】；；；；
补全频数分布直方图如下：


用、表示男生、、、、表示女生，
画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中选取的两名学生恰好是两名女生的结果数为，
所以选取的两名学生恰好是两名女生的概率为．
 

【解析】

【分析】
本题考查读频数率分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于；频率频数数据总数；概率所求情况数与总情况数之比．
根据阅读时间为的人数及所占百分比可得，求出总人数，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出、、；
根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：本次调查的总人数，
，
则、，
故答案为：、、、；
见答案；
见答案．  

17.【答案】，  ； 
设型台，则型台，
，
解得，
为整数，
，或，
，
当时，最大为台，
即购买型号的设备台，型号的设备台，可以使得日总产量最大；
设月日开始的第天会有库存，

解得，
所以月日开始的第天开始有库存或者月日开始有库存．
 

【解析】

解：由图象可得，
该厂月份开始出现供不应求的现象，月份的平均日销售量为：台，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；
根据题意和表格中的数据可以得到相应的不等式组，从而可以求得购买方案，然后根据一次函数的性质即可设计一种购买设备的方案，使日总产量最大；
根据中的方案和题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．  

18.【答案】
 

【解析】解：如图，图中，即为所求．


如图中，当点落在边上时，的半径最大，连接．

在中，，，，
，
，，，
≌，
，，设，则，
在中，，
解得，
，
当时，是的直径时，的半径最小，此时，，
满足条件的的取值范围为：．
故答案为．

如图中，以为直径作，当与相切于点时，连接．

，，
，
，
，
解得．
观察图象可知：当时，满足条件的点的个数为．
当或时，满足条件的点的个数为．
当时，满足条件的点的个数为．
根据要求画出图形即可答案不唯一．
如图中，当点落在边上时，的半径最大，连接当时，是的直径时，的半径最小，由此即可解决问题．
如图中，以为直径作，当与相切于点时，连接求出此时的半径，结合图象即可判断．
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，平行线分线段成比例定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
 

19.【答案】解：结论：，理由：
如图，延长交于点，

由题意得：≌．
，．
又，
，
，
．

如图，

当时，，
则，
即；
当时，，
，
即；
综上所述，的度数为或；

如图，

由题意得矩形A.设，则，
在中，，，
，，
．
，，
，

，
．
，
∽，
，
，
解得，即，
平移的距离是．
 

【解析】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形如图，得，≌，推出，，进而可得的大小．
分两种情形讨论当时，当时，根据旋转的性质得出结论．
求平移的距离是的长度．在矩形中，，只要求出的长度就行．用∽得出对应线段成比例，即可得到的大小．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
 

20.【答案】
的顶点为，
设，，
则，
，
当时，即，
抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，
当时，随的增大而增大，
当时，
当，时，恒成立，
当时，即或，
抛物线开口向下
抛物线与轴交于点，
当时，恒成立
当时，，
即，
解得或，
综上，，或；
 

【解析】解：无论为何值，抛物线总是经过一个定点，；
见答案，
见答案；
函数的常数项为，所以过定点；
求出顶点坐标公式，令，代入即可；
当时，即，当，时，恒成立，当时，即或，当时，恒成立当时，；
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握对称轴与函数值的关系，顶点坐标，待定系数法求解系数是解题的关键．